出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
二項係数 を並べるとパスカルの三角形 が構成される。各要素はその上にある2つの要素の和に等しい。
初 等 代 数 学 に お け る 二 項 定 理 ︵ に こ う て い り 、 英 : b i n o m i a l t h e o r e m ︶ ま た は 二 項 展 開 ( b i n o m i a l e x p a n s i o n ) と は 、 二 項 式 の 冪 を 代 数 的 に 展 開 し た 式 を 表 し た も の で あ る 。
定 理 の 主 張 か ら 、 冪 ( x + y ) n を 展 開 す る と 、 n 次 の 項 ( n
k ) x n − k y k ( 0 ≤ k ≤ n ) [ 注 1 ] の 総 和 に な る 。 こ こ で の 係 数 ( n
k ) を 二 項 係 数 と 呼 び 、 正 整 数 と な る 。
二 項 係 数 ( n
k ) は 2 つ の 観 点 か ら 解 釈 す る こ と が で き る 。 一 つ に は
(
n
−
1
k
−
1
)
+
(
n
−
1
k
)
=
(
n
k
)
{\displaystyle {\dbinom {n-1}{k-1}}+{\dbinom {n-1}{k}}={\dbinom {n}{k}}}
か ら 帰 納 的 に 求 め る こ と が で き る 。 二 項 係 数 を 並 べ る と パ ス カ ル の 三 角 形 と な る 。 例 え ば
(
x
+
y
)
2
=
x
2
+
2
x
y
+
y
2
,
{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2},}
(
x
+
y
)
3
=
x
3
+
3
x
2
y
+
3
x
y
2
+
y
3
,
{\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},}
(
x
+
y
)
4
=
x
4
+
4
x
3
y
+
6
x
2
y
2
+
4
x
y
3
+
y
4
.
{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}
二 項 係 数 ( n
k ) は 直 接 的 、 組 合 せ 数 学 的 に は
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}
で あ る 。 こ れ は 有 限 集 合 か ら 相 異 な る k 個 の 元 を 選 ぶ 組 合 せ の 総 数 を 与 え る 。
二 項 定 理 の 特 殊 な 場 合 に つ い て は 、 古 代 よ り 知 ら れ て い た 。 紀 元 前 4 世 紀 ギ リ シ ャ の 数 学 者 エ ウ ク レ イ デ ス は 指 数 が 2 の 場 合 の 二 項 定 理 に 言 及 し て い る [ 1 ] [ 2 ] 。 ま た 、 三 次 の 場 合 の 二 項 定 理 が 6 世 紀 の イ ン ド で は 知 ら れ て い た [ 1 ] [ 2 ] 。
二 項 係 数 は 相 異 な る n 個 の も の か ら 重 複 無 く k 個 を 選 ぶ 総 数 に 等 し く な る が 、 こ の こ と に つ い て は 、 古 代 ヒ ン ド ゥ ー で 着 目 さ れ て い た 。 現 在 知 ら れ て い る も の で 最 古 の も の は 、 ヒ ン ド ゥ ー の 詩 人 ピ ン ガ ラ ︵ 英 語 版 ︶ ( c . 2 0 0 B . C . ) に よ る C h a n d a ḥ ś ā s t r a で 、 そ れ に は そ の 解 法 も 含 ま れ て い る [ 3 ] : 2 3 0 。 紀 元 後 10 世 紀 に 評 者 ハ ラ ー ユ ダ ︵ 英 語 版 ︶ は こ の 解 法 を 今 日 で い う パ ス カ ル の 三 角 形 を 用 い て 説 明 し た [ 3 ] 。 こ の 数 が n ! / ( n − k ) ! k ! で あ る こ と が 、 6 世 紀 ご ろ の ヒ ン ド ゥ ー の 数 学 者 に は 、 お そ ら く 知 ら れ て い た [ 4 ] し 、 こ の 規 則 に つ い て の 言 及 を 12 世 紀 に バ ー ス カ ラ 2 世 の 表 し た 文 書 L i l a v a t i に 見 つ け る こ と が で き る [ 4 ] 。
二 項 係 数 を 組 合 せ 論 的 量 と し て 表 記 し た 二 項 定 理 は 、 二 項 係 数 の 三 角 形 パ タ ー ン に つ い て 記 述 し た 11 世 紀 ア ラ ビ ア 数 学 ア ル ゠ カ ラ ジ ︵ 英 語 版 ︶ の 業 績 に も 見 つ け る こ と が で き る [ 5 ] 。 ア ル ゠ カ ラ ジ は ま た 、 原 始 的 な 形 の 数 学 的 帰 納 法 を 用 い て 二 項 定 理 お よ び パ ス カ ル の 三 角 形 に 関 す る 数 学 的 証 明 も 与 え て い る [ 5 ] 。 ペ ル シ ア の 詩 人 で 数 学 者 の ウ マ ル ・ ハ イ ヤ ー ム の 数 学 的 業 績 の ほ と ん ど は 失 わ れ て し ま っ た が 、 彼 は 恐 ら く 高 階 の 二 項 定 理 に つ い て よ く 知 っ て い た [ 2 ] 。 低 次 の 二 項 展 開 は 13 世 紀 中 国 の 楊 輝 [ 6 ] や 朱 世 傑 [ 2 ] の 数 学 的 業 績 に も 見 ら れ る 。 楊 輝 は 遥 か 旧 く 11 世 紀 の 賈 憲 ︵ 英 語 版 ︶ の 書 の 方 法 に 従 っ た ︵ し か し 、 そ れ ら も ま た 今 日 で は 失 わ れ て し ま っ た ︶ [ 3 ] : 1 4 2 。
1 5 4 4 年 に ミ ハ エ ル ・ シ ュ テ ィ ー フ ェ ル ︵ ド イ ツ 語 版 、 英 語 版 ︶ [ 7 ] は " b i n o m i a l c o e f f i c i e n t " ︵ ﹁ 二 項 係 数 ﹂ ︶ の 語 を 導 入 し 、 ( 1 + a ) n の ( 1 + a ) n − 1 で の 表 し 方 を 、 ﹁ パ ス カ ル の 三 角 形 ﹂ に よ り 示 し た [ 8 ] 。 ブ レ ー ズ ・ パ ス カ ル は 、 今 日 彼 の 名 を 冠 し て 呼 ば れ る 三 角 形 の 包 括 的 な 研 究 を 論 文 ︵ 英 語 版 ︶ T r a i t é d u t r i a n g l e a r i t h m é t i q u e ( 1 6 5 3 ) に 著 し た が 、 こ れ ら の 数 の 規 則 性 は ル ネ ッ サ ン ス 後 期 ヨ ー ロ ッ パ の 数 学 者 た ち ︵ 例 え ば シ ュ テ ィ ー フ ェ ル 、 タ ル タ リ ア 、 シ モ ン ・ ス テ ヴ ィ ン な ど ︶ に は 既 に 知 ら れ て い た [ 8 ] 。
ア イ ザ ッ ク ・ ニ ュ ー ト ン は 有 理 数 冪 に 対 し て 成 り 立 つ 一 般 化 さ れ た 二 項 定 理 を 示 し た と 考 え ら れ て い る [ 9 ] [ 8 ] ︵ 二 項 級 数 を 参 照 ︶ 。
定 理 の 主 張 [ 編 集 ]
定 理 に よ れ ば 、 x + y の 冪 を 展 開 す る と 、 冪 指 数 n を 自 然 数 と し て 、
(
x
+
y
)
n
=
(
n
0
)
x
n
+
(
n
1
)
x
n
−
1
y
1
+
(
n
2
)
x
n
−
2
y
2
+
⋯
+
(
n
n
−
1
)
x
1
y
n
−
1
+
(
n
n
)
y
n
{\displaystyle (x+y)^{n}={\binom {n}{0}}x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}y^{1}+{\binom {n}{2}}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{\binom {n}{n-1}}x^{1}y^{n-1}+{\binom {n}{n}}y^{n}}
(1 )
となる。この展開した式の係数 ( n k ) を二項係数と呼び、正整数となる。この等式はしばしば二項公式 (ドイツ語版 ) あるいは二項(恒)等式 とも呼ばれる。
x 0 = y 0 :=1[注 1] と定義すれば、全ての項を総和記号 Σ で一律に表示できる:
(
x
+
y
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
k
y
n
−
k
{\displaystyle (x+y)^{n}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{k}y^{n-k}}
(2 )
最 後 の 等 号 は 、 x , y に つ い て の 対 称 性 と 、 二 項 係 数 の 列 の 対 称 性 に よ り 得 ら れ る 。
二 項 公 式 を 簡 略 化 し た 一 変 数 版 も よ く 知 ら れ る ‥
(
1
+
x
)
n
=
(
n
0
)
+
(
n
1
)
x
1
+
(
n
2
)
x
2
+
⋯
+
(
n
n
−
1
)
x
n
−
1
+
(
n
n
)
x
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
k
.
{\displaystyle (1+x)^{n}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}x^{1}+{\binom {n}{2}}x^{2}+\cdots +{\binom {n}{n-1}}x^{n-1}+{\binom {n}{n}}x^{n}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{k}.}
逆 に 、 二 項 定 理 の 一 変 数 版 か ら も と の 二 項 定 理 を 、 指 数 法 則 な ど の 基 本 的 な 計 算 法 則 に よ り 導 く こ と が で き る [ 1 0 ] 。
注
● ( 1 ) は 、 可 換 環 に お い て 成 り 立 つ 。
● ( 2 ) は 、 可 換 環 が さ ら に 単 位 的 環 が あ る と き 成 り 立 つ 。 こ の と き 、 項 ( n
k ) x n − k y k は 環 の 元 の 積 x n − k y k の 整 数 ( n
k ) に よ る ス カ ラ ー 倍 で あ る 。 つ ま り こ こ で は 環 を Z - 加 群 と 見 做 し て い る 。
● 必 ず し も 可 換 で な い 一 般 の 単 位 的 環 に お い て も 、 x と y が 可 換 で あ る ︵ つ ま り xy = yx を 満 た す ︶ な ら ば 、 二 項 定 理 は 成 り 立 つ 。
定 理 の 主 張 を 、 多 項 式 列 { 1 , x , x 2 , … } は 二 項 型 で あ る と 述 べ る こ と も で き る 。
帰 納 的 証 明 [ 編 集 ]
数 学 的 帰 納 法 と パ ス カ ル の 法 則 ︵ 英 語 版 ︶ に よ り 、 簡 単 に 証 明 で き る 。
n = 0
(
x
+
y
)
0
=
1
=
(
0
0
)
x
0
y
0
{\displaystyle (x+y)^{0}=1={\binom {0}{0}}x^{0}y^{0}}
に よ り 成 り 立 つ 。
以 下 、 非 負 整 数 n に 関 す る 帰 納 法 で 示 す 。
あ る n に つ い て 成 り 立 つ と 仮 定 す る 。
(
x
+
y
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
{\displaystyle (x+y)^{n}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}}
よ り 、
(
x
+
y
)
n
+
1
=
(
x
+
y
)
(
x
+
y
)
n
=
(
x
+
y
)
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
=
x
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
+
y
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
(
n
+
1
)
−
k
y
k
+
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
+
1
=
∑
k
=
0
n
+
1
(
n
k
)
x
(
n
+
1
)
−
k
y
k
+
∑
k
=
0
n
+
1
(
n
k
−
1
)
x
(
n
+
1
)
−
k
y
k
(
∵
(
n
n
+
1
)
=
(
n
−
1
)
=
0
)
=
∑
k
=
0
n
+
1
[
(
n
k
)
+
(
n
k
−
1
)
]
x
(
n
+
1
)
−
k
y
k
{\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{n+1}&=(x+y)(x+y)^{n}\\&=(x+y)~\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\\&=x\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}+y\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\\&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{(n+1)-k}y^{k}+\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k+1}\\&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n+1}{\dbinom {n}{k}}x^{(n+1)-k}y^{k}+\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n+1}{\dbinom {n}{k-1}}x^{(n+1)-k}y^{k}\\\left(\because {\binom {n}{n+1}}={\binom {n}{-1}}=0\right)\\&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n+1}\left\lbrack {\dbinom {n}{k}}+{\dbinom {n}{k-1}}\right\rbrack x^{(n+1)-k}y^{k}\end{aligned}}}
と な り 、 パ ス カ ル の 法 則 を 用 い て
(
x
+
y
)
n
+
1
=
∑
k
=
0
n
+
1
(
n
+
1
k
)
x
(
n
+
1
)
−
k
y
k
{\displaystyle (x+y)^{n+1}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n+1}{\dbinom {n+1}{k}}~x^{(n+1)-k}y^{k}}
を 得 る 。 こ れ は 所 期 の 式 で あ る [ 1 1 ] 。
組 合 せ 論 的 証 明 [ 編 集 ]
n 個 の ( x + y ) の 積 を 一 度 に 展 開 し 切 る こ と に よ り 、 よ り 直 接 的 に 、 直 観 的 な 証 明 が で き る [ 1 2 ] 。
(
x
+
y
)
n
=
(
x
+
y
)
(
x
+
y
)
⋯
(
x
+
y
)
⏟
n
factors
{\displaystyle (x+y)^{n}=\underbrace {(x+y)(x+y)\cdots (x+y)} _{n{\text{ factors}}}}
一 度 に 展 開 す る と 、 そ れ ぞ れ の ( x + y ) か ら x ま た は y を 取 っ た 文 字 n 個 の 総 乗 の 総 和 と な る 。
こ れ ら の 積 の う ち 、 並 び 替 え て x n − k y k ( k = 0 , 1 , … , n ) に な る も の は 、 ( n − k ) 個 の x 、 k 個 の y を 並 べ る 場 合 の 数 だ け あ る か ら 、 二 項 係 数 ( n
k ) 、 す な わ ち x n − k y k の 係 数 は n C k と な る 。
注
n 個の積を一度に展開し切る方法により、次のことも分かる:
等式
(
X
+
Y
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
X
n
−
k
Y
k
{\displaystyle (X+Y)^{n}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}X^{n-k}Y^{k}}
において n 個の Y を区別して Y 1 , Y 2 , …, Yn と考えた場合、展開式は基本対称式 σk を用いて
∏
i
=
1
n
(
X
+
Y
i
)
=
∑
k
=
0
n
σ
k
(
Y
1
,
…
,
Y
n
)
X
n
−
k
{\displaystyle \textstyle \prod \limits _{i=1}^{n}(X+Y_{i})=\sum \limits _{k=0}^{n}\sigma _{k}(Y_{1},\ldots ,Y_{n})X^{n-k}}
と書ける。
一般化 [ 編集 ]
ニュートンの一般化された二項定理 [ 編集 ]
1665年ごろアイザック・ニュートン は従来の二項定理を一般化して非整数冪に対する公式(ニュートンの一般二項定理)を得た[13] 。この一般化において、有限和は級数 になる。また、二項係数 ( n k ) の上の添字 n は自然数とは限らないから、二項係数を階乗を用いて表すこともできない。一般化された二項係数を任意の数 r に対して
(
r
k
)
=
r
(
r
−
1
)
⋯
(
r
−
k
+
1
)
k
!
=
(
r
)
k
k
!
{\displaystyle {\binom {r}{k}}={\frac {r\,(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}}}
(1 )
で定義する。右辺の (•)k はポッホハマー記号 で、ここでは下方階乗を表す。このとき実数 x , y が |x | > |y | を満たすとき[注 2] 、任意の複素数 r に対して
(
x
+
y
)
r
=
∑
k
=
0
∞
(
r
k
)
x
r
−
k
y
k
=
x
r
+
r
x
r
−
1
y
+
r
(
r
−
1
)
2
!
x
r
−
2
y
2
+
r
(
r
−
1
)
(
r
−
2
)
3
!
x
r
−
3
y
3
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\dbinom {r}{k}}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\dotsb \end{aligned}}}
(2 )
が 成 り 立 つ 。 r が 非 負 整 数 の と き 、 k > r に 対 す る 二 項 係 数 は 零 で あ る か ら 等 式 ( 2 ) は 等 式 ( 1 ) に 特 殊 化 さ れ 、 非 零 項 は 高 々 r + 1 個 で あ る 。 r が そ れ 以 外 の 値 の と き は 級 数 ( 2 ) は ︵ 少 な く と も x , y が 非 零 の と き ︶ 無 数 の 非 零 項 を 持 つ 。
こ れ は 級 数 を 扱 っ て い て そ れ を 一 般 化 超 幾 何 函 数 ︵ 英 語 版 ︶ で 表 そ う と す る と き に 重 要 で あ る 。
r = − s と 置 け ば 有 用 な 等 式
1
(
1
−
x
)
s
=
∑
k
=
0
∞
(
s
+
k
−
1
k
)
x
k
≡
∑
k
=
0
∞
(
s
+
k
−
1
s
−
1
)
x
k
{\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\dbinom {s+k-1}{k}}x^{k}\equiv \textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\dbinom {s+k-1}{s-1}}x^{k}}
を 得 る 。 こ れ を さ ら に s = 1 と 特 殊 化 す れ ば 等 比 級 数 を 得 る 。
注
式 (2 ) は x , y が複素数の場合にも一般化することができる。この場合、|x | > |y | [注 2] に加えて、x を中心とする半径 |x | の開円板上で定義されたlog の正則 な枝を用いて x + y および x の冪を定義しなければならない。
式 (2 ) は x , y がバナッハ環 の元であるときも、xy = yx かつ x が可逆で ‖ y /x ‖ < 1 である限り成り立つ。
多項定理 [ 編集 ]
二 項 定 理 は 三 項 以 上 の 和 の 冪 展 開 に 拡 張 す る こ と が で き る ‥
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
m
)
n
=
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
=
n
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
m
k
m
{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}
こ こ で 和 は 、 非 負 整 数 列 k 1 , … , k m の 総 和 が n で あ る も の 全 体 に 亙 っ て 取 る か ら 、 右 辺 の 展 開 式 は 項 の 次 数 が 何 れ も n 次 で あ る 斉 次 多 項 式 で あ る 。 展 開 式 の 係 数 ( n
k 1 , … , k m ) は 多 項 係 数 と 呼 ば れ 、
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
=
n
!
k
1
!
k
2
!
⋯
k
m
!
{\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}
と な る 。 組 合 せ 論 的 に は 、 多 項 係 数 ( n
k 1 , … , k m ) は 、 n 元 - 集 合 を 各 位 数 が k 1 , … , k m と な る 、 互 い に 素 な 部 分 集 合 へ 分 割 す る 場 合 の 数 と な る 。
多 重 二 項 定 理 [ 編 集 ]
二 項 式 の 総 乗 と い っ た 、 よ り 次 元 の 高 い も の を 取 り 扱 う 場 合 に も 二 項 定 理 は し ば し ば 有 用 で あ る 。 二 項 定 理 に よ り 等 式
(
x
1
+
y
1
)
n
1
⋯
(
x
d
+
y
d
)
n
d
=
∑
k
1
=
0
n
1
⋯
∑
k
d
=
0
n
d
(
n
1
k
1
)
x
1
k
1
y
1
n
1
−
k
1
⋯
(
n
d
k
d
)
x
d
k
d
y
d
n
d
−
k
d
{\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}=0}^{n_{1}}\cdots \sum \limits _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\dbinom {n_{1}}{k_{1}}}\,{x_{1}}^{k_{1}}{y_{1}}^{n_{1}-k_{1}}\;\cdots \;{\dbinom {n_{d}}{k_{d}}}\,{x_{d}}^{k_{d}}{y_{d}}^{n_{d}-k_{d}}}
が 成 り 立 つ 。 こ の 式 は 多 重 指 数 を 用 い れ ば
(
x
+
y
)
α
=
∑
ν
≤
α
(
α
ν
)
x
ν
y
α
−
ν
{\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\textstyle \sum \limits _{\nu \leq \alpha }{\dbinom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }}
と よ り 簡 潔 に 表 さ れ る 。
三 角 函 数 の 多 倍 角 公 式 [ 編 集 ]
複 素 数 に 対 す る 二 項 定 理 と ド ・ モ ア ブ ル の 定 理 を 合 わ せ れ ば 、 正 弦 函 数 、 余 弦 函 数 の 多 倍 角 公 式 が 得 ら れ る 。 ド ・ モ ア ブ ル の 公 式 に よ れ ば
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
n
{\displaystyle \cos(nx )+i\sin(nx )=(\cos x+i\sin x)^{n}}
が 成 り 立 つ か ら 、 二 項 定 理 を 用 い て 右 辺 を 展 開 し て 実 部 と 虚 部 を 比 較 す れ ば c o s ( nx ) お よ び s i n ( nx ) に 対 す る 公 式 を 得 る 。
n = 2 の 場 合 は 、
(
cos
x
+
i
sin
x
)
2
=
cos
2
x
+
2
i
cos
x
sin
x
−
sin
2
x
{\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x}
か ら 倍 角 公 式
cos
(
2
x
)
=
cos
2
x
−
sin
2
x
,
sin
(
2
x
)
=
2
cos
x
sin
x
{\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x,\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x}
を 得 る 。
n = 3 の 場 合 は 、
(
cos
x
+
i
sin
x
)
3
=
cos
3
x
+
3
i
cos
2
x
sin
x
−
3
cos
x
sin
2
x
−
i
sin
3
x
{\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x}
か ら 三 倍 角 公 式
cos
(
3
x
)
=
cos
3
x
−
3
cos
x
sin
2
x
,
sin
(
3
x
)
=
3
cos
2
x
sin
x
−
sin
3
x
{\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x,\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x}
を 得 る 。
一 般 に
cos
(
n
x
)
=
∑
k
: even
(
−
1
)
k
2
(
n
k
)
cos
n
−
k
x
sin
k
x
,
sin
(
n
x
)
=
∑
k
: odd
(
−
1
)
k
−
1
2
(
n
k
)
cos
n
−
k
x
sin
k
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(nx )&=\textstyle \sum \limits _{k{\text{: even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{\dbinom {n}{k}}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x,\\\sin(nx )&=\textstyle \sum \limits _{k{\text{: odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{\dbinom {n}{k}}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x\end{aligned}}}
と な る 。
ネ イ ピ ア 数 の 級 数 表 示 [ 編 集 ]
ネ イ ピ ア 数 e を 極 限
e
=
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
で 定 義 す る と き 、 二 項 定 理 と 単 調 収 束 定 理 を 用 い れ ば e の 級 数 表 示 を 得 る 。
(
1
+
1
n
)
n
=
1
+
(
n
1
)
1
n
+
(
n
2
)
1
n
2
+
(
n
3
)
1
n
3
+
⋯
+
(
n
n
)
1
n
n
=
1
+
1
+
1
2
!
(
1
−
1
n
)
+
1
3
!
(
1
−
1
n
)
(
1
−
2
n
)
+
⋯
+
1
n
!
(
1
−
1
n
)
(
1
−
2
n
)
⋯
(
1
−
n
−
1
n
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}&=1+{\binom {n}{1}}{\frac {1}{n}}+{\binom {n}{2}}{\frac {1}{n^{2}}}+{\binom {n}{3}}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{\binom {n}{n}}{\frac {1}{n^{n}}}\\&=1+1+{\frac {1}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+{\frac {1}{3!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)+\cdots +{\frac {1}{n!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)\end{aligned}}}
で あ り 、 こ れ は n に 関 し て 単 調 増 加 で あ る 。 こ の 和 の 第 k 項
(
n
k
)
1
n
k
=
1
k
!
(
1
−
1
n
)
(
1
−
2
n
)
⋯
(
1
−
k
−
1
n
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)}
は n → ∞ の と き
1
k
!
{\displaystyle {\frac {1}{k!}}}
に 収 束 す る 。
故 に e は 級 数 と し て
e
=
1
0
!
+
1
1
!
+
1
2
!
+
1
3
!
+
⋯
{\displaystyle e={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\dotsb }
と 書 け る 。
冪 函 数 の 微 分 [ 編 集 ]
自 然 数 n に 対 す る 冪 函 数 f ( x ) = x n の 導 函 数 を 定 義 に 基 づ い て 求 め る に は 、 二 項 冪 ( x + h ) n を 展 開 す れ ば よ い 。
一 般 ラ イ プ ニ ッ ツ の 方 則 [ 編 集 ]
2 つ の 函 数 の 積 の 高 階 導 函 数 の 公 式 は 、 一 般 の ラ イ プ ニ ッ ツ の 法 則 ( L e i b n i z r u l e ) と 呼 ば れ 、 二 項 定 理 と 同 様 の 形 式 に な る [ 1 4 ] ‥
●
(
f
g
)
(
n
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
f
(
n
−
k
)
g
(
k
)
{\displaystyle (fg )^{(n )}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k )}}
逆 に 、 ラ イ プ ニ ッ ツ の 公 式 か ら 二 項 定 理 を 導 く こ と も で き る 。 実 際 、 t の 函 数 e x p ( ( x + y ) t ) = e x p ( xt ) e x p ( yt ) の 両 辺 を t で n 回 微 分 す る と 、
(
x
+
y
)
n
exp
(
(
x
+
y
)
t
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
n
−
k
exp
(
x
t
)
y
k
exp
(
y
t
)
{\displaystyle (x+y)^{n}\exp((x+y)t)=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}\exp(xt )\,y^{k}\exp(yt )}
を 得 る か ら 、 両 辺 を e x p ( xt ) e x p ( yt ) で 除 し て 所 期 の 式 を 得 る 。
脚注・参照 [ 編集 ]
(一) ^ a b k = 0 , n で は 項 に そ れ ぞ れ y , x が 現 れ な い が 、 x 0 = y 0 : = 1 と 定 義 す る こ と よ り 、 統 一 し て 表 記 す る こ と が で き る 。 乗 法 的 単 位 元 1 が 存 在 し な い 場 合 は 、 こ の 定 義 は で き な い 。
(二) ^ a b こ れ は 収 束 を 保 証 す る 。 r に よ っ て は 、 | x | = | y | で も こ の 級 数 が 収 束 す る こ と が あ る 。
^ a b Weisstein, Eric W. "Binomial Theorem" . mathworld.wolfram.com (英語).
^ a b c d Coolidge, J. L. (1949). “The Story of the Binomial Theorem” . The American Mathematical Monthly 56 (3): 147-157. https://www.jstor.org/stable/2305028 .
^ a b c Jean-Claude Martzloff; S.S. Wilson; J. Gernet; J. Dhombres (1987). A history of Chinese mathematics . Springer
^ a b Biggs, N. L. (1979). “The roots of combinatorics”. Historia Math. 6 (2): 109-136. doi :10.1016/0315-0860(79)90074-0 .
^ a b O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , “Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji” , MacTutor History of Mathematics archive , University of St Andrews , https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Karaji/ .
^ Landau, James A. (1999年5月8日). “Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal's Triangle ” (mailing list email). Archives of Historia Matematica . 2007年4月13日 閲覧。 [リンク切れ ]
^ 『シュティーフェル 』 - コトバンク
^ a b c Kline, Morris (1972). History of mathematical thought . Oxford University Press . p. 273
^ Bourbaki, N. J. Meldrum訳 (1998-11-18). Elements of the History of Mathematics Paperback . ISBN 978-3540647676
^ 『二項定理の意味と係数を求める例題・2通りの証明 』 - 高校数学の美しい物語
^ Binôme de Newton : démonstration par récurrence. - YouTube
^ Binôme de Newton : approche par dénombrement. - YouTube
^ E.ハイラー、G.ヴァンナー 『解析教程(上)』p.29 シュプリンガー・ジャパン
^ Seely, Robert T. (1973). Calculus of One and Several Variables . Glenview: Scott, Foresman. ISBN 0-673-07779-9
参考文献 [ 編集 ]
関連項目 [ 編集 ]
外部リンク [ 編集 ]
ウィキブックスに
二項定理 関連の解説書・教科書があります。
日本大百科全書(ニッポニカ)『二項定理 』 - コトバンク
『二項定理の意味と係数を求める例題・2通りの証明 』 - 高校数学の美しい物語
『一般化二項定理とルートなどの近似 』 - 高校数学の美しい物語
Weisstein, Eric W. "Binomial Theorem" . mathworld.wolfram.com (英語).
Weisstein, Eric W. "Binomial Series" . mathworld.wolfram.com (英語).
Weisstein, Eric W. "Negative Binomial Series" . mathworld.wolfram.com (英語).
Solomentsev, E. D. (2001), “Binomial series” , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 , https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Binomial_series&oldid=17445
Solomentsev, E.D. (2001), “Newton binomial” , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 , https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Newton_binomial
Wolframデモンストレーションプロジェクト