トマエ関数

トマエ関数とは、カール・ヨハネス・トメ にちなんで名づけられた関数であり、ポップコーン関数、雨滴関数などの多くの別名を持ち、次のように定義される。

区間(0,1)においてトマエ関数をプロットしたもの

${\displaystyle f($x)={\begin{cases}1/q&(x=p/q,\ x\in \mathbb {Q} \setminus \{0\},\ p\in \mathbb {Z} ,\ q\in \mathbb {N} ,\ \gcd(p,q)=1),\\1&(x=0),\\0&(x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ).\end{cases}}} $f(x)={\begin{cases}1/q&(x=p/q,\ x\in \mathbb {Q} \setminus \{0\},\ p\in \mathbb {Z} ,\ q\in \mathbb {N} ,\ \gcd(p,q)=1),\\1&(x=0),\\0&(x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ).\end{cases}}$
この関数は各有理数において不連続である一方で、各無理数において連続である。このように不連続点が稠密で無限個あるにもかかわらず、︵定義式の似ているディリクレの関数とは異なり︶この関数は区間 [0, 1] 上でリーマン積分可能であることが示せる︵${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{1}f($x)\,dx=0} $\textstyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx=0$︶。

参考文献

• Abbot, S. (2015). Understanding Analysis (Second ed.). Springer. ISBN 978-1-4939-2711-1 

関連項目

• ベール関数
• カントール関数
• ディリクレの関数