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'''ポアソン比'''︵ポアソンひ、[[英語]]‥Poisson{{lang-en|Poisson's ratio︶ratio, Poisson coefficient}}︶とは、物体に[[弾性|弾性限界]]内における物体に単軸で[[応力]]を加えた時の単軸とき、応力に直角方向に沿った発生する[[ひずみ]]と、二次的応力方向に沿って発生する単軸応力に直角方向のひずみの[[比]]のことである<ref name = "機械工学辞典_1214">{{cite book|和書 |editor=日本機械学会 |title=機械工学辞典 |publisher=丸善 |date=2007-01-20 |edition=第2版 |isbn=978-4-88898-083-8 |page=1214}}</ref>。[[ヤング率]]などと同じく弾性限界内では材料固有の定数と見なされる。
 
名称はフランスの物理学者[[シメオン・ドニ・ポアソン]]に由来する。
ある物体にz軸方向に単軸応力が働くとき、物体の[[弾性]]に基づきz軸方向の寸法が伸び、縦ひずみε<sub>z</sub>が発生する。このとき付随的に、z軸方向に直角方向の横ひずみε<sub>x</sub>とε<sub>y</sub>が発生する。この横ひずみを縦ひずみで除して-1を掛けたものがポアソン比νである。
:<math> \nu_x = -\frac{\epsilon_x}{\epsilon_z} \quad,\quad \nu_y = -\frac{\epsilon_y}{\epsilon_z}</math>
材料が等方性であるならば、ν<sub>x</sub>=ν<sub>y</sub>である。体積が変化しない場合︵[[液体]]のような場合︶ポアソン比が0.5となる。︵断面積は直角方向の寸法の2乗で変化するので、伸びの1/2で体積一定である。︶通常の[[固体]]は体積が変化するので、︵体積弾性率︶ポアソン比が0.3ぐらいの材料が多い。
 
== 定義 ==
ポアソン比の逆数をポアソン数といい、mで表される<ref name = "機械工学辞典_1214"/>。
[[File:Dwarscontractie.png|thumb|直方体に引張荷重が負荷するときの変形の様子<br>青が負荷前の形状、赤が負荷後の形状]]
ある物体に ''z'' 軸方向に単軸応力(一方向のみに働く[[応力]])が働くとき、物体の[[弾性]]に基づき ''z'' 軸方向の寸法が伸びて、縦ひずみ ''ε<sub>z</sub>'' が発生する。このとき付随的に、''z'' 軸直角方向の ''x'' 軸と ''y'' 軸にも横ひずみ ''ε<sub>x</sub>'' と ''ε<sub>y</sub>'' が発生する。この現象を'''ポアソン効果'''(Poisson effect)とも呼ぶ<ref>{{cite encyclopedia | encyclopedia =The Oxford Dictionary of Sports Science & Medicine | title = Poisson effect | url = http://www.oxfordreference.com/view/10.1093/oi/authority.20110803100333756 | accessdate = 2014-04-26 | edition = 3}}</ref>。
この横ひずみを縦ひずみで除し、−1 を掛けたものがポアソン比 ''ν'' である。
:<math> \nu_x = -\frac{\varepsilon_x}{\varepsilon_z}, \nu_y = -\frac{\varepsilon_y}{\varepsilon_z}</math>
方向によらずポアソン比一定の材料の場合は、単に ''ν'' とも表す。
:<math> \nu_x = \nu_y = \nu</math>
ポアソン比の逆数を'''ポアソン数'''といい、''m'' で表される<ref name = "機械工学辞典"/>。
:<math> m = \frac{1}{\nu}</math>
 
== ポアソン比と応力・ひずみの関係式 ==
[[File:Poisson coef.png|thumb|単軸応力が負荷する2次元板]]
例として、最も単純な2次元板に1方向のみに応力 ''σ<sub>x</sub>''（単軸応力）が負荷する場合を挙げると、この板中の応力とひずみの関係は、ポアソン比 ''ν'' と[[ヤング率]] ''E'' より以下のようになる<ref name = "弾性力学_41"/>。
:<math> \begin{align}
\varepsilon_{x} &= \frac{\sigma_x}{E}, \\
\varepsilon_{y} &= -\frac{\nu \sigma_x}{E}
\end{align} </math>
:
上記の関係を[[フックの法則]]と呼ぶ。
 
材料が等方均質の場合の、3次元一般状態での関係式については、
*[[フックの法則#フックの法則のテンソル表現]]
*[[平面応力状態#平面応力状態でのフックの法則]]
*[[平面ひずみ状態#平面ひずみ状態でのフックの法則]]
を参照。
 
== ポアソン比の範囲 ==
材料が等方性の場合、単位体積当たりの[[ひずみエネルギー]]である'''ひずみエネルギ関数''' ''U''<sub>0</sub> は以下のように示される<ref name = "弾性力学_90"/>。
:<math> U_0 = \frac{E\nu}{2(1+\nu)(1-2\nu)}(\epsilon_xvarepsilon_x + \epsilon_yvarepsilon_y + \epsilon_zvarepsilon_z)^2+G\left\{(\epsilon_xvarepsilon_x^2 + \epsilon_yvarepsilon_y^2 + \epsilon_zvarepsilon_z^2)+\frac{1}{2}(\gamma_{xy}^2+\gamma_{yz}^2+\gamma_{zx}^2)\right\}</math>
ここで、''E'':[[ヤング率]]、''G'':[[剛性率]]、''ε'':垂直ひずみ、''γ'':せん断ひずみである。なお、この式は、ヤング率やポアソン比に方位依存性があるような異方性材料には適用できない。
 
ひずみエネルギ関数は正値形式を取るので、<math>U_0 \ge 0 </math> を満たすにはポアソン比 ''ν'' の取り得る範囲は以下のように決まる<ref name = "弾性力学_90"/>。
:<math> -1 < \nu < 1/2 </math>
下限の-1 −1 は、形状一定︵縦ひずみ ＝ 横ひずみ‥つまり荷重方向に直角な方向にも伸びが生じ，立方体の形状が保たれるような変化を表す︶を意味し、またする。上限の 1/2 は上、下記で述べたのように微小ひずみの範囲で体積一定を意味する。
 
変形による体積変化を考察する。縦方向に引張・圧縮の単軸荷重を受けるとき、縦方向方向の寸法変化は (1 + ''ε'') 倍となる。一方、横方向の寸法は (1 − ''νε'') 倍となり、断面積変化は (1 − ''νε'')<sup>2</sup> 倍となる。よって体積変化は (1 + ''ε'')(1 − ''νε'')<sup>2</sup> = (1 - 2''νε'' + ''ε'' − 2''νε''<sup>2</sup> + ''ν''<sup>2</sup>''ε''<sup>2</sup> + ''ν''<sup>2</sup>''ε''<sup>3</sup>) 倍となる。ひずみ ''ε'' が微小範囲とすれば、''ε'' の高次の項を無視できるので、体積変化は (1 − 2''νε'' + ''ε'') 倍となる。このとき、''ν'' が 1/2 であれば、''ε'' の値にかかわらず体積変化は常に1倍となり体積変化無し・体積一定となる<ref name = "構造力学I_37"/>。
このように理想的な条件ではポアソン比は負の値を取り得るが、実際の物質で負の値を示すものはごく稀にしか存在しない。負のポアソン比を示す数少ない例として[[クリストバライト]]（[[二酸化ケイ素|SiO<SUB>2</SUB>]]からなる[[結晶]]）がある。また、ハニカム型の特殊な構造や、泡構造というような複合的な人工構造には負のポアソン比を示すものがある<ref name="Negative Poisson's ratio">{{Cite web |url=https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson%27s_ratio#cite_note-7 |title= Negative Poisson's ratio materials |author= Roderic Lakes |accessdate=2014-01-02}}</ref>。
 
[[File:Illustration du comportement d'un matériau auxétique.PNG|thumb|負のポアソン比を示す材料構造の例（右）]]
エネルギーの式上では、ポアソン比は負の値を取り得るが、すべての方向でヤング率やポアソン比が等しいという、等方性弾性が仮定できる材料では、ポアソン比がマイナスとなる材料は実在しない。仮にポアソン比がマイナスと言う事は、棒材であれば引張ったら引張るほど太くなる材料ということになる。異方性材料であれば、方位によってポアソン比率はマイナスになり得るが全方位でそのような挙動を示すわけではなく、あくまで特定の方位で引っ張ったら太くなる方位があり得るということであり、全体のひずみエネルギーのバランスは取れている。負のポアソン比を示す例として、シリコンウエハーなどのシリコン単結晶などの、大型の単結晶全般や[[クリストバライト]]︵[[二酸化ケイ素|SiO<SUB>2</SUB>]]からなる[[結晶]]︶がある。また、ペンタグラフェン︵五角形の[[グラフェン]]︶<ref>[http://www.tohoku.ac.jp/japanese/2015/04/press20150421-02.html 五角形のグラフェンの発見-夢の新素材として期待-] - [[東北大学]]プレスリリース</ref>、内部に[[ハニカム構造]]を持つ材料<ref name="Negative Poisson's ratio">{{Citation |title= Negative Poisson's ratio materials |url=http://silver.neep.wisc.edu/~lakes/Poisson.html |author= Roderic Lakes |accessdate=2014-01-02}}</ref>には方向によっては負のポアソン比を示すものがあるが、これはどれも方位ごとにヤング率やポアソン比が異なる弾性異方性を示す材料で、等方性弾性体ではない。
 
== 弾性率の相関関係 ==
等方均質弾性体では、[[ヤング率]]、'''ポアソン比'''、[[圧縮率#体積弾性率|体積弾性率]]、[[剛性率]]、[[ラメ定数|ラメの第一定数]]の五つの[[弾性率]]はそれぞれ、二つを用いて残りの三つを表すことができる。
 
{{main|弾性率#弾性率の相関関係}}
 
== 主な物質のポアソン比 ==
''注：以下に載せる値は目安であり、必ずしも保証されるものではない。''
 
{| class="sortable wikitable"
{| class="wikitable" cellpadding="4" cellspacing="0" border="1" style="border-collapse: collapse"
|+ style="font-size:larger;font-weight:bold;"|主な物質のポアソン比
|-
! 材料
! ポアソン比(ν)
! 出典
|-
| [[天然ゴム]]
| 0.49
| align="center" | 0.46〜0.49<ref name = "物理学_89"/>
| <ref name = "高分子材料入門_44">{{cite book|和書|author=小川俊夫|title=工学技術者の高分子材料入門|publisher=共立出版|date=2003-10-01|edition=初版|ISBN=4-320-04294-8|page=44}}</ref>
|-
| [[高密度ポリエチレン]]
| 0.30
|<ref name = "高分子材料入門_44"/>
|-
| [[ポリスチレン]]
| 0.35
|<ref name = "高分子材料入門_44"/>
|-
| [[ポリカーボネート]]
| 0.39
|<ref name = "高分子材料入門_44"/>
|-
| [[ポリアセタール]]
| 0.32
|<ref name = "高分子材料入門_44"/>
|-
| [[エポキシ樹脂]]
| 0.37
|<ref name = "高分子材料入門_44"/>
|-
| [[タングステン]]
| 0.28
|<ref>{{Cite web|和書|url=http://www.plansee.com/jp/Materials-Tungsten-403.htm|title=材料紹介：タングステン |publisher=[[プランゼージャパン]] |accessdate=2014-03-09}}</ref>
|-
| [[アルミニウム]]
| 0.345
| align="center" | 0.345<ref name = "物理学_89"/>
|<ref name = "物理学_89">{{cite book|和書 |author= 小出昭一郎 |title=物理学
|publisher=裳華房 |edition=第3版|year=2003 |isbn=4-7853-2074-5 |page=89}}</ref>
|-
| [[モリブデン]]
| 0.31
|<ref>{{Cite web|和書|url=http://www.plansee.com/jp/Materials-Molybdenum-402.htm#Talent_Molybdaen|title=材料紹介：モリブデン |publisher=[[プランゼージャパン]] |accessdate=2014-03-09}}</ref>
|-
| [[ガラス]]
| align="center" | 0.27
|<ref name = "物理学_89"/>
|-
| [[銅]]
| align="center" | 0.343
|<ref name = "物理学_89"/>
|-
| [[鋳鉄]]
| align="center" | 0.27
|<ref name = "物理学_89"/>
|-
| [[鋼]]
| align="center" | 0.28〜 - 0.30
|<ref name = "物理学_89"/>
|-
| [[黄銅]]（亜鉛30%）
| 0.35
|<ref name = "材料強度学_8"/>
|-
| [[鉛]]
| align="center" | 0.44
|<ref name = "物理学_89"/>
|-
| [[金]]
| align="center" | 0.44
|<ref name = "物理学_89"/>
|-
| [[スズ]]
| 0.36
|<ref name = "材料強度学_8">{{cite book|和書|author=境田彰芳|coauthors =上野明・磯西和夫・西野精一・堀川教世|title=材料強度学|publisher=コロナ社date=2011-05-02|edition=初版|ISBN=978-4-339-04476-8|page=8}}</ref>
|-
| [[タンタル]]
| 0.35
|<ref>{{Cite web|和書|url=http://www.plansee.com/jp/Materials-Tantalum-404.htm |title=材料紹介：タンタル|publisher=[[プランゼージャパン]] |accessdate=2014-03-09}}</ref>
|-
| [[ニオブ]]
| 0.35
|<ref>{{Cite web|和書|url=http://www.plansee.com/jp/Materials-Niobium-405.htm#Niob_Eigenschaften |title=材料紹介：ニオブ|publisher=[[プランゼージャパン]] |accessdate=2014-03-09}}</ref>
|-
| [[クロム]]
| 0.21
|<ref>{{Cite web|和書|url=http://www.plansee.com/jp/Materials-Chromium-939.htm#Eigenschaften_Chrom |title=材料紹介：クロム|publisher=[[プランゼージャパン]] |accessdate=2014-03-09}}</ref>
|-
| [[砂岩]]
| 0.14 - 0.33
|<ref name = "構造力学I_34"/>
|-
| [[安山岩]]
| 0.07 - 0.22
|<ref name = "構造力学I_34"/>
|-
| [[結晶片岩]]
| 0.08 - 0.20
|<ref name = "構造力学I_34"/>
|-
| [[石灰岩]]
| 0.19 - 0.27
|<ref name = "構造力学I_34"/>
|-
| [[大理石]]
| 0.25 - 0.38
|<ref name = "構造力学I_34"/>
|-
| [[花崗岩]]
| 0.25 - 0.38
|<ref name = "構造力学I_34"/>
|-
| [[ダイヤモンド]]
| 0.2
|<ref name = "材料強度学_8"/>
|-
| [[コルク]]
| ほぼ0
|<ref name = "構造力学I_37"/>
|}
 
== 弾性率の相関関係 ==
等方均質弾性体では、[[ヤング率]]、[[ポアソン比]]、[[圧縮率#体積弾性率|体積弾性率]]、剛性率、[[ラメ定数|ラメの第一定数]]の五つの[[弾性率]]はそれぞれ、二つを用いて残りの三つを表すことができる。
 
{{main|弾性率#弾性率の相関関係}}
 
== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist|refs=
<ref name = "機械工弾性力学辞典_1214_41">[[#機械工弾性力学辞典|「機械工弾性力学辞典」p.121441]]</ref>
<ref name = "物理弾性力学_89_90">[[#物理弾性力学|「物理弾性力学」p.8990]]</ref>
<ref name = "弾性構造力学_90I_34">[[#弾性構造力学I|「弾性構造力学I」p.8934]]</ref>
<ref name = "構造力学I_37">[[#構造力学I|「構造力学I」p.37]]</ref>
 
}}
 
== 参考文献 ==
* {{cite book|和書
|editor=日本機械学会
|title=機械工学辞典
|publisher=丸善
|date=2007-01-20
|edition=第2版
|ISBN=978-4-88898-083-8
|ref=機械工学辞典
}}
*{{cite book|和書
|author= 小出昭一郎
|title=物理学
|publisher=裳華房
|edition=第3版
|year=2003
|isbn=4-7853-2074-5
|ref=物理学
}}
* {{cite book|和書
|author=村上敬宜
94 ⟶ 190行目:
|ISBN=978-4842501215
|ref=弾性力学
}}
* {{cite book|和書
|author=小西一郎、横尾義貫、成岡昌夫、丹羽義次
|title=構造力学 第I巻
|publisher=丸善
|date=1986-01-20
|edition=第2版
|ISBN=4-621-02533-3
|ref=構造力学I
}}
 
==外部リンク==
{{Commonscat|Poisson coefficient|ポアソン比}}
*{{Kotobank}}
 
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ほあそんひ}}
[[Category:物性値]]
[[Category:材料工学]]
[[Category:物質の性質]]
[[Category:無次元数]]
[[Category:固体力学]]
[[Category:無次元数]]
[[Category:比]]
[[Category:弾性]]
[[Category:シメオン・ドニ・ポアソン]]
[[Category:物理学のエポニム]]
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