部分集合
全ての要素が他のある集合の要素として含まれている集合
(上位集合から転送)
定義
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集合 Aの要素はすべて集合 Bの要素でもあるとき、すなわち、
が成り立つとき、A は Bの部分集合であるといい、
で表す[1]。A が Bの部分集合であることを、﹁A は Bに︵部分集合として︶含まれる︵包含される、英: contained︶﹂、﹁A は Bに包まれる︵包摂あるいは内包される、英: included︶﹂などということもある。またこのとき、B は Aの上位集合︵英: superset︶であるということもある。B 以外の集合で Bの部分集合であるようなものは、B の真部分集合︵英: proper subset︶あるいは狭義︵強い意味で︶の部分集合︵英: strict subset︶と呼ばれる。すなわち、集合 Aが集合 Bの真部分集合であるとは、A ⊆ Bかつ A≠ Bが成り立つことである。A が Bの真部分集合であることを
で表す。
記法に関する注意
編集部分集合 | 真部分集合 |
---|---|
A ⊆ B | A ⊂ B |
A ⊊ B | |
A ⊆ B かつ A ≠ B | |
A ⊂ B | A ⊊ B |
A ⊂ B かつ A ≠ B |
A が Bの部分集合であることを A⊆ Bで表し、A が Bの真部分集合であることを A⊂ Bで表した。大小関係の不等式において不等号を
x ≤ yかつ x≠ yのとき x< yと書く
とする記法に合わせて、包含関係においても
A ⊆ Bかつ A≠ Bのとき A⊂ Bと書く
とする記法は自然である。しかし、これとは異なる流儀もいくつか存在し、統一されていない。例えば、A が Bの部分集合であることを A⊂ Bで表し、A が Bの真部分集合であることを A⊊ Bで表すという流儀がある。他にも、部分集合には ⊆ を用い、真部分集合には ⊂ かつ ≠ を用いることもある。真部分集合であることを明示できる ⊊ という記号を用意する時もある。真部分集合であることに言及する箇所が少なく煩雑にならなければ、混乱をさけるために逐一
A ⊆ Bかつ A≠ B
A⊂ Bかつ A≠ B
のように﹁かつ A≠ B﹂という条件を明記する場合もある。
基本的な性質
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以下、S, T, Uを集合とする。
●S = Tと S⊆ Tかつ T⊆ Sは同値である︵外延性の原理︶。
●空集合 ∅ はすべての集合の部分集合である。
●S ⊆ S。
●S ⊆ Tかつ T⊆ Uならば S⊆ Uである。
●S ⊆ S∪ T。
●S ⊆ Tならば S∪ U⊆ T∪ U。
●S ⊆ Uかつ T⊆ Uならば S∪ T⊆ U。
●S ∩ T⊆ S。
●S ⊆ Tならば S∩ U⊆ T∩ U。
●S ⊆ Tかつ S⊆ Uならば S⊆ T∩ U。
●S - T⊆ S。
●S ⊆ Tならば S- U⊆ T- U。
●S ⊆ Tかつ S⊆ UCならば S⊆ T- U。
●以下は同値である‥
●S ⊆ T。
●S ∩ T= S。
●S ∪ T= T。
●S − T= ∅ 。
●S と Tがともに Uの部分集合のとき、S ⊆ Tと U- T⊆ V- Sは同値である。
脚注
編集注釈
編集出典
編集- ^ Devlin 1993, p. 3.
参考文献
編集- Devlin, K. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory. Undergraduate Texts in Mathematics (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-94094-4