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黄金比︵おうごんひ、英: golden ratio︶とは、次の値で表される比のことである‥
黄金長方形︵縦横の長さの比が黄金比︵ 1: 1.618…︶である長方形︶から最大正方形を切り落とすと、元の長方形と相似になる。赤線は黄金螺旋、緑線は正方形内の四分円を接続したものである。黄色は重なっている部分を表す。
以下で述べるような数理的な性質は、有理数にならないこの値のみが持つ性質であり、有理近似等には基本的には意味が無い。﹁デザインを美しくする﹂などといった巷間よく見られる説については#用途を参照。小数に展開すると 1 : 1.6180339887... あるいは 0.6180339887... : 1 といった値となる。
黄金比は貴金属比の一つである︵第1貴金属比︶。
幾何的には、a : bが黄金比ならば、
a : b= b : (a + b)
という等式が成り立つことから、縦横比が黄金比の矩形から最大正方形を切り落とした残りの矩形は、やはり黄金比の矩形となり、もとの矩形の相似になるという性質がある。正五角形の1辺と対角線との比は黄金比に等しい。数列 a, b, a+ bは、等比数列をなす。そのため、︵中項 bと末項 a+ bの比という意味で︶中末比︵ちゅうまつひ︶とも呼ばれる。
線分を2つに分け、短い部分と長い部分の長さの比が、長い部分と全体の長さの比に等しくなるようにしたときの比であるため、外中比︵がいちゅうひ、英: extreme and mean ratio︶とも呼ばれる。黄金比で長さなどを分けることを黄金比分割または黄金分割︵英: golden section または 英: golden cut︶という。
黄金比における
を黄金数︵おうごんすう、英: golden number︶という。しばしばギリシア文字の φ︵ファイ︶で表されるが、τ︵タウ︶を用いる場合もある。黄金数は、二次方程式 x2− x− 1 = 0 の正の解である‥
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- すなわち、黄金数 φ の有理数体 上の既約多項式は x2 − x − 1 である。
- φ は無理数であり、
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- 次の表示もある:
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三角関数を使うと次のように表すことができる:
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指数関数を使うと次のように表すことができる。
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●フィボナッチ数列の隣接2項の比は黄金数に収束する。
等比数列 1, φ, φ2, φ3, φ4, φ5, … は、第3項以降がそれぞれ直前の2項の和に等しい性質を幾何学的に表した図。青色、緑色、黄色、赤色の線分は階差を表し、同色どうしは長さが等しくなる。
●等比数列 1, φ, φ2, φ3, … において、1 + φ = φ2 より
φn + φn+1 = φn+2︵n は自然数︶
が成り立つ。
φ2 = φ + 1,
φ3 = 2φ + 1,
φ4 = 3φ + 2,
φ5 = 5φ + 3,
φ6 = 8φ + 5,
…
となり、係数にフィボナッチ数列が出現する。n番目のフィボナッチ数を Fnとすると、φn は次のようになる。
- φn = Fn φ + Fn−1
- ワイソフのゲーム(2山の片方からまたは、両方から同数ずつ取る石取りゲーム)の後手必勝形は
- (n は 0 以上の整数、⌊ ⌋ は床関数)
半径の比が
である3つの円が互いに外接する時、その3つの円の全てと外接する大小2つの円を描くことができ、それらを合わせた5つの円の半径の比は
である。
ここで
であり、隣接する円との半径の比が同じで、互いに密に接する円の列を螺旋状に無限に配置することができる。
︵→デカルトの円定理︶
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半径の比が黄金比である2円が外接しているとき、共通外接線2本の交点と、2円の接点の距離は、大きい方の円の直径に等しい。
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半径
√5 の円(青線)と半径1の円(緑線)が外接するとき、共通外接線2本の交点と半径1の
円周上の点の距離で最短のものは、黄金数に等しい。
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合同な直角二等辺三角形を張り合わせて黄金長方形、白銀長方形(大和比)を作り、それらから正三角形を作った例。
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互いに合同な正方形を活用して黄金比の
線分を作り出せることを示した図。図中では同じ長さの辺を持つ正三角形、正方形、正五角形も示されている。
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「半径 2 の正円」(緑色)と「辺の長さが 1 と φ の黄金長方形」(橙色)を活用すると図のように当該正円の円周を20等分する点を求めることができる。
最も簡単な作図方法は下記の通り。
(一)正方形 abcd を描く。
(二)辺bcの中点oを取る。
(三)中心をoとし、d (a) を通る円を描き、辺bcの延長との交点をeとする。
(四)長方形 abef を描く。
(五)ab : be は黄金比となる︵長方形 abef は黄金長方形︶。
正五角形や五芒星︵星形‥☆︶︵何れも作図可能︶から容易に作図することができる。正五角形の一辺と対角線の比、五芒星の辺と隣接2頂点の距離の比は、黄金比に等しい。
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互いに合同な
直角二等辺三角形を図のように並べると
黄金長方形が出来る。
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五芒星に現れる線分の組み合わせから様々な規模での黄金比が生じることを平行線で表した図。
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正円とその中心を通る水平ならびに傾き2の直線との交点を活用すると図のように黄金長方形(赤色・青色・緑色)を描ける。
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幾何学的に或る長方形(灰色)からその長辺または短辺の全長を使い切った黄金長方形を切り取る方法の一例。青枠または緑枠で示される長方形が黄金長方形となっている。
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同一の正円(青色)に内接する正五角形(黄色)と正六角形(緑色)を活用して
黄金長方形(橙色)を作り出す例。
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正円(緑色)の半径と同じ長さの辺を持つ正方形(青色)を活用した正五角形(橙色)や五芒星(黄いろ)の描き方の例。赤色の円は描き上げ後の検証のためのもの。
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正円半径と同じ長さの辺の正方形を活用した
内接正五角形(五芒星)の描き方の一例。赤色の円は描き上げ後の検証のためのもの。
五次方程式 x5 − 1 = 0 を解く過程で黄金数が出現する。
- (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0
- (x − 1)(x2 + φx + 1)(x2 + (1 − φ)x + 1) = 0
この後は x − 1 = 0 と2つの2次方程式から5つの解を求めることができる。
φ = 1.
6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362 1076738937 6455606060 5921658946 6759551900 4005559089 …
(オンライン整数列大辞典の数列 A001622)
- ^ 美観についての話とは全く無関係に、白銀比は長辺を2分の1にすると、ちょうど逆の比になるという実用上の便利さは事実である。