オイラーのφ関数

オイラーのトーシェント関数︵オイラーのトーシェントかんすう、英: Euler's totient function︶とは、正の整数 nに対して、 nと互いに素である 1以上 n以下の自然数の個数 φ(n) を与える数論的関数 φ である。これは

φ(n)最初の100個の値のグラフ

φ(n)の最初の1000個の値

${\displaystyle \varphi ($n)=\textstyle \sum \limits _{1\leq m\leq n \atop (m,n)=1}1} $\varphi (n)=\textstyle \sum \limits _{1\leq m\leq n \atop (m,n)=1}1$
と表すこともできる︵ここで (m, n) は mと nの最大公約数を表す︶。慣例的にギリシャ文字の φ︵あるいは$\phi$$\phi$︶で表記されるため、オイラーの φ 関数︵ファイかんすう、phi function︶とも呼ばれる。また、簡略的にオイラーの関数と呼ぶこともある。

1761年にレオンハルト・オイラーが発見したとされるが、それより数年前に日本の久留島義太が言及したとも言われる。

例

●1, 2, 3, 4, 5, 6 のうち 6と互いに素なのは 1, 5 の2個であるから、 φ(6) = 2 である。

●1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 のうち 7以外は全て 7と互いに素だから、φ(7) = 6 である。

1 から 20までの値は以下の通りである。

1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8,…

性質

p を素数とすると、1 から p− 1 のうちに pの素因子である pを因子として含むものは存在しないから、φ(p) = p− 1 が成り立つ。さらに、k を自然数としたとき、1 から p^kの中で pを因子として含むもの、すなわち pの倍数は p^k− 1 個あるから、次が成立することが確かめられる。

定理 ― $\varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)=p^{k}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)$

また、m, nを互いに素な自然数とすると、φ(mn) = φ(m)φ(n) が成り立つ。これをオイラーの関数は︵互いに素な数の積に関して︶乗法的であると言う。これらのことからさらに、任意の自然数 nにおける値を知ることができる。実際に、p_k はどの二つも相異なる素因数であるとして、以下のように φ(n) を計算することができる。

定理 ― n の素因数分解が次のように

$n=\textstyle \prod \limits _{k=1}^{d}{p_{k}}^{e_{k}}$

と与えられているならば、

$\varphi (n)=\textstyle \prod \limits _{k=1}^{d}\left({p_{k}}^{e_{k}}-{p_{k}}^{e_{k}-1}\right)=n\prod \limits _{k=1}^{d}\left(1-{\dfrac {1}{p_{k}}}\right)$

自然数 n, dで dが nを割り切るものとすると、1 から nまでの自然数のうち nとの最大公約数が n/d であるものの数は φ(d) 個である。特に、1 から nまでの自然数は nとの最大公約数によって類別されるから、d が nの正の約数全てをわたる和に関して等式

${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{d\mid n}\varphi ($d)=n}  

が成り立つ︵d | nは dが nを割り切るの意︶。

G を位数 nの巡回群とすれば、n の約数 dに対して Gの位数 dの元は φ(d) 個存在する。特に、巡回群 Gの生成元になりうる元は φ(n) 個存在する。

自然数 a, m(1 ≤ a< m) とするとき、剰余環 Z/mZ に属する剰余類 a+ mZが既約、つまり Z/mZ の単数である必要十分な条件は代表元 aが mと互いに素であることであるから、既約剰余類の数は φ(m) に等しい。同じことだが、群 Gの位数を #G, 環 Rの単数群を R^× で表すとき、等式

${\displaystyle \varphi ($m)=\#(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}  

が成立する。これは特に、オイラーの定理 ${\displaystyle a^{\varphi ($m)}\equiv 1{\pmod {m}}}   の成立を意味する。また同じ式から、1 の m乗根で原始的であるものの一つを ζ とし、既約剰余類群 (Z/mZ)^× を円分拡大 Q(ζ)/Q のガロア群と見れば φ(m) が円の m分多項式の次数に等しいことも従う。

n >1 ならば φ(n) < nである。また、n >3 ならば

${\displaystyle \varphi ($n)\geq e^{-\gamma }{\cfrac {n}{\log \log n+{\cfrac {2.50637}{e^{\gamma }\log \log n}}}}}  

が成り立つ。ここで γ はオイラー定数である。もし n≠ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 であれば 2.50637 のかわりに 2.5 とおくことができる。一般に任意の ε > 0 に対して

${\displaystyle \varphi ($n)>n^{1-\varepsilon }}  

が十分大きな nに対して成り立つ。簡明な下界として ${\displaystyle \varphi ($n)\geq {\sqrt {\frac {n}{2}}}}   がある。

σ(n) を約数関数とすると、n >1 において、

${\displaystyle {\frac {6n^{2}}{\pi ^{2}}}<\varphi ($n)\sigma (n)<n^{2}}  

が成り立つ。

トーシェント関数の値域に含まれない自然数をノントーシェントという。

x が 1より大きい奇数の時、x はノントーシェントである。また、偶数であるノントーシェントは無数に存在することが知られている。φ(n) = xとなる nが存在するならば、それは少なくとも2つ存在するだろうと予想されているが、未だに証明されていない。一方、任意の k>1 に対して、φ(n) = xとなる nの個数がちょうど k個であるような xは無数に存在することが知られている。

関連項目

• 完全トーシェント数
• 久留島喜内
• 初等整数論
• フェルマーの小定理

外部リンク

• 『オイラーのファイ関数のイメージと性質』 - 高校数学の美しい物語
• Weisstein, Eric W. "Totient Function". mathworld.wolfram.com (英語).
• Kevin Ford, The number of solutions of φ(x)=m, Ann. of Math. 150(1999), 283--311.
• D. Miyata & M. Yamashita, Note on derived logarithmic functions of Euler's functions