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自然数
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自然数

(サイエンス)
【しぜんすう】

natural number
 {0,1,2,...}といった無限に続く数のこと。順序を表す数。有限の大きさを測る量。0を含めない流儀もある。
 自然数全体からなる集合は可算無限集合である。
定義を明確に示すために非負整数、正の整数などと呼び分ける場合もある。

公理化


自然数は一階述語論理の公理系として次のように形式化される。項は2変数関数記号 +,\times、1変数関数記号 s、定数記号 0からなり、述語記号は等式のみを持つ。例えば大小関係は m\leq n\Leftrightarrow \exists r(m+r=n)と定義できる。公理は次の8種類からなる。数学的帰納法の公理図式(8)が無限個の公理を代表していることに注意して欲しい。

(一)等式の公理
\forall n\neg(sn=0).
\forall m\forall n(sm=sn\Rightarrow m=n).
\forall n(n+0=n).
\forall m\forall n(m+sn=s(m+n)).
\forall m(m\times 0=0).
\forall m\forall n(m\times sn=(m\times n)+m).
P(0)\wedge\forall n(P(n)\Rightarrow P(sn))\Rightarrow \forall nP(n).

この体系はペアノ算術とよばれる。ペアノ算術より少し弱い公理系としてロビンソン算術がある。

集合論における自然数の構成

集合論では自然数を集合として構成する。具体的には 0:=\emptyset、s(n)=n\cup \{n\} のように帰納的に構成される。加算や乗算はペアノ算術の公理に倣って原始帰納により定義される：

  1. m+n=\begin{cases} &m& &\text{if $n=0$}& \\ &m+r& &\text{if $n=s(r)$}& \end{cases}
  2. m\times n=\begin{cases} &0& &\text{if $n=0$}& \\ &(m\times r)+m& &\text{if $n=s(r)$}& \end{cases}

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#音響学#音響学の基礎#音響学入門#言語聴覚士#オンライン講師#オンライン家庭教師#指数法則#自然数#指数#累乗
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#レーリーの定理#ビーティ数列#自然数#集合
完全無欠で荒唐無稽な夢•3年前

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#複素数#級数#自然数#数値計算#娯楽数学#数秘術
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163 という自然数について

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#有限群論#１６３#ガードナー#整数論#二次体#自然数
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#自然数#巨大数#無限大
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kohagura8888’s blog•2日前

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数学とあそぼう•3日前

「コラッツ予想」なぜ１になるのか


初めまして。辻󠄀原悦子と申します。﹁数学とあそぼう﹂というテーマで、ブログを始めました。 今回は、﹁コラッツ予想﹂です。 コラッツ予想とは、﹁すべての自然数は、偶数なら2で割り、奇数なら3倍して1をたす、を繰り返すと必ず1になるはずだ﹂というものです。なぜ、必ず1になるのでしょう。考えてみました。 結論は、 1. コラッツ予想を論理式で表すと、とてもきれいで、バランスのとれた式になっている。 例えば、﹁奇数なら3倍して﹂を、﹁5倍﹂、﹁7倍﹂に変更すると、バランスの悪い式になってしまい、必ず1にはなりません。 2. コラッツ予想の計算空間は、小さくなる圧力が大きくなる圧力の3倍である。 以上の…
ぼくちんの極秘アイデア倉庫•4日前

高性能なAI実現に向けた「知識・知能の理論」の提案

この記事では高性能なAIを開発する上で役に立つと思われる、「知識・知能の理論」を提案したいと思います。 この記事では知識というものの本質的な姿を考察し、定義することを試みます。 優れた知能というのは優れた知識表現を獲得しその知識表現を基に優れた思考をしたり行動をしたりすることだと思います。優れた知識表現を得るには優れた抽象化能力が必要で、その能力によって抽象度が高く整頓された知識表現を得る必要があります。この記事では抽象度とは何か、整頓とは何かを説明し、知識というものを定義することを試みます。 知識の整頓の定義にはエントロピーという概念が関係しています。クロード・シャノンの情報理論では情報とい…

ESM アジャイル事業部 開発者ブログ•4日前

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１５３．Make 10


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数学的プラトニズム

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(新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編•9日前

トピックワード

トピックワードとは、記述本体内に散在して出現するワードで、トピックを表すキーワード。以下、実際に予定しているトピックワード。 基本データ型 基本データ値 複合データ型 複合データ値 自然数による非負有理数の構成 自由な帰納的構成 自由な相互再帰的構成 同値関係と亜集合 格子平面とマンハッタン距離 格子第一象限（北東領域）と二分木 根付きグラフの被覆ツリーと同値関係 パス等式系付き有向グラフ データ型スキーマとデータ具体値 宇宙内の型無制約のデータ型スキーマ（（スロット付き）形状のみ）

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上2桁と下3桁を入れ替えると5:8

算チャレ1294をmathematicaで解きました brute force解 桁数字の候補を絞り込む 算チャレ1294をmathematicaで解きました 「算数にチャレンジ!!」第1294回の問題をmathematicaで解いた話を書きます。こういう問題です（表現を数学の問題っぽく変えてあります）。 5桁の自然数（〜は各位の数）がある。 この数に対して上2桁と下3桁を入れ替える作業を2回行ったところ，次のようになった。 入れ替え前後の数はすべて5桁である。もとの数 を求めよ。http://www.sansu.org/used-html/index1294.html は高々 通りしかないので…

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記数法・命数法って何？違いをわかりやすく教えて？日本の数え方は？

あなたが一度は耳にしたことがあるかもしれない、しかし具体的に何を指すのかはっきりとは覚えていない、そんな言葉があります。 それは、物を数えるときに使う方法を表す「記数法」と「命数法」という言葉です。 この二つの言葉を見たとき、何を指すのか、どういう意味を持つのか、具体的にどういったものを表しているのかと思われたことはありませんか？ しかし、これらの言葉を理解するためには特別に難しいことを考える必要はありません。 なぜなら、これらの数え方は日本でも、私たちが日常生活の中で一般的に使っている方法であるからです。 今回は、この「記数法」と「命数法」が一体何なのか、これらの違いは具体的にどのようなもの…

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