プラニメータ
動作原理
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上図を用いてリニアおよびポーラープラニメータの動作を示す。測定する表面Sの輪郭Cにプラニメータの一端にあるポインタMを沿わせる。リニアプラニメータの場合、エルボEの動きはy軸上に制限されている。極プラニメータの場合、原点Oとつながっているアームのもう一方の端点にエルボEは接続されている。アームMEには、回転軸がMEに平行な測定ホイールが接続されている。アームMEの動きは、ホイールが回転することで起こるMEに垂直な動きの成分と、ホイールが滑ることで起こるMEに平行な動きの成分とに分解される。平行な動きの成分は読み取りには影響しない。
リニアプラニメータの動作原理
動作原理の概略説明のため、例としてリニアプラニメータを用いて右図の長方形 ABCD の面積を測定することを考える。測定は以下のステップからなる。
(一)ポインタMをAからBに移動すると、アームEMは黄色の平行四辺形
を移動する。この平行四辺形の面積は PQ×EM に等しく、さら平行四辺形
の面積とも等しい。測定ホイールで距離PQ︵EMに垂直︶を測定する。
(二)ポインタMがCからDに移動すると、アームEMは緑色の平行四辺形を反対方向に移動する。この平行四辺形の面積は長方形
の面積に等しい。測定ホイールは前者からこの読み取り値を差し引く。
(三)BCとDAに沿った動きは同じだが向きが反対であるため、ホイールの読み取りに正味の影響を与えることなく、互いに打ち消し合う。
(四)最終的な結果として、ABCD の領域である黄色と緑色の領域の差の面積が測定される。
数学的説明
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より数学的に厳密には、リニアプラニメータの動作は次式の成分を持つ (x,y) 平面上のベクトル場
にグリーンの定理を適用することで説明できる。ここで bはエルボEの y座標である。
このベクトル場
は測定アームEMに垂直である。つまり
また
の大きさ︵ノルム︶は一定でありアームの長さ mに等しい。つまり
したがってグリーンの定理を用いて
となる。ここで
を用いた。
したがって上式の左辺は輪郭で囲まれた面積 Aに等しい訳だが、これはホイールで測定された距離に比例する。比例係数は測定アームの長さ
である。
リニアプラニメータはその測定アームに垂直な動きのみを、あるいは
のときのみ記録を行っていることに注意する。上記の導出にはこのことが用いられている。この量を閉曲線Cで積分しグリーンの定理を用いることで面積が導出される。