「同型写像」の版間の差分
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| alt2 = Rotations of a pentagon
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[[数学]]において，'''同型写像'''︵おんなじしゃぞう {{lang-en-short|isomorphism}}<ref group=note>from the [[Ancient Greek]]: [[wikt:ἴσος|ἴσος]] ''isos'' "equal", and [[wikt:μορφή|μορφή]] ''morphe'' "form" or "shape"</ref>︶あるいは単に'''同型'''とは，は[[準同型写像]]あるいは[[射 (圏論)|射]]であって，逆射を持つものである<ref group=note>逆関数ではない．</ref>．2つの[[数学的対象]]が'''同型''' (isomorphic) であるとは，それらの間に同型写像が存在することをいう．''[[自己同型]]写像''は始域と終域が同じ同型写像である．同型写像の興味は2つの同型な対象は写像を定義するのに使われる性質のみを使って区別できないという事実にある．したがって同型な対象はこれらの性質やその結果だけを考える限り同じものと考えてよい． [[群 (数学)|群]]や[[環 (数学)|環]]を含むほとんどの[[代数的構造]]に対して，準同型写像が同型写像であることと[[全単射]]であることは同値である．
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:<math>\text{A} \mapsto 3, \,\text{B} \mapsto 2, \,\text{C} \mapsto 1</math>
であり，どれか1つの同型写像が本質的に他のよりも良いということはない<ref group="note">注意深い読者は {{math|''A'', ''B'', ''C''}} が慣習的な順序，すなわちアルファベット順であり，同様に {{math|1, 2, 3}} も整数の順番だから，1つの特定の同型，すなわち
:<math>\text{A} \mapsto 1, \text{B} \mapsto 2, \text{C} \mapsto 3</math>
が﹁自然﹂だと思うかもしれない．より形式的には，''集合''としてはこれらは同型であるが，自然に同型ではない︵同型写像の複数の選び方がある︶一方で，''順序集合''としては自然に同型である︵上で与えられた一意的な同型写像がある︶，なぜならば{{仮リンク|有限全順序|en|finite total order}}は濃度による一意的な同型を除いて一意的に決定されるからである． 115 ⟶ 116行目:
:<math>\mathbf{P}_{\mathbb{C}}^1 := (\mathbb{C}^2\setminus \{(0,0)\}) / (\mathbb{C}^*)</math>
として表せるリーマン球面は1つの数学的対象の3つの異なる記述であり，すべて同型であるが，すべてある1つの空間の部分集合ではないから，等しくない：1つ目は {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} の部分集合で，2つ目は {{math|1='''C''' ≅ '''R'''}}<sup>2</sup><ref group="note">正確には，複素数の実平面との同一視
:<math>\mathbf{C} \cong \mathbf{R}\cdot 1 \oplus \mathbf{R} \cdot i = \mathbf{R}^2</math>
は {{mvar|i}} の取り方に依存する‥{{math|−i}} を選ぶこともでき，異なる同一視を生む――形式的には，[[複素共役]]が自己同型である――が，実際にはそのような同一視をしたとしばしば仮定する．</ref> に追加の一点を加えたもので，3つ目は {{math|'''C'''<sup>2</sup>}} の {{仮リンク|subquotient|en|subquotient}} である． | |||