2つのボールをぶつけると円周率がわかる - 大人になってからの再学習

一か月ほど前に New York Times で紹介されていた記事。 The Pi Machine - NYTimes.com ここで紹介されているのは、なんと驚くべきことに、2つのボールをぶつけるだけで円周率︵3.1415...︶の値がわかる、という内容。
これだけだと、全然ピンとこないと思うので、もう少し詳しく説明すると、次のようなことが書かれている。
↓2つのボールを、下の図ように壁と床のある空間に置く。

↓その後、壁から遠い方のボールを、他方に向かって転がす。

後は、ボールが衝突する回数をカウントするだけで、円周率がわかるらしい。
これでも、なんだかよくわからない。
まず2つのボールが同じ質量である場合を考えてみよう。
まず、手前のボールが他方のボールにぶつかる︵これが1回め︶。続いて、ぶつかったボールが移動して壁にぶつかる︵これが2回め︶。壁にぶつかったボールが跳ね返ってきて、最初のボールにぶつかる︵これが3回め︶。
以上より、円周率の最初の数字﹁3﹂が求まった！
続いて、手前のボールが奥のボールの100倍の重さを持っているときのことを考えよう。すると、手前のボールが奥のボールにぶつかった後、奥のボールは質量が軽いので、壁と手前のボールの間を何回か往復することになる。そのあいだに発生する衝突の回数を数えると31回。
この様子をシミュレーションしたのが下の動画。

衝突のカウントが31なので、これで円周率の最初の2けた、3と1が求まった！！！
なんだか、きつねにつまさまれているような感じがするけど、手前のボールと奥のボールの質量の比を10000:1にすると、今度は314回衝突を繰り返すらしい。なんと、円周率の最初の3けたが求まった。
手前のボールと奥のボールの質量の比を1000000:1にすると、今度は3141回衝突を繰り返すらしい。これで円周率の最初の4けたが求まった。
このようにして、100^N:1の質量比のボールをぶつけることで、円周率の小数点以下N桁目までを求めることができるらしい。
これは偶然ではなくて、立派な論文として2003年に発表され、証明もなされている。おもしろいなあ。

http://ics.org.ru/doc?pdf=440