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2009.11.03
数学にはネイティブはいない：「語学としての数学」完全攻略＝風景＋写経アプローチ
︵関連記事︶
・凡人が数学を語学として学ぶ具体的な手続きを説明する／図書館となら、できること番外編 読書猿Classic: between / beyond readers 
・無料で自宅でやりなおす→小学校の算数から大学数学までweb上教材をリストにした 読書猿Classic: between / beyond readers 
数学は、科学︵自然科学はもとより、大半の社会科学と、かなりの人文科学で︶の共通言語です。 一定程度マスターすれば、数カ国語を習得した以上の世界が眼の前に広がっていることを知って狂喜乱舞するはずです。いわば︽語学としての数学︾を習得する利益は非常に大きいと思われます。
ところが﹁英語の学び方﹂のコツ、体験談、支援サイトの紹介な、定期的にネット上でも話題になるのに、潜在的習得ニーズが大きな数学については、そうした形で取り上げられることがほとんどありません。
その一番大きな理由は、おそらく︽できる人︾と︽できない人︾との差が大きすぎるせいでしょう。︽できる人︾には、ライフ・ハック的なアプローチはそもそも必要ないし、︽できない人︾は早々にあきらめているので、そもそもニーズが顕在化しません。
数学を身につけるのに﹁問題を解く﹂以外の︵そして以前の︶トレーニング法が乏しいことが︽できる人︾と︽できない人︾を二極分化させる根底にあります。 問題が解ける人は、どんどん問題を解いて，習得していくでしょう。 問題がなかなか解けない人は，フラストレーションを蓄積し、やがては耐え切れなくなって、数学から離れていくでしょう。 こうして最初は些細な差であったとしても、級数的にその差は広がっていきます。
しかし語学と違い、数学にはネイティブ・スピーカーはいません。才能の程度はあるにしても、誰もがトレーニングを積んで身につけるしかありません。語学があまり得意とは言えない日本人が、数学を多用する分野で数多く活躍しています。事実、高校までで教えられる数学のレベルは、世界でも非常に高いものです。
では﹁数学はできない﹂と思ってしまった人が、︽語学としての数学︾を習得するにはどうすればよいでしょう？
これまで︽できない人︵問題が解けない人︾に対しては、﹁わからなくても、問題と解答を書き写せ﹂というのが唯一にして最後の方法でした。 これは確かに一定効果はあるのですが、いかんせん人間は﹁訳が分からない﹂ままに作業を続けるのは苦痛です。したがってやっては見たものの、途中で止めてしまった人も多いのではないでしょうか？
そこで﹁なにをやってるのか﹂ぐらいのおぼろげなイメージをつかんでから、書き写す段階に移る2段構えのアプローチ、いわば風景＋写経アプローチを提案したいと思います。
数学は︽問題が解ける人︾にとっても、随分先へ進んでから、ようやく自分がやって来たことが，何とどうつながっているか、その全体像がわかることも少なくありません。先に、自分がやろうとしている分野の﹁土地勘﹂をつけることはプラスにこそなれ、マイナスにはならないでしょう。
しかしその分野の︽意義︾や︽イメージ︾を与えてくれる本だけでは、数学は習得できません。やはり自分の手を動かすことが最終的には必須になってきます。 ︽風景︾のアプローチ……﹁土地勘﹂をつけるために
︵問題︶ 数学はやってるうちは意味がわからなくて、できるようになってはじめて連関が見え始め、理解できるところがある。 理解が遅れて来るので、そこに耐えられない人はリタイアしやすい。
︵対策︶ あらかじめ、結局のところ、なんのために、なにをやっているか、︽意味︾を概説してくれる入門的概説書ものをさっと一読して﹁土地勘﹂をつけておく。
︵具体的方法︶ 一回目は読み流す。目次だけ，見出しだけ，図解だけをざっと最後まで眺める。
二回目はたどり着き読み。分からないところは，飛ばして読む。最後にたどり着くことだけを目標にする。 この﹁たどり着き読み﹂を繰り返す。
︵以下は、やりたいひと／余裕のある人だけチャレンジ︶ 印をつけて読む。数学慣れした人は最初から印をつければいいが、最初から印をつけるために読もうとすると、最後まで気力が続かない。 ﹁面白かったところ﹂と﹁分からなかったところ﹂に、それぞれ別の印︵下線、マーカー︶をつける 最後に自家製インデクスをつくる。→﹁面白かったところ﹂インデクスと﹁分からなかったところ﹂インデクスを、本の表紙の内側につくる。書くのは﹁一言＋ページ数﹂。
︽﹁土地勘﹂をつけるための入門的概説書︾
・無料で自宅でやりなおす→小学校の算数から大学数学までweb上教材をリストにした 読書猿Classic: between / beyond readers 数学は、科学︵自然科学はもとより、大半の社会科学と、かなりの人文科学で︶の共通言語です。 一定程度マスターすれば、数カ国語を習得した以上の世界が眼の前に広がっていることを知って狂喜乱舞するはずです。いわば︽語学としての数学︾を習得する利益は非常に大きいと思われます。
ところが﹁英語の学び方﹂のコツ、体験談、支援サイトの紹介な、定期的にネット上でも話題になるのに、潜在的習得ニーズが大きな数学については、そうした形で取り上げられることがほとんどありません。
その一番大きな理由は、おそらく︽できる人︾と︽できない人︾との差が大きすぎるせいでしょう。︽できる人︾には、ライフ・ハック的なアプローチはそもそも必要ないし、︽できない人︾は早々にあきらめているので、そもそもニーズが顕在化しません。
数学を身につけるのに﹁問題を解く﹂以外の︵そして以前の︶トレーニング法が乏しいことが︽できる人︾と︽できない人︾を二極分化させる根底にあります。 問題が解ける人は、どんどん問題を解いて，習得していくでしょう。 問題がなかなか解けない人は，フラストレーションを蓄積し、やがては耐え切れなくなって、数学から離れていくでしょう。 こうして最初は些細な差であったとしても、級数的にその差は広がっていきます。
しかし語学と違い、数学にはネイティブ・スピーカーはいません。才能の程度はあるにしても、誰もがトレーニングを積んで身につけるしかありません。語学があまり得意とは言えない日本人が、数学を多用する分野で数多く活躍しています。事実、高校までで教えられる数学のレベルは、世界でも非常に高いものです。
では﹁数学はできない﹂と思ってしまった人が、︽語学としての数学︾を習得するにはどうすればよいでしょう？
これまで︽できない人︵問題が解けない人︾に対しては、﹁わからなくても、問題と解答を書き写せ﹂というのが唯一にして最後の方法でした。 これは確かに一定効果はあるのですが、いかんせん人間は﹁訳が分からない﹂ままに作業を続けるのは苦痛です。したがってやっては見たものの、途中で止めてしまった人も多いのではないでしょうか？
そこで﹁なにをやってるのか﹂ぐらいのおぼろげなイメージをつかんでから、書き写す段階に移る2段構えのアプローチ、いわば風景＋写経アプローチを提案したいと思います。
数学は︽問題が解ける人︾にとっても、随分先へ進んでから、ようやく自分がやって来たことが，何とどうつながっているか、その全体像がわかることも少なくありません。先に、自分がやろうとしている分野の﹁土地勘﹂をつけることはプラスにこそなれ、マイナスにはならないでしょう。
しかしその分野の︽意義︾や︽イメージ︾を与えてくれる本だけでは、数学は習得できません。やはり自分の手を動かすことが最終的には必須になってきます。 ︽風景︾のアプローチ……﹁土地勘﹂をつけるために
︵問題︶ 数学はやってるうちは意味がわからなくて、できるようになってはじめて連関が見え始め、理解できるところがある。 理解が遅れて来るので、そこに耐えられない人はリタイアしやすい。
︵対策︶ あらかじめ、結局のところ、なんのために、なにをやっているか、︽意味︾を概説してくれる入門的概説書ものをさっと一読して﹁土地勘﹂をつけておく。
︵具体的方法︶ 一回目は読み流す。目次だけ，見出しだけ，図解だけをざっと最後まで眺める。
二回目はたどり着き読み。分からないところは，飛ばして読む。最後にたどり着くことだけを目標にする。 この﹁たどり着き読み﹂を繰り返す。
︵以下は、やりたいひと／余裕のある人だけチャレンジ︶ 印をつけて読む。数学慣れした人は最初から印をつければいいが、最初から印をつけるために読もうとすると、最後まで気力が続かない。 ﹁面白かったところ﹂と﹁分からなかったところ﹂に、それぞれ別の印︵下線、マーカー︶をつける 最後に自家製インデクスをつくる。→﹁面白かったところ﹂インデクスと﹁分からなかったところ﹂インデクスを、本の表紙の内側につくる。書くのは﹁一言＋ページ数﹂。
︽﹁土地勘﹂をつけるための入門的概説書︾
 | 数学の世界―それは現代人に何を意味するか (中公新書 317) (1973/03) 森 毅竹内 啓 商品詳細を見る |
……時間軸と分野別とに、タテヨコに数学の世界を概観できる。いつものホニャララな森毅節が読むものをほっこりさせ、それに全く同意しない竹内のツッコミが、ゆるすぎる話を引き締める。なお、森毅の数学の本は、どれも「風景が見える」ことを意図して書かれているのだが，本人の理解力が高過ぎて，はっきり言って素人の手に負えるものではないので注意。
《イメージをつくって《風景》を頭に入れる本》
（小学校の算数）
 | 算数のなやみがたちまちなくなる本―岸本裕史のスッキリ授業 (ドラゼミ・ドラネットブックス) (2002/03) 岸本 裕史学力の基礎をきたえ、どの子も伸ばす教師の会 商品詳細を見る |
 | 小学校6年分の算数が7時間でわかる本 (1993/05) 平山 雅康 商品詳細を見る |
（中学校の数学）
 | 中学3年分の数学が14時間でマスターできる本―きちんとわかる・スラスラ解ける総復習 通勤・通学電車の60分で頭の体操 間地 秀三 明日香出版社 売り上げランキング : 10132 Amazonで詳しく見る |
（高校数学）
 | 忘れてしまった高校の数学を復習する本―高校数学ってこんなにやさしかった!? (2002/09) 柳谷 晃 商品詳細を見る |
（高校数学から先）
 | イラスト・図解 はじめての微分積分―考え方から学べて、好きになる微積入門 (2001/08) 塚越 一雄 商品詳細を見る |
 | イラスト・図解 はじめての行列とベクトル (2000/12) 長谷川 勝也 商品詳細を見る |
 | イラスト・図解 確率・統計のしくみがわかる本―わからなかったことがよくわかる、確率・統計入門 (2000/01) 長谷川 勝也 商品詳細を見る |
 | 図解入門 よくわかる物理数学の基本と仕組み―物理、工学のための数学入門 (How‐nual Visual Guide Book) (2004/02) 潮 秀樹 商品詳細を見る |
︽写経︾のアプローチ……数学のチャンクを拡大する
数学の問題と解答を書き写すことの目的は、解答パターンを︽暗記する︾というよりも、それ以前に、数学処理のためのチャンク︵処理単位︶を増やすこと／正確に情報が伝達することです。
﹁一字一句書き写す﹂といいいますが、英語でも最初は、アルファベット一文字づつしか書き写せなかったはずです。それがやがて一単語づつ、一句づつ、一節づつと、﹁こぼさず運べる﹂量が増えると、英語の処理能力は増えていく︵大雑把にいって一度に運べる単語数×１００がＴＯＥＩＣの得点をおおよそ予測してくれる。4つの単語づつ書き写せる人は４００点前後、5つなら５００点、6つなら６００点という具合に︶。
同様に、数学も、慣れないうちは、︽一字づつ︾書き写すしかできません。 しかし﹁こぼさず運べる﹂量＝チャンクの大きさを増やしていくことが、数学の情報処理の効率を高めます。 長めの式を、一度見るだけで正確に再生できるなら、随分処理能力があがってきた証拠です。ここまでくれば、多少は込み入った数式処理にも耐えられる力がついたということです。
︵具体的方法︶ 最初は、なるべく薄い参考書で、問題と解答とがセットで乗っている例題中心で構成されているものを選びます。 1．まず本のページ数、章立ての数を書き出す。 2．それぞれの例題数、図の数を数えて、それぞれの章ごとの小計と本全体の合計を出す。 3．それぞれの章ごとに、例題の数︵図を写すときはその数も︶だけのマス目をつくる。写経用と問題演習用ののマス目を用意しておく︵それぞれ3マス分、それ以上の反復するつもりならその分増やす︶。5ｍｍ方眼のノートが便利。 4．例題の問題部分と解答部分を写す 5．自分が書いたものと本とを見比べる 写し間違いは消さずに、抹消線を引いて、追記する。 6．正確に写し終えたら、先に作ったそのマス目を塗りつぶす。モチベーションを維持するために、成果を見える形にする。 7．3回︵以上︶写し終えた問題集の写して来た例題を解答を見ずに解いてみる。 8．自分の解答と本とを見比べる 写し間違いは消さずに、抹消線を引いて、追記する。 9．正確に解き終えたら、先に作ったそのマス目を塗りつぶす。
ポイント‥ 数学についてのチャンク︵処理単位︶を増やすために、できるだけ早く写すようにする。 タイムを計るのも効果的。 一目見て、かなりの分量を正確に覚えられるようになると、数学のチャンクが拡大してきた証拠。写すのも苦痛ではなくなる。 このころには解答例︵英語で言えば﹁構文﹂︶があたまに蓄積してきているので、問題を解くことも可能になる。
なお方眼ノートは図を写すにもつかいやすい。スパイラル・ノートなら乗り物移動中でもつかいやすい。
︽写経用素材本︾
 | 小・中・高の計算がまるごとできる―足し算・引き算から微分・積分まで (2005/12) 間地 秀三 商品詳細を見る |
……まさに小・中・高の計算（―足し算・引き算から微分・積分まで）を一冊にまとめた本。
自力で解けるところまでは解いていってもよい。すらすら行かなくなったら、そこが《写経》をはじめるポイント。
 | 中・高一貫の数学 (中学図形編) (中・高一貫シリーズ) (2000/09) 不明 商品詳細を見る |
 | 中・高一貫の数学 (中学数式編) (中・高一貫シリーズ) (2001/03) 不明 商品詳細を見る |
……中学レベルから高校レベルへ。中学数学と高校数学の間の裂け目をつくらず、シームレスにつないでくれている。
 | 数・式の計算・方程式 不等式 (数学読本) (1989/10) 松坂 和夫 商品詳細を見る |
 | 簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本) (1989/12) 松坂 和夫 商品詳細を見る |
 | 平面上のベクトル 複素数と複素平面 空間図形 2次曲線 数列 (数学読本) (1990/02) 松坂 和夫 商品詳細を見る |
 | 数学読本 (4) 数列の極限、無限級数 順列・組合せ 確率 関数の極限と微分法 (1990/04) 松坂 和夫 商品詳細を見る |
 | 微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本) (1990/06) 松坂 和夫 商品詳細を見る |
 | 数学読本〈6〉線型写像・1次変換 数論 集合論へのプレリュード" (1990/08) 松坂 和夫 商品詳細を見る |
……高校レベルからそれ以上へ
青チャート、本質シリーズ(長岡亮介)もよいが、説明が丁寧なのと、もう高校とか大学とか区別する必要もないだろうという理由から。
《サプリメント》
 | これだけは知っておきたい数学ビギナーズマニュアル (1994/06) 佐藤 文広 商品詳細を見る |
……前提として、数式が《音読》できるように。今更聞けない基本情報が満載。
 | 数学用語と記号ものがたり (2003/09) 片野 善一郎 商品詳細を見る |
……これも、数式を︽音読︾できるために。なんでこんな記号になったのかまで、突っ込んで知ることができる。数式アレルギーへの特効薬本。
︵関連記事︶
読書猿Classic 数学にはネイティブはいない‥﹁語学としての数学﹂完全攻略、その後
……コメントとリプライ、ネット上の資源、計算力をつける本、大学以降用のブックリスト
数式を︵なるべく簡単に︶出して読む with ASCIIMathML 読書猿Classic: between / beyond readers
中学数学で﹁搾取の存在﹂を証明してみる 読書猿Classic: between / beyond readers
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くるぶし
＞通りすがりさん
そうですね。パソコンではマイクロソフトが数学勉強ソフトを出しているそうですが、学習ソフトも多いＤＳ、ニーズもありそうです。
そうですね。パソコンではマイクロソフトが数学勉強ソフトを出しているそうですが、学習ソフトも多いＤＳ、ニーズもありそうです。
2009/11/05 Thu 20:51 URL [ Edit ]
くるぶし
拍手コメントをいただいた方への返答です。長くなったので、コメント欄を使います。
東大京大の数学入試問題を解くための勉強法とのことですが、受験数学について研究／教授した経験からいっても、また数学力についても、私にはお答えする資格がないように思いますが、せっかくのご質問ですので、自分なりに思うことを書いてみました。
﹁まったく当てにならない﹂ことを前提にお読みください。
東大京大の数学入試問題を解くために必要な力を便宜上、2つに分けてみます。ひとつは、いわゆる基本的な問題について、反復練習を経て身に付く、基本問題を手が勝手に動いて解けるような、自動化レベルに達した基礎力。もうひとつは複数の基本問題を組み合わせている、いわゆる複合問題を、基本問題に解体できる分析能力、の2つです。
自動化レベルに達した基礎力は、毎日繰り返し問題を解き続けることを通じてしか身に付きません。たとえば青チャートの例題だけを解いていって、何時間で1冊終わるレベルになるまで繰り返します。この時、手を使って式を書くことを毎回欠かしてはいけません。脳よりも手を鍛えるつもりで、と言った方が伝わるでしょうか。
分析能力の方は、少々厄介です。センスが良い人やかなりのレベルまで数学の力を身に付けている人ならば、たとえば解答に目を通すだけで、元の問題を分解でき、また別の解き方を思いつくことができるでしょう。このレベルの人は、過去問を毎回違った解き方で解くことで、問題の分解能力、応用力が身に付くと思います。
このレベルに至ってない場合は、次の方法を試してみてください。きっと﹁馬鹿馬鹿しい﹂と思われるでしょうが、ワーキング・メモリが処理しきれない複雑な事項は、紙という外部記憶を使い倒すに越したことはありません。
︵1︶問題と解答をコピーし、すべてが一望できるように大きな紙に貼りつける。最初はマス目入りのもぞう紙があるとよいかもしれません︵思ったより大きさが必要です。︶。大きなテーブルや床にそれを敷いて、利き手にペン、反対の手に問題集のコピー元を持って、続く作業にかかります。
︵2︶できるだけたくさんの色のペンやマーカーを用意して、問題と解答と中で、それぞれ関連があるところを同じ色をママーキングする，矢印をつけるなどして、結びつけていきます。最初は、解答に登場する条件が、問題文のどこに書いてあるか、といった分かりやすいところから始めるとよいと思います。
︵3︶解答全体がいくつのステップに分けられるか考えて、ステップごとにマーカーで囲む。一つのステップの中に、さらに小ステップがある場合も多いです。入れ子になったステップも同様にマーカーで囲みます。
︵4︶マーカーで囲んだステップは﹁何をしているところなのか﹂を、自分で分かるコトバで書いて﹁見だし﹂付けを行う。ここまでの作業は、﹁他の人にこの解答を説明するには、どんな風にすればわかりやすいか﹂を考えながらやると、やりやすいと思います。
︵5︶そこまでやった後、その問題を自分で解けるところまで解いてみる。マーカー付けで、解答の流れはかなり頭に残っているはずですから、解けることも多いでしょう。詰まったら、もう一度マーカー付けした解答を読み返し、更に細かくステップを区切ったり、自力解答では抜けていた部分に印をつけるなどして、再度、自分で解くことを行います。
︵1︶～︵5︶を繰り返していけば、問題を分解する力、どんな基本的問題の組みあわせなのかを見抜く力がついてきます。全身を使った方が効果的らしく︵また気分良くできるので︶、問題と解答をわざわざ拡大コピーする人もいるそうです。
なれるてくると、こんなに大掛かりにやらなくても、解答を見ただけで、ステップの区切りがわかり、直接、見だしをつけていくことができるでしょう。ここまで来れば、別解答で解く段階へ進むことができると思います。
2009/11/05 Thu 20:56 URL [ Edit ]
名無し
拍手コメントで東大京大の数学入試問題を解くための勉強法を質問した者です。
丁寧に回答していただきまして、ありがとうございます。
具体的で大変参考になりました。何か本を購入する際は、こちらのリンクを使わせていただきます。
2009/12/10 Thu 22:36 URL [ Edit ]
くるぶし
> 拍手コメントで東大京大の数学入試問題を解くための勉強法を質問した者です。
> 丁寧に回答していただきまして、ありがとうございます。
> 具体的で大変参考になりました。何か本を購入する際は、こちらのリンクを使わせていただきます。
コメントありがとうございます。
少しでも参考になったのならうれしいです。
受験勉強がんばってください。
2009/12/12 Sat 01:46 URL [ Edit ]
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数学にはネイティブはいない：「語学としての数学」完全攻略＝風景＋写経アプローチより引用 しかし語学と違い、数学にはネイティブ・スピーカーはいません。才能の程度はあるにしても、誰もがトレーニングを積んで身につけるしかありません。語学があまり得意とは言えな...
ネット収集庫 2009/12/27 Sun 22:26
前回の投稿から大分間があいてしまいましたが、 今回は、 http://d.hatena.ne.jp/actuary_math/20100710 から始まった 「数学の問題を解くときに考えること」のシリーズを続けたいとおもいます。 このシリーズは２回でやめるつもりだったのですが、いろいろ書きたいことがで
アクチュアリー試験数学の研究 2010/08/20 Fri 20:41
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