極値

数学の実解析において、実数値関数の極値︵きょくち、英: extremum︶とは、関数の局所的な最小値および局所的な最大値の総称である。関数の極値を求める問題は極値問題と呼ばれる。

定義

n 次元ユークリッド空間 (Rⁿ, d) の開集合 U上で定義された実数値関数 f: U→ Rをとる。 関数 fを定義域 Uに属する点 pのある ε 近傍に制限すると値 f(p) がその最小値であるとき、値 f(p) を関数 fの極小値︵local minimum︶といい、点 pを関数 fの極小点︵local minimum point︶という。この条件は論理式を用いると

${\displaystyle \exists \varepsilon >0[\forall q\in U[d(p,q)<\varepsilon \implies f($p)\leq f(q)]]} $\exists \varepsilon >0[\forall q\in U[d(p,q)<\varepsilon \implies f(p)\leq f(q)]]$
と表せる。同様に関数 fを定義域 Uに属する点 pのある ε 近傍に制限すると値 f(p) がその最大値であるとき値 f(p) を関数 fの極大値︵local maximum︶といい、点 pを関数 fの極大点︵local maximum point︶という。

極小値と極大値を総称して極値︵extremum︶といい、極小点と極大点を総称して極値点という。

上の条件に現れる d(p, q) < ε ⇒ f(p) ≤ f(q) を 0 < d(p, q) < ε ⇒ f(p) < f(q) へ置き換えたとき、値 f(p) を関数 fの狭義の極小値︵strict local minimum︶という。同様に狭義の極大値︵strict local maximum︶も定義される。またこれらを総称して狭義の極値という。︵ただし狭義の極値を単に極値と呼ぶこともあるので、実際に用いられている定義をよく確認する必要がある。︶

必要条件

原点は関数 x³の停留点ではあるが、極値点ではない。

n 次元ユークリッド空間 Rⁿの開集合 U上で定義された実数値関数 f: U→ Rをとり、これが微分可能であるとする。

定義域 Uに属する点 pにおける関数 fの勾配 

${\displaystyle \nabla f($p)={\bigg [}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p),\dotsc ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p){\bigg ]}} $\nabla f(p)={\bigg [}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p),\dotsc ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p){\bigg ]}$
が 0 であるとき、点 pを関数 fの停留点︵stationary point︶あるいは臨界点︵critical point︶といい、値 f(p) を停留値︵stationary value︶あるいは臨界値︵critical value︶という。

点 pが関数 fの極値点であるためには、点 pが関数 fの停留点であることが必要である。

十分条件

原点は関数 x²+ y², x², x²− y²すべての停留点である。関数 x²+ y²の原点におけるヘッセ行列は正の定符号であり、原点で関数 x²+ y²は狭義の極小値をとる。また関数 x²− y²の原点におけるヘッセ行列は不定符号であり、原点は関数 x²− y²の鞍点である。一方で関数 x²の原点におけるヘッセ行列は特異行列であり、原点で退化している。

n 次元ユークリッド空間 Rⁿの開集合 U上で定義された実数値関数 f: U→ Rをとり、これが2回連続微分可能であるとする。

関数 fの停留点 pにおけるヘッセ行列

${\displaystyle \nabla ^{2}f($p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}(p)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}(p)\end{bmatrix}}} $\nabla ^{2}f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}(p)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}(p)\end{bmatrix}}$
が正の定符号︵∇² f(p) > 0︶であるならば関数 fは点 pにおいて狭義の極小値をとる。またヘッセ行列 ∇² f(p) が負の定符号︵∇² f(p) < 0︶であるならば関数 fは点 pにおいて狭義の極大値をとり、不定符号であるならば関数 fは点 pにおいて極値をとらない︵このとき点 pは関数 fの鞍点と呼ばれる︶。

この方法により、ヘッセ行列 ∇² f(p) が特異行列で停留点 pが退化している場合を除けば、極値判定ができる。

関連項目

• ラグランジュの未定乗数法

参考文献

• ユルゲン・ヨスト『ポストモダン解析学』シュプリンガー、2000年。ISBN 978-4-431-70871-1。 

書評 doi:10.11429/sugaku1947.54.314

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Extremum". mathworld.wolfram.com (英語).
• extremum - PlanetMath.（英語）
• Ivanov, A.B. (2001), “Extremum”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Extremum 
• extremum in nLab