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アレフ･ゼロ、最小の無限基数

数学において基数(cardinal number又はcardinals)とは、集合のカーディナリティ(濃度 、大きさ、サイズ)を測るためのものとしての自然数の一般化である。 有限集合の濃度(cardinality)は、つまり有限集合の要素の個数は自然数である。 無限集合のサイズは、超限基数で記述される。

濃度は全単射をもちいて定義される。2つの集合が等しい濃度を持つとは、その集合の間に全単射が存在するということである。 有限集合の場合は、サイズの直感的概念に同意できるだろう。 無限集合の場合は、振る舞いは複雑になってくる。 ゲオルグ・カントールが示した基礎的な理論は無限集合たちが異なる濃度を持ちうるとおいうことを示したのである。 特に、実数の集合の濃度は自然数の集合の濃度より真に大きいということを示したのである(カントールの定理)。 つまり、有限集合の真部分集合と元の集合の濃度が等しくなり得ないのに対し、無限集合の真部分集合の濃度が元の集合の濃度と等しいということは起こりうるのである。

基数の超限列が存在する:

$0,1,2,3,\ldots ,n,\ldots ;\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots .\$$0,1,2,3,\ldots ,n,\ldots ;\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots .\$
この列は、有限基数である自然数が最初に並んでいて、その後に整列集合の無限基数であるアレフ・ナンバー(en:aleph number)が続く。 アレフ・ナンバーは順序数によって添字付けられている。 選択公理の仮定の下で、この超限列はすべての基数を含んでいる。 もし、選択公理が仮定されなければ、アレフ・ナンバーでない無限基数に関して状況はさらに複雑になってくる。

濃度は、集合論の一部のために研究されている. また、組合せ論や抽象代数学、解析学を含めた数学の書く分野の道具としても使われる。 圏論では、基数は集合の圏のskeltonを形成する。

歴史

濃度の概念は、集合論の創始者であるゲオルグ・カントールによって定式化された。 濃度は、有限集合の一側面を比べるのに用いられる。 例えば、{1,2,3} と {4,5,6} という集合は等しくない。しかし、({1->4, 2->5, 3->6}という一対一の対応の存在よって確立された)3という同じ“濃度”を持っている。

カントールは、一対一対応という概念を、例えば自然数全体の集合 N= {0, 1, 2, 3, ...} といった無限集合に適用した。 N との間に一対一対応が存在する集合を可算無限集合といい、可算無限集合は同じ基数$\aleph _{0}$ (アレフ・ゼロ)を持つ。 カントールは、このような無限集合に対応する基数を超限基数と呼んだ。

カントールは、直観に反するかもしれないが、N のいかなる非有界部分集合はN と同じ濃度を持つということを証明した。 また、自然数の順序対全体も可算無限であるということを証明した(これは有理数全体の集合が可算無限であることを直ちに導く)。また、後に代数的数全体の集合も可算無限であることも証明した。

カントールは1874年の論文において、Nの濃度より実数全体の集合の濃度のほうが真に大きいということを示すことによって、高位の基数が存在することを示した。 彼の証明は、区間縮小法を用いた複雑な論法であった。 しかし、1891年の論文では、同じ事を工夫に富んで簡潔な対角線論法というものを用いて証明した。 実数全体の集合に対応する新しい基数を、連続体濃度といい、カントールは${\mathfrak {c}}$ という記号をそれに用いた。

カントールは基数の一般理論の大部分を発展させた。彼は最小の超限基数の存在を示した。また、いかなる基数についても、その次に大きい基数が存在することを示した。

彼の連続体仮説は、${\mathfrak {c}}$  は $\aleph _{1}$  に等しい、という命題である。 連続体仮説は、公理系から証明もその否定も証明できないという意味で、集合論の通常の公理系(ツェルメロ・フレンケルの公理系)から独立であることが示されている。

正式な定義

正式には、選択公理を仮定すれば、集合X の濃度とは、X と順序数αの間に全単射が存在するようなαのうち最小のものであると定義する。 この定義は、フォン・ノイマンの基数課題(en:Von Neumann cardinal assignment)として知られている。 もし、選択公理を仮定しないのであれば、違うことしなければならない。 (カントールによって暗に、フレーゲやプリンキピア・マテマティカにおいて明確に示されていた)集合X の濃度の最も古い定義は、X と一対一対応のつくであるすべての集合の[クラス][X] としての定義である。 これは、ZFCや関連する集合論の公理系ではではうまく機能しない。 それは、X が非空であるならば、一対一対応のつくであるすべての集合をあつめたものは集合にしては大きすぎるからである。 実際、空でない集合X について、集合m から {m} × Xへの写像を考える事によって、宇宙から[X] への単射が存在し、サイズの限界(en:Limitation of size)より、[X] は真のクラスである。