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集 合 論 に お い て 、 正 則 基 数 ︵ せ い そ く き す う 、 英 : r e g u l a r c a r d i n a l ︶ と は 、 そ の 共 終 数 が 自 身 と 等 し い 基 数 で あ る 。
よ り 詳 細 に い え ば 、
κ
{\displaystyle \kappa }
が 正 則 基 数 で あ る こ と と 、 ど の 非 有 界 ︵ 英 語 版 ︶ な 部 分 集 合
C
⊆
κ
{\displaystyle C\subseteq \kappa }
も 基 数
κ
{\displaystyle \kappa }
を 持 つ こ と は 同 値 で あ る 。
正 則 で な い 整 列 無 限 基 数 は 特 異 基 数 と 呼 ば れ る 。 有 限 基 数 に 対 し て は 普 通 、 正 則 や 特 異 と い っ た 呼 び 方 は さ れ な い 。
選 択 公 理 の 存 在 下 で は 、 ど の 基 数 も 整 列 で き る た め 、 基 数
κ
{\displaystyle \kappa }
に 対 す る 以 下 の 主 張 は 同 値 に な る 。
(一)
κ
{\displaystyle \kappa }
は 正 則 基 数 で あ る 。
(二) す べ て の
i
{\displaystyle i}
に 対 し て
κ
=
∑
i
∈
I
λ
i
{\displaystyle \kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i}}
か つ
λ
i
<
κ
{\displaystyle \lambda _{i}<\kappa }
で あ る な ら ば 、
|
I
|
≥
κ
{\displaystyle |I|\geq \kappa }
で あ る 。
(三)
S
=
⋃
i
∈
I
S
i
{\displaystyle S=\bigcup _{i\in I}S_{i}}
か つ
|
I
|
<
κ
{\displaystyle |I|<\kappa }
か つ す べ て の
i
{\displaystyle i}
に 対 し て
|
S
i
|
<
κ
{\displaystyle |S_{i}|<\kappa }
で あ る な ら ば 、
|
S
|
<
κ
{\displaystyle |S|<\kappa }
で あ る 。
(四)
κ
{\displaystyle \kappa }
未 満 の 濃 度 の 集 合 の 圏
Set
<
κ
{\displaystyle \operatorname {Set} _{<\kappa }}
お よ び そ れ ら の 間 の す べ て の 関 数 が 、
κ
{\displaystyle \kappa }
未 満 の 濃 度 の 余 極 限 の も と に 閉 じ て い る 。
(五)
κ
{\displaystyle \kappa }
は 正 則 順 序 数 で あ る ︵ 後 述 ︶ 。
簡 単 に 言 え ば 、 正 則 基 数 は 少 数 の 小 さ な パ ー ツ に 分 割 で き な い も の で あ る 。
選 択 公 理 を 仮 定 し な い 場 合 は よ り 複 雑 に な る 。 こ の 場 合 、 ど の 基 数 も 整 列 集 合 の 濃 度 で あ る と は 限 ら な い た め 、 上 記 の 同 値 性 は 整 列 可 能 な 基 数 に 対 し て の み 成 立 す る 。
無 限 順 序 数
α
{\displaystyle \alpha }
が 自 身 よ り 小 さ い 順 序 数 の 集 合 ︵ す な わ ち 順 序 型 が
α
{\displaystyle \alpha }
未 満 で あ る 集 合 ︶ の 極 限 に な ら な い 極 限 順 序 数 で あ る と き 、 正 則 順 序 数 と 呼 ぶ 。 例 え ば
ω
ω
{\displaystyle \omega _{\omega }}
が 該 当 す る ︵ 後 述 の 例 を 参 照 ︶ 。
正 則 順 序 数 は 始 順 序 数 ( e n : i n i t i a l o r d i n a l ) で あ る が 、 逆 は 必 ず し も 成 り 立 つ と は 限 ら な い 。
ω
{\displaystyle \omega }
未 満 の 順 序 数 は 有 限 順 序 数 で あ る 。 有 限 順 序 数 の 有 限 列 は 最 大 元 を も つ た め 、
ω
{\displaystyle \omega }
は
ω
{\displaystyle \omega }
未 満 の 順 序 数 に よ る 順 序 型
ω
{\displaystyle \omega }
未 満 の 列 の 極 限 に は な ら な い 。 し た が っ て 、
ω
{\displaystyle \omega }
は 正 則 順 序 数 で あ る 。 ア レ フ 数
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
は 、 そ の 始 順 序 数 で あ る
ω
{\displaystyle \omega }
が 正 則 で あ る た め 、 正 則 基 数 で あ る 。 直 接 に 正 則 性 を 示 す こ と も で き る 。 有 限 基 数 の 有 限 個 の 和 は そ れ 自 身 有 限 だ か ら で あ る 。
ω
+
1
{\displaystyle \omega +1}
は
ω
{\displaystyle \omega }
よ り 大 き い 次 の 順 序 数 で あ り 、 極 限 順 序 数 で な い か ら 特 異 順 序 数 で あ る 。
ω
+
ω
{\displaystyle \omega +\omega }
は
ω
{\displaystyle \omega }
の 次 の 極 限 順 序 数 で あ る 。 こ れ は
ω
{\displaystyle \omega }
,
ω
+
1
{\displaystyle \omega +1}
,
ω
+
2
{\displaystyle \omega +2}
,
ω
+
3
{\displaystyle \omega +3}
, … と い っ た 順 序 型
ω
{\displaystyle \omega }
の 列 の 極 限 で あ る た め 、 特 異 順 序 数 と な る 。
ℵ
1
{\displaystyle \aleph _{1}}
は
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
の 次 の 基 数 で あ る 。
ℵ
1
{\displaystyle \aleph _{1}}
未 満 の 基 数 は 高 々 可 算 な 基 数 で あ る 。 選 択 公 理 を 仮 定 す る と 、 可 算 集 合 の 可 算 和 は 可 算 集 合 で あ る 。 ゆ え に 、
ℵ
1
{\displaystyle \aleph _{1}}
は 可 算 集 合 の 可 算 和 で 書 け な い の で 正 則 で あ る 。
ℵ
ω
{\displaystyle \aleph _{\omega }}
は 列
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
,
ℵ
1
{\displaystyle \aleph _{1}}
,
ℵ
2
{\displaystyle \aleph _{2}}
,
ℵ
3
{\displaystyle \aleph _{3}}
, … の 次 の 基 数 で あ る 。 こ の 始 順 序 数 は
ω
ω
{\displaystyle \omega _{\omega }}
で あ り 、 列
ω
{\displaystyle \omega }
,
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}}
,
ω
2
{\displaystyle \omega _{2}}
,
ω
3
{\displaystyle \omega _{3}}
, …
の 極 限 で あ る 。 こ の 列 の 順 序 型 は
ω
{\displaystyle \omega }
だ か ら
ω
ω
{\displaystyle \omega _{\omega }}
,
ℵ
ω
{\displaystyle \aleph _{\omega }}
は 特 異 で あ る 。 選 択 公 理 を 仮 定 す る と 、
ℵ
ω
{\displaystyle \aleph _{\omega }}
は 最 初 の 無 限 特 異 濃 度 で あ る ︵ 最 初 の 無 限 特 異 順 序 数 は
ω
+
1
{\displaystyle \omega +1}
で あ り 、 最 初 の 無 限 極 限 順 序 数 は
ω
+
ω
{\displaystyle \omega +\omega }
で あ る ︶ 。 特 異 基 数 の 存 在 を 証 明 す る に は 置 換 公 理 が 必 要 で あ る 。 ツ ェ ル メ ロ 集 合 論 で は
ℵ
ω
{\displaystyle \aleph _{\omega }}
の 存 在 を 証 明 で き な い 。
非 可 算 な 正 則 な 極 限 基 数 は 弱 到 達 不 能 基 数 と し て 知 ら れ て お り 、 そ の 存 在 は Z F C の 下 で は 証 明 で き ず 、 そ の 存 在 が Z F C と 矛 盾 す る か ど う か も 知 ら れ て い な い 。 弱 到 達 不 能 基 数 の 存 在 は し ば し ば 追 加 的 な 公 理 と し て 採 ら れ る こ と が あ る 。 到 達 不 能 基 数 は ア レ フ 関 数 の 不 動 点 で あ る 必 要 が あ る が 、 そ の 不 動 点 が 正 則 と は 限 ら な い 。 例 え ば 、 最 初 の 不 動 点 は
ℵ
0
,
ℵ
ℵ
0
,
ℵ
ℵ
ℵ
0
,
.
.
.
{\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{\aleph _{0}},\aleph _{\aleph _{\aleph _{0}}},...}
の
ω
{\displaystyle \omega }
- 列 の 極 限 で 、 こ れ は 特 異 基 数 で あ る [ 1 ] 。
選 択 公 理 の 下 で は ど の 後 続 基 数 も 正 則 で あ る 。 し た が っ て 、 ほ と ん ど の ア レ フ 数 濃 度 の 正 則 性 ・ 特 異 性 は 後 続 基 数 か 極 限 基 数 か で 確 か め ら れ る 。 濃 度 の 中 に は 、 ど の ア レ フ 数 と 等 し い か 証 明 で き な い も の も あ る 。 連 続 体 濃 度 が そ の 例 で 、 Z F C の 下 で は 非 可 算 な 共 終 数 を も つ い か な る 非 可 算 基 数 と 等 し い と 考 え て も 矛 盾 し な い ︵ イ ー ス ト ン の 定 理 を 参 照 ︶ 。 連 続 体 仮 説 は 連 続 体 濃 度 が 正 則 な
ℵ
1
{\displaystyle \aleph _{1}}
で あ る と い う 仮 説 で あ る 。
選 択 公 理 を 仮 定 し な い 場 合 、 整 列 可 能 で な い 集 合 の 濃 度 が 存 在 し う る 。 さ ら に 、 濃 度 の 和 も 全 て の 集 合 に 定 義 で き る わ け で は な い 。 し た が っ て 、 正 則 性 ・ 特 異 性 が 意 味 を も つ の は ア レ フ 数 の み で あ る 。 さ ら に は 、 可 算 濃 度 の 次 の 濃 度 が 正 則 と も 限 ら な い 。 例 え ば 、 可 算 集 合 の 可 算 和 が 可 算 と は 限 ら ず 、 実 数 全 体 の 集 合 が 可 算 集 合 の 可 算 和 で あ る と い う 主 張 と 同 様 に 、
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}}
が 可 算 順 序 数 の 可 算 列 の 極 限 で あ る と い う 主 張 は ZF と 矛 盾 し な い 。 さ ら に は 、
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
よ り 大 き い 全 て の ア レ フ 数 が 特 異 基 数 で あ る と い う の も ZF と 矛 盾 し な い ︵ モ テ ィ ・ ギ テ ィ ッ ク ︵ 英 語 版 ︶ に よ り 証 明 さ れ た ︶ 。
κ
{\displaystyle \kappa }
が 極 限 順 序 数 で あ る な ら ば 、
κ
{\displaystyle \kappa }
が 正 則 で あ る こ と と 、
j
(
α
)
=
κ
{\displaystyle j(\alpha )=\kappa }
と な る よ う な
Σ
1
{\displaystyle \Sigma _{1}}
- 初 等 埋 め 込 み
j
{\displaystyle j}
の 臨 界 点 で あ る
α
<
κ
{\displaystyle \alpha <\kappa }
の 集 合 が
κ
{\displaystyle \kappa }
に お い て c l u b で あ る こ と と 同 値 で あ る [ 2 ] 。
基 数
κ
<
θ
{\displaystyle \kappa <\theta }
に 対 し て 、
M
{\displaystyle M}
が 推 移 的 で あ っ て か つ
j
(
crit
(
j
)
)
=
κ
{\displaystyle j({\textrm {crit}}(j ))=\kappa }
で あ る と き 、 初 等 埋 め 込 み
j
:
M
→
H
(
θ
)
{\displaystyle j:M\to H(\theta )}
は 小 さ な 埋 め 込 み で あ る 。 基 数
κ
{\displaystyle \kappa }
が 非 可 算 正 則 で あ る こ と と 、 ど の
θ
>
α
{\displaystyle \theta >\alpha }
に 対 し て も 小 さ な 埋 め 込 み
j
:
M
→
H
(
θ
)
{\displaystyle j:M\to H(\theta )}
が 存 在 す る よ う な 、 あ る
α
>
κ
{\displaystyle \alpha >\kappa }
が 存 在 す る こ と は 同 値 で あ る [ 3 ] C o r o l l a r y 2 . 2 。
出典 は列挙するだけでなく、脚注 などを用いてどの記述の情報源であるかを明記 してください。記事の信頼性向上 にご協力をお願いいたします。(2023年9月 )
^ Maddy, Penelope (1988), “Believing the axioms. I” , Journal of Symbolic Logic 53 (2): 481–511, doi :10.2307/2274520 , JSTOR 2274520 , MR 947855 , https://jstor.org/stable/2274520 , "Early hints of the Axiom of Replacement can be found in Cantor's letter to Dedekind [1899] and in Mirimanoff [1917]" . Maddy は Mirimanoff の2本の論文を引用している: "Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fundamental de la théorie des ensembles" and "Remarques sur la théorie des ensembles et les antinomies Cantorienne", both in L'Enseignement Mathématique (1917).
^ T. Arai, "Bounds on provability in set theories" (2012, p.2). Accessed 4 August 2022.
^ Holy, Lücke, Njegomir, "Small embedding characterizations for large cardinals ". Annals of Pure and Applied Logic vol. 170, no. 2 (2019), pp.251--271.