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{{測地学}}
{{測地学}}
' ' ' 緯 度 ' ' ' ︵ い ど 、 { { l a n g - e n | L a t i t u d e } } , { { l a n g - d e | B r e i t e } } ︶ と は 、 [ [ 経 緯 度 ] ] ︵ = [ [ 経 度 ] ] ・ 緯 度 。 す な わ ち [ [ 天 体 ] ] 表 面 上 の 位 置 を 示 す [ [ 座 標 ] ] ︶ の 一 つ で あ る 。 以 下 特 に 断 ら な い 限 り 、 [ [ 地 球 ] ] の 緯 度 に つ い て 述 べ る 。 [ [ 余 緯 度 ] ] と は 緯 度 の 余 角 。
' ' ' 緯 度 ' ' ' ︵ い ど 、 { { l a n g - e n | L a t i t u d e } } , { { l a n g - d e | B r e i t e } } ︶ と は 、 [ [ 経 緯 度 ] ] ︵ = [ [ 経 度 ] ] ・ 緯 度 。 す な わ ち [ [ 天 体 ] ] 表 面 上 の 位 置 を 示 す [ [ 座 標 ] ] ︶ の 一 つ で あ る 。 以 下 特 に 断 ら な い 限 り 、 [ [ 地 球 ] ] の 緯 度 に つ い て 述 べ る 。 [ [ 余 緯 度 ] ] と は 緯 度 の [ [ 余 角 ] ] 。
== 概要 ==
== 概要 ==
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== 緯度の種類 ==
== 緯度の種類 ==
[[File:Auxiliary Latitudes Difference.svg|right|thumb|400px|地理緯度と、等長緯度を除く様々な緯度との差]]
地 球 は 完 全 な [ [ 球 ] ] で は な く [ [ 回 転 楕 円 体 ] ] ︵ [ [ 扁 球 ] ] ︶ で 近 似 す る ︵ し か し 実 際 に は そ れ か ら も わ ず か に ず れ て い る ︶ 。 そ の た め 、 完 全 な 球 で あ れ ば 同 義 で あ る < r e f > 等 長 緯 度 に 関 し て は 地 球 を 真 球 と み な し た と し て も 、 そ も そ も 地 理 緯 度 と 異 な る 概 念 で あ る 。 < / r e f > 以 下 の 定 義 に も 差 異 が 生 じ る 。
地 球 は 完 全 な [ [ 球 体 | 球 ] ] で は な く [ [ 回 転 楕 円 体 ] ] ︵ [ [ 扁 球 ] ] ︶ で 近 似 す る ︵ し か し 実 際 に は そ れ か ら も わ ず か に ず れ て い る ︶ 。 そ の た め 、 完 全 な 球 で あ れ ば 同 義 で あ る < r e f > 等 長 緯 度 に 関 し て は 地 球 を 真 球 と み な し た と し て も 、 そ も そ も 地 理 緯 度 と 異 な る 概 念 で あ る 。 < / r e f > 以 下 の 定 義 に も 差 異 が 生 じ る 。
=== 地理緯度 (geographic latitude) ===
=== 地理緯度 (geographic latitude) ===
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で与えられる。
で与えられる。
<math>\mu\,\!</math> を <math>\varphi\,\!</math> についてよりあらわに書き下せば、次のように表すことができる<ref>Kawase, K. (2011): [http://www.gsi.go.jp/common/000062452.pdf A General Formula for Calculating Meridian Arc Length and its Application to Coordinate Conversion in the Gauss-Krüger Projection], Bulletin of the Geospatial Information Authority of Japan, '''59''', 1–13</ref>。
<math>\mu\,\!</math> を <math>\varphi\,\!</math> についてよりあらわに書き下せば、次のように表すことができる<ref>Kawase, K. (2011): [https ://www.gsi.go.jp/common/000062452.pdf A General Formula for Calculating Meridian Arc Length and its Application to Coordinate Conversion in the Gauss-Krüger Projection], Bulletin of the Geospatial Information Authority of Japan, '''59''', 1–13</ref>。
:<math>\mu(\varphi)=\varphi\,+\,\frac{\displaystyle\sum_{j=0}^\infty\left\{\prod_{k=1}^j\left(\frac{n}{2k}+n\right)\right\}^2\sum_{l=1}^{2j}\frac{\sin 2l\varphi}{l}\prod_{m=1}^l\left(\frac{-n}{2j+2\cdot(-1)^m\lfloor m/2\rfloor}-n\right)^{(-1)^m}}{\displaystyle\sum_{j=0}^\infty\left\{\prod_{k=1}^j\left(\frac{n}{2k}+n\right)\right\}^2}</math>
:<math>\mu(\varphi)=\varphi\,+\,\frac{\displaystyle\sum_{j=0}^\infty\left\{\prod_{k=1}^j\left(\frac{n}{2k}+n\right)\right\}^2\sum_{l=1}^{2j}\frac{\sin 2l\varphi}{l}\prod_{m=1}^l\left(\frac{-n}{2j+2\cdot(-1)^m\lfloor m/2\rfloor}-n\right)^{(-1)^m}}{\displaystyle\sum_{j=0}^\infty\left\{\prod_{k=1}^j\left(\frac{n}{2k}+n\right)\right\}^2}</math>
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[[ファイル:Mercator-proj.jpg|right|thumb|[[メルカトル図法]]による[[世界地図]]。横の線が緯線を表し、地理緯度 <math>\varphi\,\!</math> に相当する緯線は等長緯度 <math>q(\varphi)</math> に換算して配置されている。]]
[[ファイル:Mercator-proj.jpg|right|thumb|[[メルカトル図法]]による[[世界地図]]。横の線が緯線を表し、地理緯度 <math>\varphi\,\!</math> に相当する緯線は等長緯度 <math>q(\varphi)</math> に換算して配置されている。]]
地球楕円体上のいかなる位置においても経線方向と[[緯線]]方向の微小距離が等しくなるように換算された緯度で、等長緯度 <math>q\,\!</math> は、地理緯度 <math>\varphi\,\!</math> と以下のような関係にある:
地球楕円体上のいかなる位置においても経線方向と[[緯線]]方向の微小距離が等しくなるように換算された緯度で、等長緯度 <math>q\,\!</math> は、地理緯度 <math>\varphi\,\!</math> と以下のような関係にある:
:<math>q(\varphi)=\int_0^{\varphi}\frac{M_\theta{\rm d}\theta}{N_\theta\cos\theta}=\operatorname{gd}^{-1}(\varphi)-e\tanh^{-1}(e\sin\varphi)</math>
:<math>q(\varphi)=\int_0^{\varphi}\frac{M_\theta{\rm d}\theta}{N_\theta\cos\theta}=\operatorname{gd}^{-1}\varphi-e\tanh^{-1}(e\sin\varphi)=(1-e^2)\Pi(e^2;\varphi,1 )</math>
ただし、<math>\operatorname{gd}(x)</math> は[[グーデルマン関数]]であり、<math>\operatorname{gd}^{-1}(x)</math> はその[[逆関数]]を表す。
ただし、<math>\operatorname{gd}^{-1} x</math> は逆 [[グーデルマン関数]]を表し 、<math>\Pi (a;\varphi,k )</math> は第三種 [[楕円積分 ]]([[アドリアン=マリ・ルジャンドル|ルジャンドル]]の標準形) を表す。
等長緯度は[[メルカトル図法]]において重要な役割を果たす量であり、地球楕円体上の <math>\varphi=</math> 一定 の平行圏(緯線)は、投影面において <math>q=</math> 一定 の直線として写像されることになる。
等長緯度は[[メルカトル図法]]において重要な役割を果たす量であり、地球楕円体上の <math>\varphi=</math> 一定 の平行圏(緯線)は、投影面において <math>q=</math> 一定 の直線として写像されることになる。
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:<math>\chi(\varphi)=\operatorname{gd}\left(q(\varphi)\right)=\operatorname{gd}\left(\operatorname{gd}^{-1}(\varphi)-e\tanh^{-1}(e\sin\varphi)\right)</math>
:<math>\chi(\varphi)=\operatorname{gd}\left(q(\varphi)\right)=\operatorname{gd}\left(\operatorname{gd}^{-1}(\varphi)-e\tanh^{-1}(e\sin\varphi)\right)</math>
正角緯度 <math>\chi</math> は、地心緯度 <math>\psi</math> と値が極めて類似していることが知られている<ref>河瀬和重 (2021): [https://www.gsi.go.jp/common/000235321.pdf 地心緯度を介した正角緯度と地理(測地)緯度との関係について], [[国土地理院]]時報, '''134'''</ref>。
正角緯度 <math>\chi</math> は、地心緯度 <math>\psi</math> と値が極めて類似していることが知られている<ref>河瀬和重 (2021): [https://www.gsi.go.jp/common/000235321.pdf 地心緯度を介した正角緯度と地理(測地)緯度との関係について], [[国土地理院]]時報, '''134''', 49–56 </ref>。
=== 天文緯度 (astronomical latitude) ===
=== 天文緯度 (astronomical latitude) ===
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|-
|-
! 35度39分29秒1572([[日本経緯度原点]])
! 35度39分29秒1572([[日本経緯度原点]])
| 30.820 188 m
| 30.820 187 609 m
|-
|-
! 36度
! 36度
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*北緯40度
*北緯40度
**[[パリ]]([[フランス]]・北緯48度)
**[[パリ]]([[フランス]]・北緯48度)
**[[ミュンヘン]]([[ドイツ]]・北緯48度)
**[[ミュンヘン]]( [[ドイツ]]・北緯48度)
**[[札幌市|札幌]]([[日本]]・北緯43度)※実際のN40度は秋田県八郎潟および岩手県松尾付近
**[[札幌市|札幌]]([[日本]]・北緯43度)
**[[ローマ]]([[イタリア]]・北緯41度)
**[[ローマ]]([[イタリア]]・北緯41度)
**[[ニューヨーク]](アメリカ・北緯40度)
**[[ニューヨーク]](アメリカ・北緯40度)
**[[青森市|青森]](日本・北緯40度)
**[[北京市|北京]](中国・北緯40度)
**[[北京市|北京]](中国・北緯40度)
*北緯30度
*北緯30度
**[[仙台市|仙台]]、[[新潟市|新潟]](日本・北緯38度)
**[[仙台市|仙台]]、[[新潟市|新潟]](日本・北緯38度)
**[[東京]]、[[横浜市|横浜]]、[[名古屋市|名古屋]](日本・北緯35度)
**[[東京]]、[[横浜市|横浜]]、[[名古屋市|名古屋]](日本・北緯35度)
**[[テヘラン]](イラン・北緯35度)
**[[ロサンゼルス]](アメリカ・北緯34度)※名古屋とロサンゼルスは北緯が近く,姉妹都市になっている。
**[[ロサンゼルス]](アメリカ・北緯34度)※名古屋とロサンゼルスは北緯が近く,姉妹都市になっている。
* * [ [ 大 阪 市 | 大 阪 ] ] 、 [ [ 京 都 市 | 京 都 ] ] 、 [ [ 神 戸 市 | 神 戸 ] ] 、 [ [ 岡 山 市 | 岡 山 ] ] 、 [ [ 広 島 市 | 広 島 ] ] ︵ 日 本 ・ 北 緯 34 度 ︶ ※ [ [ 静 岡 市 | 静 岡 ] ] 、 [ [ 浜 松 市 | 浜 松 ] ] は 北 緯 34 度 か ら 35 度 の 間 に 分 布 し て い る 。
* * [ [ 大 阪 市 | 大 阪 ] ] 、 [ [ 京 都 市 | 京 都 ] ] 、 [ [ 神 戸 市 | 神 戸 ] ] 、 [ [ 岡 山 市 | 岡 山 ] ] 、 [ [ 広 島 市 | 広 島 ] ] ︵ 日 本 ・ 北 緯 34 度 ︶ ※ [ [ 静 岡 市 | 静 岡 ] ] 、 [ [ 浜 松 市 | 浜 松 ] ] は 北 緯 34 度 か ら 35 度 の 間 に 分 布 し て い る 。
**[[福岡市|福岡]]、[[北九州市|北九州]](日本・北緯33度)<!--「なっているかも」という表現は、加筆者の独自考証ということでしょうか? 半年以上経ちますが明確な出典が示されないためコメントアウト化--><!--※東京から福岡までの主要都市が北緯33度から35度までに分布していることが日本の都市文化の共通性の基礎になっているかも。{{要出典|date=2012年8月}}-->
**[[福岡市|福岡]]、[[北九州市|北九州]](日本・北緯33度)<!--「なっているかも」という表現は、加筆者の独自考証ということでしょうか? 半年以上経ちますが明確な出典が示されないためコメントアウト化--><!--※東京から福岡までの主要都市が北緯33度から35度までに分布していることが日本の都市文化の共通性の基礎になっているかも。{{要出典|date=2012年8月}}-->
**[[上海市|上海]](中国・北緯31度)
**[[カイロ]]([[エジプト]]・北緯30度)
**[[カイロ]]([[エジプト]]・北緯30度)
*北緯20度
*北緯20度
**[[那覇市|那覇]](日本・北緯26度)
**[[那覇市|那覇]](日本・北緯26度)
**[[マイアミ]](アメリカ・フロリダ州 北緯25度)
**[[台北市|台北]]([[台湾]]・北緯25度)
**[[台北市|台北]]([[台湾]]・北緯25度)
**[[香港]]([[中華人民共和国|中国]]・北緯22度)
**[[香港]]([[中華人民共和国|中国]]・北緯22度)
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== 各緯度の俗称 ==
== 各緯度の俗称 ==
[ [ 北 半 球 ] ] と 異 な り 、 [ [ 南 半 球 ] ] で は 陸 地 が 少 な く 、 そ の 中 で も [ [ 南 極 大 陸 ] ] に 近 い 海 域 は 荒 れ る 傾 向 に あ る 。 そ の た め 、 緯 度 ご と に 俗 称 が 付 け ら れ て い る 。
[ [ 北 半 球 ] ] と 異 な り 、 [ [ 南 半 球 ] ] で は 陸 地 が 少 な く 、 [ [ 亜 寒 帯 ] ] が な い 代 わ り に そ の 中 で も [ [ 南 極 大 陸 ] ] に 近 い 海 域 は 荒 れ る 傾 向 に あ る 。 そ の た め 、 緯 度 ご と に 俗 称 が 付 け ら れ て い る 。
=== 吠える40度 ===
=== 吠える40度 ===
緯 度 は 、 そ の 地 点 に お け る 天 頂 の 方 向 と 赤 道 面 と の な す 角 度 で 表 さ れ る 。 赤 道 が 緯 度 0 度 と な り 北 を 北 緯 、 南 を 南 緯 と い い 北 極 ・ 南 極 が 90 度 と な る 。 ま た 北 緯 に + ︵ プ ラ ス ︶ 、 南 緯 に - ︵ マ イ ナ ス ︶ を 付 け て 表 す 場 合 も あ る 。 1 度 よ り も 細 か い 緯 度 は 、 1 度 = 6 0 分 = 3 6 0 0 秒 と 分 割 し て 表 現 す る ︵ 0 . 1 度 は 6 分 と な る ︶ 。
同 じ 緯 度 の 点 を 結 ん だ 線 を 緯 線 と い う 。 ﹁ 緯 ﹂ と は 織 物 の 横 糸 の 意 味 で 、 経 緯 線 を 織 物 に 見 立 て た も の で あ る 。 メ ル カ ト ル 図 法 の 地 図 で は 、 緯 線 は 赤 道 に 平 行 な 直 線 と な る 。 経 線 を 子 午 線 と い う の に 対 し 、 子 午 線 の 対 義 語 と し て 卯 ︵ 東 ︶ と 酉 ︵ 西 ︶ と を 結 ぶ 線 を 卯 酉 線 ︵ ぼ う ゆ う せ ん ︶ と い う が 、 緯 線 と は 異 な る 概 念 を 指 す 。
太 陽 は 地 上 か ら 見 て 赤 道 直 上 を 中 心 に 南 北 に 往 復 し て い る が そ の 範 囲 は 緯 度 23 度 27 分 ま で で あ り 、 こ の 緯 線 を 回 帰 線 ︵ 北 回 帰 線 ・ 南 回 帰 線 ︶ と 言 う 。 ま た 、 緯 度 が 66 度 33 分 よ り も 高 い 地 域 を 極 圏 ︵ 北 極 圏 ・ 南 極 圏 ︶ と い う 。
1 海 里 は 緯 度 1 分 の 地 球 表 面 上 の 距 離 を 元 に 作 ら れ て お り 、 ほ ぼ そ れ に 等 し い 。
地理緯度と、等長緯度を除く様々な緯度との差
地球は完全な球 ではなく回転楕円体 (扁球 )で近似する(しかし実際にはそれからもわずかにずれている)。そのため、完全な球であれば同義である[1] 以下の定義にも差異が生じる。
地理緯度 (geographic latitude)[ 編集 ]
地 球 を 回 転 楕 円 体 で 近 似 し た と き に 、 そ の 地 点 に お け る 楕 円 体 面 の 法 線 と 赤 道 面 と が な す 角 度 を 、 地 理 緯 度 と 呼 ぶ 。 単 に ﹁ 緯 度 ﹂ と い え ば 通 常 こ の 意 味 で 用 い る 。 以 下 で は 、 地 理 緯 度 を
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
、 地 球 楕 円 体 の 長 半 径 、 第 三 扁 平 率 お よ び 第 一 離 心 率 を そ れ ぞ れ
a
{\displaystyle a\,\!}
、
n
{\displaystyle n\,\!}
お よ び
e
{\displaystyle e\,\!}
と す る 。
地心緯度 (geocentric latitude)[ 編集 ]
地心緯度ψの定義
そ の 地 点 と 地 球 の 重 心 と を 結 ぶ 直 線 、 お よ び 赤 道 面 と で な す 角 の 角 度 を 、 地 心 緯 度 と 呼 ぶ 。 地 心 緯 度
ψ
{\displaystyle \psi \,\!}
は 、 地 理 緯 度
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
と 以 下 の よ う な 関 係 に あ る ‥
ψ
(
φ
)
=
tan
−
1
(
(
1
−
e
2
)
tan
φ
)
=
tan
−
1
[
(
1
−
n
1
+
n
)
2
tan
φ
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\varphi )&=\tan ^{-1}\left((1-e^{2})\tan \varphi \right)\\&=\tan ^{-1}\left[\left({\frac {1-n}{1+n}}\right)^{2}\tan \varphi \right]\end{aligned}}}
同 地 点 に お け る 地 理 緯 度 と 地 心 緯 度 と の 差 は 、 当 該 地 理 緯 度 を 用 い て 以 下 の よ う に 表 さ れ る 。
φ
−
ψ
=
tan
−
1
(
e
2
sin
φ
cos
φ
1
−
e
2
sin
2
φ
)
=
tan
−
1
(
2
n
sin
2
φ
1
+
2
n
cos
2
φ
+
n
2
)
=
−
∑
k
=
1
∞
(
−
2
n
1
+
n
2
)
k
sin
2
k
φ
k
{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi -\psi &=\tan ^{-1}\left({\frac {e^{2}\sin \varphi \cos \varphi }{1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}\right)\\&=\tan ^{-1}\left({\frac {2n\sin 2\varphi }{1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}\right)\\&=-\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {-2n}{1+n^{2}}}\right)^{k}{\frac {\sin 2k\varphi }{k}}\end{aligned}}}
上 式 か ら 分 か る よ う に 、 地 理 緯 度 と は 最 大 で 11 分 33 秒 程 度 ︵ 緯 度 45 度 付 近 ︶ の 差 が あ る 。
更成緯度 (reduced latitude)[ 編集 ]
更成緯度βの定義
図 の よ う に 、 中 心 が 地 球 楕 円 体 の 中 心 と 一 致 し 、 半 径 が 地 球 楕 円 体 の 長 半 径 に 等 し い 球 を 考 え た と き 、 地 球 楕 円 体 上 の 位 置 を 当 該 球 に 地 球 の 自 転 軸 と 平 行 に 射 影 し た 位 置 が 示 す 緯 度 と し て 定 義 さ れ る 。 更 成 緯 度
β
{\displaystyle \beta \,\!}
は 、 地 理 緯 度
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
と 以 下 の よ う な 関 係 に あ る ‥
β
(
φ
)
=
tan
−
1
(
1
−
e
2
tan
φ
)
=
tan
−
1
(
1
−
n
1
+
n
tan
φ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\beta (\varphi )&=\tan ^{-1}\left({\sqrt {1-e^{2}}}\tan \varphi \right)\\&=\tan ^{-1}\left({\frac {1-n}{1+n}}\tan \varphi \right)\end{aligned}}}
な お 、 更 成 緯 度 は “ パ ラ メ ト リ ッ ク 緯 度 ” ( p a r a m e t r i c l a t i t u d e ) と も 称 さ れ る 。 こ れ は 、 右 図 に お い て 点
P
(
p
,
z
)
{\displaystyle P(p,z)}
の 座 標 値
p
{\displaystyle p\,\!}
お よ び
z
{\displaystyle z\,\!}
を 、 そ れ ぞ れ
β
{\displaystyle \beta \,\!}
を 媒 介 変 数 と し て
p
=
a
cos
β
,
z
=
b
sin
β
{\displaystyle p=a\cos \beta ,\quad z=b\sin \beta }
と 表 す こ と が で き る こ と か ら 、 ア ー サ ー ・ ケ イ リ ー が 提 唱 [ 2 ] し た こ と に よ る 。
正積緯度 (authalic latitude)[ 編集 ]
球 へ の 等 積 写 像 を 与 え る 緯 度 と し て 定 義 さ れ る 。 正 積 緯 度
ξ
{\displaystyle \xi \,\!}
は 、 地 理 緯 度
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
と 以 下 の よ う な 関 係 に あ る ‥
ξ
(
φ
)
=
sin
−
1
(
s
(
φ
)
s
(
π
/
2
)
)
{\displaystyle \xi (\varphi )=\sin ^{-1}\left({\frac {s(\varphi )}{s(\pi /2)}}\right)}
た だ し 、
s
(
φ
)
{\displaystyle s(\varphi )\,\!}
は 赤 道 か ら 地 理 緯 度
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
ま で の 緯 度 帯 面 積 を 表 し 、 地 理 緯 度
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
に お け る 地 球 楕 円 体 の 子 午 線 曲 率 半 径 お よ び 卯 酉 線 曲 率 半 径 を そ れ ぞ れ
M
θ
{\displaystyle M_{\theta }\,\!}
お よ び
N
θ
{\displaystyle N_{\theta }\,\!}
と す る と き 、
s
(
φ
)
=
2
π
∫
0
φ
M
θ
N
θ
cos
θ
d
θ
=
π
a
2
(
1
e
−
e
)
(
e
sin
φ
1
−
e
2
sin
2
φ
+
tanh
−
1
(
e
sin
φ
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}s(\varphi )&=2\pi \int _{0}^{\varphi }M_{\theta }N_{\theta }\cos \theta {\rm {d}}\theta \\&=\pi a^{2}\left({\frac {1}{e}}-e\right)\left({\frac {e\sin \varphi }{1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}+\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )\right)\end{aligned}}}
で 与 え ら れ る [ 3 ] 。
求長緯度 (rectifying latitude)[ 編集 ]
赤 道 か ら 地 理 緯 度 ま で の 子 午 線 弧 長 で 換 算 さ れ る 緯 度 で 、 求 長 緯 度
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
は 、 地 理 緯 度
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
と 以 下 の よ う な 関 係 に あ る ‥
μ
(
φ
)
=
π
2
m
(
φ
)
m
(
π
/
2
)
{\displaystyle \mu (\varphi )={\frac {\pi }{2}}{\frac {m(\varphi )}{m(\pi /2)}}}
た だ し 、
m
(
φ
)
{\displaystyle m(\varphi )\,\!}
は 赤 道 か ら 地 理 緯 度
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
ま で の 子 午 線 弧 長 を 表 し 、
m
(
φ
)
=
∫
0
φ
M
θ
d
θ
{\displaystyle m(\varphi )=\int _{0}^{\varphi }M_{\theta }{\rm {d}}\theta }
で 与 え ら れ る 。
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
を
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
に つ い て よ り あ ら わ に 書 き 下 せ ば 、 次 の よ う に 表 す こ と が で き る [ 4 ] 。
μ
(
φ
)
=
φ
+
∑
j
=
0
∞
{
∏
k
=
1
j
(
n
2
k
+
n
)
}
2
∑
l
=
1
2
j
sin
2
l
φ
l
∏
m
=
1
l
(
−
n
2
j
+
2
⋅
(
−
1
)
m
⌊
m
/
2
⌋
−
n
)
(
−
1
)
m
∑
j
=
0
∞
{
∏
k
=
1
j
(
n
2
k
+
n
)
}
2
{\displaystyle \mu (\varphi )=\varphi \,+\,{\frac {\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\left\{\prod _{k=1}^{j}\left({\frac {n}{2k}}+n\right)\right\}^{2}\sum _{l=1}^{2j}{\frac {\sin 2l\varphi }{l}}\prod _{m=1}^{l}\left({\frac {-n}{2j+2\cdot (-1)^{m}\lfloor m/2\rfloor }}-n\right)^{(-1)^{m}}}{\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\left\{\prod _{k=1}^{j}\left({\frac {n}{2k}}+n\right)\right\}^{2}}}}
等長緯度 (isometric latitude)[ 編集 ]
メルカトル図法 による世界地図 。横の線が緯線を表し、地理緯度
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
に相当する緯線は等長緯度
q
(
φ
)
{\displaystyle q(\varphi )}
に換算して配置されている。
地 球 楕 円 体 上 の い か な る 位 置 に お い て も 経 線 方 向 と 緯 線 方 向 の 微 小 距 離 が 等 し く な る よ う に 換 算 さ れ た 緯 度 で 、 等 長 緯 度
q
{\displaystyle q\,\!}
は 、 地 理 緯 度
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
と 以 下 の よ う な 関 係 に あ る ‥
q
(
φ
)
=
∫
0
φ
M
θ
d
θ
N
θ
cos
θ
=
gd
−
1
φ
−
e
tanh
−
1
(
e
sin
φ
)
=
(
1
−
e
2
)
Π
(
e
2
;
φ
,
1
)
{\displaystyle q(\varphi )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {M_{\theta }{\rm {d}}\theta }{N_{\theta }\cos \theta }}=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi -e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )=(1-e^{2})\Pi (e^{2};\varphi ,1)}
た だ し 、
gd
−
1
x
{\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}x}
は 逆 グ ー デ ル マ ン 関 数 を 表 し 、
Π
(
a
;
φ
,
k
)
{\displaystyle \Pi (a;\varphi ,k)}
は 第 三 種 楕 円 積 分 ︵ ル ジ ャ ン ド ル の 標 準 形 ︶ を 表 す 。
等 長 緯 度 は メ ル カ ト ル 図 法 に お い て 重 要 な 役 割 を 果 た す 量 で あ り 、 地 球 楕 円 体 上 の
φ
=
{\displaystyle \varphi =}
一 定 の 平 行 圏 ︵ 緯 線 ︶ は 、 投 影 面 に お い て
q
=
{\displaystyle q=}
一 定 の 直 線 と し て 写 像 さ れ る こ と に な る 。
球への等角写像 を与える緯度として定義される。正角緯度
χ
{\displaystyle \chi \,\!}
は、地理緯度
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
と以下のような関係にある:
χ
(
φ
)
=
gd
(
q
(
φ
)
)
=
gd
(
gd
−
1
(
φ
)
−
e
tanh
−
1
(
e
sin
φ
)
)
{\displaystyle \chi (\varphi )=\operatorname {gd} \left(q(\varphi )\right)=\operatorname {gd} \left(\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )\right)}
正角緯度
χ
{\displaystyle \chi }
は、地心緯度
ψ
{\displaystyle \psi }
と値が極めて類似していることが知られている[5] 。
天文緯度 (astronomical latitude)[ 編集 ]
そ の 地 点 の 重 力 に 基 づ く ﹁ 真 上 ﹂ ︵ 鉛 直 方 向 、 天 頂 方 向 ︶ と 赤 道 面 が な す 角 度 を 、 天 文 緯 度 と 呼 ぶ 。 天 の 北 極 ・ 天 の 南 極 の 高 度 と 同 じ で あ り 、 主 に 天 文 観 測 で 求 め た た め ﹁ 天 文 ﹂ の 名 が つ く 。 実 際 に は 大 気 差 に よ る ず れ が 生 じ る た め 、 大 気 差 の 小 さ い ﹁ 真 上 ﹂ 付 近 に 来 る 星 を 子 午 環 で 観 測 し 、 赤 緯 を 測 定 し て 求 め た 。
重 力 は 等 重 力 ポ テ ン シ ャ ル 面 ︵ ジ オ イ ド 面 ︶ の 法 線 方 向 で あ る か ら 、 ジ オ イ ド 面 が 地 球 楕 円 体 面 と 完 全 に 一 致 す れ ば 天 文 緯 度 と 地 理 緯 度 は 一 致 す る 。 し か し 実 際 は 地 下 の 質 量 分 布 が 不 均 等 で あ る た め 、 ジ オ イ ド 面 が 複 雑 に 歪 ん で い る 。 そ の 影 響 で 、 天 文 緯 度 と 地 理 緯 度 の 間 に は 数 秒 程 度 の 差 が あ る ︵ 鉛 直 線 偏 差 ︶ 。
こ れ に 加 え 、 赤 道 面 の 変 化 、 す な わ ち 自 転 軸 の 変 化 が 存 在 す る ︵ 極 運 動 ︶ 。 こ れ は 4 2 8 日 周 期 を 持 っ て い る の で 、 天 文 緯 度 は 常 に 周 期 的 に 変 化 し て い る 。 た だ し 数 年 幅 の 短 期 的 な 変 化 は 0 . 5 秒 以 下 で あ る 。 そ れ 以 上 の 長 期 的 な 変 化 も 存 在 し 、 地 球 全 体 の 質 量 分 布 の 変 化 が 原 因 と 考 え ら れ る が 、 現 時 点 で は 長 期 的 な 予 測 は 困 難 で あ る 。
そ れ で も 、 G P S な ど 長 い 距 離 を 正 確 に 測 る 手 段 が な い 20 世 紀 前 半 ま で は 、 こ れ が も っ と も 正 確 な 測 定 方 法 で あ っ た 。
測地学的緯度 (geodetic latitude)[ 編集 ]
﹁ 測 地 学 的 緯 度 ﹂ を 地 理 緯 度 と 同 じ 意 味 で 、 も し く は 地 球 楕 円 体 面 上 の 問 題 で あ る こ と を 強 調 す る た め に 用 い る こ と が あ る が 、 こ こ で は 地 理 緯 度 と 分 け て 用 語 を 設 定 し 説 明 す る 。
大 雑 把 に 言 え ば ﹁ 地 図 か ら 読 み 取 っ た 緯 度 ﹂ と 定 義 で き る 。 そ の 時 点 で の 測 量 技 術 に 基 づ き も っ と も 正 確 に 求 め ら れ る ﹁ 緯 度 ﹂ で あ る が 、 あ く ま で そ の 時 点 の 技 術 水 準 に 依 存 す る 。 20 世 紀 中 に お い て は 、 首 都 の 天 文 台 で の 観 測 結 果 を 元 に 測 地 系 と 地 球 楕 円 体 を 先 に 決 め た 上 で 、 そ の 地 点 ま で の 地 上 測 量 を 基 に 決 定 し た 緯 度 で あ る 。 そ の 地 点 の 重 力 の 歪 み の 影 響 は 直 接 受 け な い も の の 、 測 地 系 決 定 の た め に 行 っ た 測 量 の ず れ ︵ 日 本 で 言 え ば 東 京 で の 重 力 の 歪 み ︶ や 採 用 し た 地 球 楕 円 体 の 誤 差 の 影 響 を 受 け る 。 G P S も V L B I も な い 20 世 紀 初 頭 に は 、 地 球 の 正 確 な 形 状 、 地 球 重 心 の 位 置 、 重 力 の 歪 み な ど を 正 確 に 測 定 す る 方 法 が な く 、 測 地 学 的 緯 度 を も っ て 地 理 緯 度 と み な す こ と が 多 か っ た [ 6 ] 。
地 球 の 子 午 線 周 長 は 約 4 0 0 0 8 k m で あ る 。 す な わ ち 、 平 均 的 に は
● 緯 度 1 度 の 長 さ 約 1 1 1 k m
● 緯 度 1 分 の 長 さ 約 1 . 8 5 k m
● 緯 度 1 秒 の 長 さ 約 3 0 . 9 m
と 求 め ら れ る が 、 実 際 に は 地 球 は 回 転 楕 円 体 に 近 い 形 を し て い る た め 、 緯 度 に よ っ て 僅 か な が ら 緯 度 1 秒 の 長 さ に 違 い が あ る 。 ち な み に 、 海 里 は 元 来 、 緯 度 1 分 の 長 さ で あ る が 、 よ り 正 確 に は 緯 度 45 度 に お け る 緯 度 1 分 の 子 午 線 弧 長 が 海 里 の も と も と の 定 義 に な っ て い た ︵ 3 0 . 8 6 9 9 3 8 m / 秒 = 1 8 5 2 . 1 9 6 m / 分 ︵ た だ し 、 こ の 数 値 は 、 現 今 の G R S 8 0 に よ る も の で あ っ て 、 海 里 の 定 義 を 定 め た と き に は 異 な る 値 で あ っ た 。 ︶ ︶ 。
緯 度 1 秒 の 長 さ
l
{\displaystyle l\,\!}
は 着 目 し て い る 地 点 の 地 理 緯 度
φ
{\displaystyle \varphi \,\!}
に 依 存 し 、 地 球 楕 円 体 の 赤 道 半 径 ︵ 長 半 径 ︶ を
a
{\displaystyle a\,\!}
、 離 心 率 を
e
{\displaystyle e\,\!}
と す る と 、 近 似 的 に
l
≃
π
M
φ
648000
=
π
648000
⋅
a
(
1
−
e
2
)
(
1
−
e
2
sin
2
φ
)
3
/
2
{\displaystyle l\simeq {\frac {\pi M_{\varphi }}{648000}}={\frac {\pi }{648000}}\cdot {\frac {a(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{3/2}}}}
と 表 さ れ る [ 3 ] 。
地 球 楕 円 体 と し て G R S 8 0 を 採 用 し た 場 合 、
a
{\displaystyle a}
= ︵ 正 確 に ︶ 6 3 7 8 1 3 7 m 、
e
2
{\displaystyle \,e^{2}}
= 0 . 0 0 6 6 9 4 3 8 0 0 2 2 9 0 0 7 8 8 ︵ 近 似 値 ︶ で あ る 。 G R S 8 0 地 球 楕 円 体 表 面 上 の 代 表 的 な 地 点 お よ び 日 本 周 辺 の 緯 度 に お け る 値 を 、 上 記 の 式 に よ っ て 計 算 し た 結 果 は 次 の と お り で あ る 。
緯度
緯度1秒の長さ
0度(赤道)
30.715 m
15度
30.736 m
24度
30.766 m
25度
30.770 m
26度
30.774 m
27度
30.779 m
28度
30.783 m
29度
30.788 m
30度
30.792 m
31度
30.797 m
32度
30.802 m
33度
30.807 m
34度
30.812 m
35度
30.817 m
35度39分29秒1572(日本経緯度原点 )
30.820 187 609 m
36度
30.822 m
37度
30.827 m
38度
30.832 m
39度
30.838 m
40度
30.843 m
41度
30.848 m
42度
30.854 m
43度
30.859 m
44度
30.865 m
45度
30.870 m
46度
30.875 m
47度
30.881 m
48度
30.886 m
49度
30.892 m
50度
30.897 m
60度
30.948 m
75度
31.005 m
90度(極点)
31.026 m
北 半 球 と 異 な り 、 南 半 球 で は 陸 地 が 少 な く 、 亜 寒 帯 が な い 代 わ り に そ の 中 で も 南 極 大 陸 に 近 い 海 域 は 荒 れ る 傾 向 に あ る 。 そ の た め 、 緯 度 ご と に 俗 称 が 付 け ら れ て い る 。
南 緯 40 度 か ら 50 度 に か け て の 海 域 の 俗 称 。 英 語 か ら ロ ア リ ン グ ・ フ ォ ー テ ィ ー ズ ︵ R o a r i n g F o r t i e s ︶ と も 呼 ば れ る 。 こ の よ う に 呼 ば れ る 理 由 は 、 吠 え る 40 度 の 海 域 で は 西 寄 り の 卓 越 風 が 吹 い て い る か ら で あ る 。 こ の 風 を 弱 め る 陸 地 が 少 な い た め 、 こ の 風 は 南 半 球 で 特 に 強 い 。 そ の 中 で も イ ン ド 洋 南 部 で は 特 に 強 い 。 航 行 速 度 を 稼 ぐ 際 に 利 用 さ れ る 海 域 で あ る 。
詳 し く は ﹁ 吠 え る 40 度 ﹂ を 参 照 の こ と 。
南 緯 50 度 か ら 60 度 に か け て の 海 域 の 俗 称 。 英 語 か ら フ ュ ー リ ア ス ・ フ ィ フ テ ィ ー ズ ︵ F u r i o u s F i f t i e s ︶ と も い う 。 南 極 海 を 航 行 す る 船 は こ の 緯 度 で 、 吠 え る 40 度 よ り も 猛 烈 な 嵐 に 見 舞 わ れ 、 波 浪 に よ っ て 船 内 は 大 き く 揺 れ る 。 極 め て 荒 れ た 海 域 で あ る た め 、 吠 え る 40 度 よ り も 危 険 度 が 増 す 。
詳 し く は ﹁ 狂 う 50 度 ﹂ を 参 照 の こ と 。
南 緯 60 度 か ら 70 度 に か け て の 海 域 の 俗 称 で あ る 。 英 語 か ら シ ュ リ ー キ ン グ ・ シ ッ ク ス テ ィ ー ズ ︵ S h r i e k i n g S i x t i e s ︶ 、 ス ク リ ー ミ ン グ ・ シ ッ ク ス テ ィ ー ズ ︵ S c r e a m i n g S i x t i e s ︶ と も い う 。 南 極 海 を 航 行 す る 船 は 、 吠 え る 40 度 、 狂 う 50 度 を 超 え た こ の 海 域 で さ ら に 強 い 嵐 に 見 舞 わ れ る 。 破 壊 的 な 暴 風 と 壁 の よ う な 波 が 常 時 発 生 す る 世 界 最 悪 の 荒 れ た 海 域 で あ り 、 航 行 に は 熟 練 の 航 海 技 術 が 要 求 さ れ る 。
詳 し く は ﹁ 絶 叫 す る 60 度 ﹂ を 参 照 の こ と 。
(一) ^ 等 長 緯 度 に 関 し て は 地 球 を 真 球 と み な し た と し て も 、 そ も そ も 地 理 緯 度 と 異 な る 概 念 で あ る 。
(二) ^ C a y l e y , A . ( 1 8 7 0 ) : O n t h e g e o d e s i c l i n e s o n a n o b l a t e s p h e r o i d , P h i l o s o p h i c a l M a g a z i n e , 40 ( 4 t h S e r i e s ) , 3 2 9 - 3 4 0 .
(三) ^ a b 例 え ば 、 理 科 年 表 ︵ 2 0 1 4 年 版 、 2 0 1 3 年 11 月 30 日 発 行 ︶ 地 学 部 ﹁ 地 球 楕 円 体 に 関 す る 計 算 式 ﹂ , p . 地 3 ︵ p . 5 8 1 ︶
(四) ^ K a w a s e , K . ( 2 0 1 1 ) : A G e n e r a l F o r m u l a f o r C a l c u l a t i n g M e r i d i a n A r c L e n g t h a n d i t s A p p l i c a t i o n t o C o o r d i n a t e C o n v e r s i o n i n t h e G a u s s - K r ü g e r P r o j e c t i o n , B u l l e t i n o f t h e G e o s p a t i a l I n f o r m a t i o n A u t h o r i t y o f J a p a n , 59 , 1 – 1 3
(五) ^ 河 瀬 和 重 ( 2 0 2 1 ) : 地 心 緯 度 を 介 し た 正 角 緯 度 と 地 理 ︵ 測 地 ︶ 緯 度 と の 関 係 に つ い て , 国 土 地 理 院 時 報 , 1 3 4 , 4 9 – 5 6
(六) ^ 日 露 戦 争 後 の ポ ー ツ マ ス 条 約 に よ り ﹁ 北 緯 50 度 以 南 の 樺 太 を 日 本 に 割 譲 す る ﹂ こ と が 決 ま っ た が 、 ﹁ 北 緯 50 度 と は 天 文 緯 度 で あ る ﹂ と 定 め ら れ 、 現 地 測 量 に よ り 国 境 線 を 画 定 し た 。 し か し 日 本 測 地 系 に よ る 東 京 か ら の 測 量 を 伸 ば し て い く と 、 確 定 し た 国 境 線 が 日 本 測 地 系 で の 北 緯 50 度 線 よ り 2 0 0 m ほ ど 南 と な り 、 一 部 で 問 題 視 さ れ た 。 ︵ 旧 樺 太 の 日 露 国 境 画 定 ︶ 2 0 0 2 年 に 日 本 が 採 用 し た 世 界 測 地 系 に よ る 北 緯 50 度 は 、 天 文 測 量 で 確 定 し た も の に 近 い 。 し か し 当 時 と し て は 、 ど の 測 地 系 が 適 切 な の か 知 る 方 法 が な い 一 方 、 各 国 の 測 地 系 間 の ず れ も 認 識 さ れ 始 め た 中 、 さ ら に 天 文 緯 度 と 測 地 学 的 緯 度 の 混 同 も あ っ た 。