ポアソン比

ポアソン比︵ポアソンひ、英語‥Poisson's ratio、Poisson coefficient︶とは、物体に弾性限界内で応力を加えたとき、応力に直角方向に発生するひずみと応力方向に沿って発生するひずみの比のことである^[1]。ヤング率などと同じく弾性限界内では材料固有の定数と見なされる。名称はフランスの物理学者シメオン・ドニ・ポアソンに由来する。

定義

直方体に引張荷重が負荷するときの変形の様子
青が負荷前の形状、赤が負荷後の形状

ある物体にz軸方向に単軸応力(一方向のみに働く応力)が働くとき、物体の弾性に基づきz軸方向の寸法が伸びて、縦ひずみε_zが発生する。このとき付随的に、z軸直角方向のx軸とy軸にも横ひずみε_xとε_yが発生する。この現象をポアソン効果(Poisson effect)とも呼ぶ^[2]。この横ひずみを縦ひずみで除し、-1を掛けたものがポアソン比νである。

\nu _{x}=-{\frac {\varepsilon _{x}}{\varepsilon _{z}}}\quad ,\quad \nu _{y}=-{\frac {\varepsilon _{y}}{\varepsilon _{z}}}

方向によらずポアソン比一定の材料の場合は、単にνとも表す。

\nu _{x}=\nu _{y}=\nu

ポアソン比の逆数をポアソン数といい、mで表される^[1]。

m={\frac {1}{\nu }}

ポアソン比と応力・ひずみの関係式

単軸応力が負荷する2次元板

例として、最も単純な2次元板に1方向のみに応力σ_x︵単軸応力︶が負荷する場合を挙げると、この板中の応力とひずみの関係は、ポアソン比νとヤング率Eより以下のようになる^[3]。

\varepsilon _{x}={\frac {\sigma _{x}}{E}}

\varepsilon _{y}=-{\frac {\nu \sigma _{x}}{E}}

上記の関係をフックの法則と呼ぶ。材料が等方均質の場合の、3次元一般状態での関係式については、 ●フックの法則#フックの法則のテンソル表現 ●平面応力状態#平面応力状態でのフックの法則 ●平面ひずみ状態#平面ひずみ状態でのフックの法則を参照。

ポアソン比の範囲

材料が等方性の場合、単位体積当たりのひずみエネルギーであるひずみエネルギ関数U₀は以下のように示される^[4]。

U_{0}={\frac {E\nu }{2(1+\nu )(1-2\nu )}}(\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z})^{2}+G\left\{(\varepsilon _{x}^{2}+\varepsilon _{y}^{2}+\varepsilon _{z}^{2})+{\frac {1}{2}}(\gamma _{xy}^{2}+\gamma _{yz}^{2}+\gamma _{zx}^{2})\right\}

ここで、E:ヤング率、G:剛性率、ε:垂直ひずみ、γ:せん断ひずみである。ひずみエネルギ関数は正値形式を取るので、

U_{0}\geq 0

を満たすにはポアソン比νの取り得る範囲は以下のように決まる^[4]。

-1<\nu <1/2

下限の-1は、形状一定︵縦ひずみ＝横ひずみ‥つまり荷重方向に直角な方向にも伸びが生じ，立方体の形状が保たれるような変化を表す︶を意味する。上限の1/2は、下記のように微小ひずみの範囲で体積一定を意味する。変形による体積変化を考察する。縦方向に引張・圧縮の単軸荷重を受けるとき、縦方向方向の寸法変化は(1 + ε)倍となる。一方、横方向の寸法は(1 - νε)倍となり、断面積変化は(1 − νε)²倍となる。よって体積変化は(1 + ε)(1 - νε)² = (1 - 2νε + ε2νε² + ν²ε² + ν²ε³)倍となる。ひずみεが微小範囲とすれば、εの高次の項を無視できるので、体積変化は(1 - 2νε + ε)倍となる。このとき、νが1/2であれば、体積変化は1倍となり体積変化無し・体積一定となる^[5]。

負のポアソン比を示す材料構造の例︵右︶

上記のように理想的な条件ではポアソン比は負の値を取り得るが、実際の物質で負の値を示すものはごく稀にしか存在しない。負のポアソン比を示す数少ない例としてクリストバライト︵SiO₂からなる結晶︶がある。また、ペンタグラフェン︵五角形のグラフェン︶^[6]、ハニカム型の特殊な構造、泡構造などの複合的な人工構造には負のポアソン比を示すものがある^[7]。

弾性率の相関関係

等方均質弾性体では、ヤング率、ポアソン比、体積弾性率、剛性率、ラメの第一定数の五つの弾性率はそれぞれ、二つを用いて残りの三つを表すことができる。

詳細は「弾性率#弾性率の相関関係」を参照

主な物質のポアソン比

注：以下に載せる値は目安であり、必ずしも保証されるものではない。

材料	ポアソン比(ν)
天然ゴム	0.49^[8]
高密度ポリエチレン	0.30^[8]
ポリスチレン	0.35^[8]
ポリカーボネート	0.39^[8]
ポリアセタール	0.32^[8]
エポキシ樹脂	0.37^[8]
タングステン	0.28^[9]
アルミニウム	0.345^[10]
モリブデン	0.31^[11]
ガラス	0.27^[10]
銅	0.343^[10]
鋳鉄	0.27^[10]
鋼	0.28 - 0.30^[10]
黄銅（亜鉛30%）	0.35^[12]
鉛	0.44^[10]
金	0.44^[10]
スズ	0.36^[12]
タンタル	0.35^[13]
ニオブ	0.35^[14]
クロム	0.21^[15]
砂岩	0.14 - 0.33^[16]
安山岩	0.07 - 0.22^[16]
結晶片岩	0.08 - 0.20^[16]
石灰岩	0.19 - 0.27^[16]
大理石	0.25 - 0.38^[16]
花崗岩	0.25 - 0.38^[16]
ダイヤモンド	0.2^[12]
コルク	ほぼ0^[5]

脚注

[脚注の使い方]

(一)^ ^a ^b﹁機械工学辞典﹂p.1214 (二)^ "Poisson effect". The Oxford Dictionary of Sports Science & Medicine (3 ed.). 2014年4月26日閲覧。 (三)^ ﹁弾性力学﹂p.41 (四)^ ^a ^b﹁弾性力学﹂p.90 (五)^ ^a ^b﹁構造力学I﹂p.37 (六)^ 五角形のグラフェンの発見-夢の新素材として期待- - 東北大学プレスリリース (七)^ Roderic Lakes. “Negative Poisson's ratio materials”. 2014年1月2日閲覧。^{[リンク切れ]}エラー: タグの貼り付け年月を﹁date=yyyy年m月﹂形式で記入してください。間違えて﹁date=﹂を﹁data=﹂等と記入していないかも確認してください。 (八)^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f小川俊夫﹃工学技術者の高分子材料入門﹄︵初版︶共立出版、2003年10月1日、44頁。ISBN 4-320-04294-8。 (九)^ “材料紹介‥タングステン”. プランゼージャパン. 2014年3月9日閲覧。^{[リンク切れ]}エラー: タグの貼り付け年月を﹁date=yyyy年m月﹂形式で記入してください。間違えて﹁date=﹂を﹁data=﹂等と記入していないかも確認してください。 (十)^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g小出昭一郎﹃物理学﹄︵第3版︶裳華房、2003年、89頁。ISBN 4-7853-2074-5。 (11)^ “材料紹介‥モリブデン”. プランゼージャパン. 2014年3月9日閲覧。^{[リンク切れ]}エラー: タグの貼り付け年月を﹁date=yyyy年m月﹂形式で記入してください。間違えて﹁date=﹂を﹁data=﹂等と記入していないかも確認してください。 (12)^ ^a ^b ^c境田彰芳、上野明・磯西和夫・西野精一・堀川教世﹃材料強度学﹄︵初版︶コロナ社date=2011-05-02、8頁。ISBN 978-4-339-04476-8。 (13)^ “材料紹介‥タンタル”. プランゼージャパン. 2014年3月9日閲覧。^{[リンク切れ]}エラー: タグの貼り付け年月を﹁date=yyyy年m月﹂形式で記入してください。間違えて﹁date=﹂を﹁data=﹂等と記入していないかも確認してください。 (14)^ “材料紹介‥ニオブ”. プランゼージャパン. 2014年3月9日閲覧。^{[リンク切れ]}エラー: タグの貼り付け年月を﹁date=yyyy年m月﹂形式で記入してください。間違えて﹁date=﹂を﹁data=﹂等と記入していないかも確認してください。 (15)^ “材料紹介‥クロム”. プランゼージャパン. 2014年3月9日閲覧。^{[リンク切れ]}エラー: タグの貼り付け年月を﹁date=yyyy年m月﹂形式で記入してください。間違えて﹁date=﹂を﹁data=﹂等と記入していないかも確認してください。 (16)^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f﹁構造力学I﹂p.34

参考文献

●日本機械学会編﹃機械工学辞典﹄︵第2版︶丸善、2007年1月20日。ISBN 978-4-88898-083-8。 ●村上敬宜﹃弾性力学﹄︵第14版︶養賢堂、2004年3月30日。ISBN 978-4842501215。 ●小西一郎、横尾義貫、成岡昌夫、丹羽義次﹃構造力学第I巻﹄︵第2版︶丸善、1986年1月20日。ISBN 4-621-02533-3。

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