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音 響 信 号 処 理 に お け る 加 算 合 成 ︵ か さ ん ご う せ い 、 英 : a d d i t i v e s y n t h e s i s ︶ は 複 数 の 純 音 を 重 ね 合 わ せ ︵ 加 算 し て ︶ 音 響 信 号 を 合 成 す る 、 音 声 合 成 の 一 種 で あ る [ 1 ] [ 2 ] 。 ア デ ィ テ ィ ブ ・ シ ン セ シ ス と も 呼 ば れ る 。 対 比 さ れ る 合 成 手 法 に 減 算 合 成 が あ る 。
音 響 信 号 は 正 弦 波 の 重 ね 合 わ せ で 表 現 で き る 。 ま た ヒ ト の 聴 覚 に は 可 聴 域 が 存 在 す る た め 聞 こ え る 周 波 数 に 上 限 が あ る 。 こ の こ と は 周 期 信 号 と 聴 覚 上 等 価 な 合 成 音 を 正 弦 波 の 有 限 和 で 表 現 で き る こ と を 示 唆 す る ︵ 詳 細 : # 理 論 的 背 景 ︶ 。
加 算 合 成 は 有 限 個 の 正 弦 波 を 加 算 し て 音 を 合 成 す る 手 法 の 総 称 で あ る 。 正 弦 波 の 周 波 数 ・ 振 幅 ・ 位 相 を 適 切 に 設 定 す る こ と で 多 様 な 音 を 生 成 ・ 再 現 で き る 。
実 装 と し て は 事 前 計 算 し た 波 形 テ ー ブ ル ︵ ウ ェ ー ブ テ ー ブ ル ・ シ ン セ シ ス ︶ や 逆 高 速 フ ー リ エ 変 換 を 活 用 で き る 。
合 成 要 素 と な る 個 々 の 正 弦 波 は 部 分 音 ︵ パ ー シ ャ ル ︶ と 呼 ば れ る 。 特 に 倍 音 は ハ ー モ ニ ッ ク ・ パ ー シ ャ ル ︵ 調 波 ︶ 、 非 倍 音 は イ ン ハ ー モ ニ ッ ク ・ パ ー シ ャ ル ︵ 非 調 波 ︶ と 呼 ば れ る 。
理 論 的 背 景 [ 編 集 ]
フ ー リ エ 級 数 に よ る
方 形 波 の 近 似 ︵ 最 初 の 4 項 ︶
音 響 信 号 は 正 弦 波 の 重 ね 合 わ せ で 表 現 で き る ︵ フ ー リ エ 変 換 ︶ 。 さ ら に 信 号 が 周 期 性 を 持 っ て い れ ば 、 そ の 信 号 は 正 弦 波 の 無 限 和 で ︵ 積 分 せ ず に ︶ 表 現 で き る ︵ フ ー リ エ 級 数 ︶ 。
y
(
t
)
=
r
0
+
r
1
cos
(
2
π
f
o
t
)
+
⋯
+
r
k
cos
(
2
π
k
f
o
t
)
+
⋯
{\displaystyle y(t )=r_{0}+r_{1}\cos(2\pi f_{o}t)+\cdots +r_{k}\cos(2\pi kf_{o}t)+\cdots }
また、ヒトには知覚可能な周波数範囲(可聴域 )が存在する。標準的には15kHzが上限でありそれ以上の音を聞き取ることができない。これは信号から可聴域外の成分を取り除いても聴覚上の差がない(=等価である)ことを意味する。
こ の 2 つ の 事 実 は 、 あ る 周 期 的 な 音 響 信 号 と 聴 覚 上 等 価 な 信 号 を 正 弦 波 の 有 限 和 で 表 現 で き る こ と を 示 唆 す る 。 な ぜ な ら 正 弦 波 の 無 限 和 に 含 ま れ る 1 5 k H z 以 上 の 正 弦 波 成 分 を 除 い て も 聴 覚 上 等 価 な 信 号 が 構 成 で き 、 そ れ は 有 限 個 の 正 弦 波 の 和 を 意 味 す る か ら で あ る 。
加 算 合 成 は 有 限 個 の 正 弦 波 を 加 算 し て 音 を 合 成 す る 手 法 の 総 称 で あ る 。 パ ラ メ ー タ の 時 変 性 や 周 波 数 制 約 に 基 づ き 、 様 々 な タ イ プ の 加 算 合 成 が 存 在 す る 。
以 下 、 各 部 分 音 の イ ン デ ッ ク ス を
k
{\displaystyle k}
、 初 期 位 相 を
ϕ
k
{\displaystyle \phi _{k}}
、 部 分 音 の 総 数 を
K
{\displaystyle K}
、 合 成 音 を
y
(
t
)
{\displaystyle y(t )}
と す る 。 各 部 分 音 に お い て 周 波 数 を
f
k
{\displaystyle f_{k}}
、 振 幅 を
r
k
{\displaystyle r_{k}}
と し 、 こ れ が 時 変 の 場 合 は 瞬 時 周 波 数
f
k
(
t
)
{\displaystyle f_{k}(t )\,}
、 瞬 時 振 幅
r
k
(
t
)
{\displaystyle r_{k}(t )}
を 用 い る 。
次 の 表 は 様 々 な 制 約 を も っ た 加 算 合 成 を 表 現 す る 式 の 一 覧 で あ る 。 各 手 法 は 以 降 の 節 で 詳 説 さ れ て い る 。
表. 制約付き加算合成
時変振幅 (AM )
時変周波数 (FM )
調波構造
合成式
-
-
-
y
(
t
)
=
∑
k
=
1
K
r
k
cos
(
2
π
f
k
t
+
ϕ
k
)
{\displaystyle y(t)=\sum _{k=1}^{K}r_{k}\cos \left(2\pi f_{k}t+\phi _{k}\right)}
✔
-
-
y
(
t
)
=
∑
k
=
1
K
r
k
(
t
)
cos
(
2
π
f
k
t
+
ϕ
k
)
{\displaystyle y(t)=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(t)\cos \left(2\pi f_{k}t+\phi _{k}\right)}
-
✔
-
y
(
t
)
=
∑
k
=
1
K
r
k
cos
(
2
π
∫
0
t
f
k
(
u
)
d
u
+
ϕ
k
)
{\displaystyle y(t)=\sum _{k=1}^{K}r_{k}\cos \left(2\pi \int _{0}^{t}f_{k}(u)du+\phi _{k}\right)}
✔
✔
-
y
(
t
)
=
∑
k
=
1
K
r
k
(
t
)
cos
(
2
π
∫
0
t
f
k
(
u
)
d
u
+
ϕ
k
)
{\displaystyle y(t)=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(t)\cos \left(2\pi \int _{0}^{t}f_{k}(u)\ du+\phi _{k}\right)}
✔
✔
✔
y
(
t
)
=
∑
k
=
1
K
r
k
(
t
)
cos
(
2
π
∫
0
t
k
f
o
(
u
)
d
u
+
ϕ
k
)
{\displaystyle y(t)=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(t)\cos \left(2\pi \int _{0}^{t}kf_{o}(u)\ du+\phi _{k}\right)}
時不変 [ 編集 ]
時不変加算合成器の構成 定周波数・振幅の正弦波が生成(〜)、加算(+)されて合成音となる。
単 純 な 加 算 合 成 で は 単 一 合 成 区 間 内 で 周 波 数 と 振 幅 を 固 定 す る ︵ 時 不 変 ︶ 。 こ の 方 式 は 次 の よ う に 定 義 さ れ る [ 3 ] ‥
y
(
t
)
=
∑
k
=
1
K
r
k
cos
(
2
π
f
k
t
+
ϕ
k
)
{\displaystyle y(t )=\sum _{k=1}^{K}r_{k}\cos \left(2\pi f_{k}t+\phi _{k}\right)}
時 変 振 幅 [ 編 集 ]
振 幅 が 時 間 変 化 す る ハ ー モ ニ ッ ク ・ ア デ ィ テ ィ ブ ・ シ ン セ シ ス の 例
︵ 基 本 周 波 数 f 0 = 4 4 0 Hz ︶
振 幅 を 時 間 に 応 じ て 変 化 さ せ る 場 合 ︵ c . f . 振 幅 変 調 ︶ 、 次 の よ う に 定 義 さ れ る ‥
y
(
t
)
=
∑
k
=
1
K
r
k
(
t
)
cos
(
2
π
f
k
t
+
ϕ
k
)
{\displaystyle y(t )=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(t )\cos \left(2\pi f_{k}t+\phi _{k}\right)}
帯 域 制 限 ︵ b a n d - l i m i t e d s i g n a l ︶ の 観 点 か ら 、
r
k
(
t
)
{\displaystyle r_{k}(t )\,}
の 変 化 は 振 幅 変 調 に よ る 帯 域 の 広 が り
Δ
f
r
k
(
t
)
{\displaystyle \Delta f_{r_{k}}(t )\,}
が 隣 接 部 分 音 間 の 周 波 数 間 隔 よ り 有 意 に 小 さ く な る よ う [ 4 ] [ 5 ] [ 注 釈 1 ] 、 充 分 ゆ っ く り し た 速 度 で 変 化 さ せ る 必 要 が あ る [ 1 ] [ 注 釈 2 ] 。 す な わ ち 次 の 制 約 を 留 意 す る 必 要 が あ る 。
d
d
t
r
k
(
t
)
|
r
k
|
∝
Δ
f
r
k
(
t
)
≪
|
f
k
−
f
k
−
1
|
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {r_{k}(t )}{|r_{k}|}}\propto \Delta f_{r_{k}}(t )\ll |f_{k}-f_{k-1}|}
時 変 周 波 数 [ 編 集 ]
周 波 数 を 時 間 に 応 じ て 変 化 さ せ る 場 合 ︵ c . f . 周 波 数 変 調 ︶ 、 次 の よ う に 定 義 さ れ る [ 注 釈 3 ] ‥
y
(
t
)
=
∑
k
=
1
K
r
k
cos
(
2
π
∫
0
t
f
k
(
u
)
d
u
+
ϕ
k
)
{\displaystyle y(t )=\sum _{k=1}^{K}r_{k}\cos \left(2\pi \int _{0}^{t}f_{k}(u )du+\phi _{k}\right)}
振 幅 と 周 波 数 の 両 方 が 時 間 変 化 す る イ ン ハ ー モ ニ ッ ク ・ ア デ ィ テ ィ ブ ・ シ ン セ シ ス の 例
時 変 振 幅 ・ 時 変 周 波 数 [ 編 集 ]
最 も 一 般 化 さ れ た 加 算 合 成 は 次 の よ う に 定 義 さ れ る ‥
y
(
t
)
=
∑
k
=
1
K
r
k
(
t
)
cos
(
2
π
∫
0
t
f
k
(
u
)
d
u
+
ϕ
k
)
{\displaystyle y(t )=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(t )\cos \left(2\pi \int _{0}^{t}f_{k}(u )du+\phi _{k}\right)}
調 波 加 算 合 成 [ 編 集 ]
自 然 界 に 存 在 す る 多 く の 音 は 調 波 構 造 を 有 し て い る 。 す な わ ち 基 本 周 波 数
f
o
{\displaystyle f_{o}}
成 分 ︵ 基 音 ︶ と そ の 整 数 倍 成 分 ︵ 倍 音 ︶ を 多 分 に 含 ん で い る 。 こ の こ と に 注 目 し 、 部 分 音 と し て 基 音 お よ び 倍 音 の み を 加 算 し て 音 を 合 成 す る 手 法 を 調 波 加 算 合 成 ︵ ハ ー モ ニ ッ ク ・ ア デ ィ テ ィ ブ ・ シ ン セ シ ス ︶ と い う 。
時 不 変 振 幅 ・ 周 波 数 を 用 い た 調 波 加 算 合 成 は 次 の よ う に 定 義 さ れ る ‥
y
(
t
)
=
∑
k
=
1
K
r
k
cos
(
2
π
k
f
o
t
+
ϕ
k
)
{\displaystyle y(t )=\sum _{k=1}^{K}r_{k}\cos \left(2\pi kf_{o}t+\phi _{k}\right)}
周 波 数 が
k
f
o
{\displaystyle kf_{o}}
で 定 義 さ れ る た め 、 部 分 音 # k は k 次 倍 音 ︵ k = 1 な ら 基 音 ︶ に 相 当 す る 。
広 義 の 定 義 [ 編 集 ]
﹁ ア デ ィ テ ィ ブ ・ シ ン セ シ ス ﹂ と い う 用 語 は 広 義 に 、 正 弦 波 ベ ー ス か 否 か を 問 わ ず ﹁ 単 純 な 基 本 要 素 を 足 し 合 わ せ て 複 雑 な 音 色 を 合 成 す る ﹂ タ イ プ の サ ウ ン ド ・ シ ン セ シ ス 手 法 全 般 を 指 す 包 括 的 用 語 と し て 使 わ れ る 事 が あ る 。 [ 6 ] [ 7 ] 例 え ば F . R i c h a r d M o o r e は サ ウ ン ド ・ シ ン セ シ ス の ﹁ 四 つ の 基 本 カ テ ゴ リ ー ﹂ と し て 、 ア デ ィ テ ィ ブ ・ シ ン セ シ ス を 他 の 三 つ と 共 に 挙 げ て い る 。 [ 7 ]
● ア デ ィ テ ィ ブ ・ シ ン セ シ ス
● サ ブ ト ラ ク テ ィ ブ ・ シ ン セ シ ス
● 非 線 形 シ ン セ シ ス ︵ W a v e s h a p e r 、 離 散 総 和 式 ︵ D S F ︶ 、 変 調 シ ン セ シ ス ︵ FM , PD , S c a n n e d s y n t h e s i s ︶ な ど ︶
● 物 理 モ デ リ ン グ
こ の 広 義 の 意 味 で 、 正 弦 波 以 外 の 音 色 ︵ パ イ プ や ス ト ッ プ ︶ を 組 み 合 わ せ る パ イ プ オ ル ガ ン や 電 子 オ ル ガ ン も 広 義 の ア デ ィ テ ィ ブ ・ シ ン セ サ イ ザ ー と 見 な せ る 。 ま た 主 成 分 ︵ 変 量 間 の 相 関 行 列 の 固 有 値 分 解 で 得 ら れ る 合 成 基 底 ︶ や ウ ォ ル シ ュ 関 数 ︵ 英 語 版 ︶ ︵ W a l s h - H a d a m a r d 変 換 の 基 底 関 数 ︶ の 総 和 に よ る 音 響 合 成 も 、 広 義 の ア デ ィ テ ィ ブ ・ シ ン セ シ ス に 分 類 で き る 。 [ 8 ]
加算分析/再合成 [ 編集 ]
応用例 [ 編集 ]
アディティブ・シンセシスは、ハモンド・オルガン や、シンセサイザー 、電子楽器 に応用されている。
音声合成 [ 編集 ]
音声波形とスペクトログラム(下): 赤点列は5つのフォルマント周波数、 下側水色カーブは基底周波数(ピッチ)
ウェーブテーブル・シンセシス [ 編集 ]
楽音がハーモニックで準周期的な場合、ウェーブテーブル・シンセシスは時間発展のあるアディティブ・シンセシスと同様な一般性を備え、しかも合成に必要な計算量は少なくて済む。[23] 従って、ハーモニックな音色合成のための時間発展のあるアディティブ・シンセシスは、ウェーブテーブル・シンセシスで効率的に実装できる。
グループ・アディティブ・シンセシス (Group additive synthesis)[24] [25] [26] は、各パーシャルを基本周波数の異なるハーモニック・グループに分け、各グループ個別にウェーブテーブル・シンセシスで合成後、ミックスして結果を得る手法である。
逆高速フーリエ変換 [ 編集 ]
逆高速フーリエ変換 は、変換周期を均等分割した 周波数[注釈 4] に関する(加算)合成を効率的に行える。また、離散フーリエ変換 の周波数領域表現を注意深く考慮すれば、複数の逆高速フーリエ変換結果をオーバーラップさせた列を使って、任意周波数の正弦波による(加算)合成を効率的に行える。[27]
歴史的背景 [ 編集 ]
訳注: この章は、アディティブ・シンセシスとその関連概念の歴史的背景を扱っていますが、一部記述は背景説明の不足により主旨が判りにくい可能性があります。
調和解析 [ 編集 ]
調 和 解 析 は 、 1 8 2 2 年 フ ラ ン ス の 数 学 者 ジ ョ ゼ フ ・ フ ー リ エ [ 2 8 ] が 熱 伝 導 の 文 脈 で 彼 の 研 究 に 関 す る 広 範 な 論 文 を 発 表 し て 、 研 究 が 端 緒 に 付 い た 。 [ 2 9 ] こ の 理 論 の 初 期 の 応 用 に は 、 潮 の 干 満 の 予 測 が あ る 。 1 8 7 6 年 頃 、 [ 3 0 ] ケ ル ビ ン 卿 こ と ウ ィ リ ア ム ・ ト ム ソ ン は 機 械 式 の 潮 汐 予 測 機 ︵ T i d e - p r e d i c t i n g m a c h i n e ︶ を 構 築 し た 。 こ の 装 置 は h a r m o n i c a n a l y z e r と h a r m o n i c s y n t h e s i z e r で 構 成 さ れ 、 そ れ ら は 19 世 紀 に 既 に 前 述 の 名 で 呼 ば れ て い た 。 [ 3 1 ] [ 3 2 ] 潮 汐 の 測 定 値 は 、 ケ ル ビ ン 卿 の 兄 ジ ェ ー ム ズ ・ ト ム ソ ン の 積 分 機 ︵ i n t e g r a t i n g m a c h i n e ︶ を 使 い 分 析 さ れ た 。 結 果 と し て 得 ら れ た フ ー リ エ 係 数 は 、 紐 と 滑 車 の シ ス テ ム を 使 っ た s y n t h e s i z e r に 入 力 さ れ 、 将 来 の 潮 汐 の 予 測 の た め の 正 弦 波 基 底 の 調 和 部 分 波 が 生 成 さ れ 足 し 合 わ さ れ た 。 同 様 な 装 置 は 1 9 1 0 年 に も 、 音 の 周 期 波 形 の 解 析 を 目 的 と し て 構 築 さ れ た 。 [ 3 3 ] こ の 装 置 の s y n t h e s i z e r 部 は 合 成 波 形 を グ ラ フ に 描 画 し 、 そ れ は 主 に 解 析 結 果 の 視 覚 的 検 証 に 使 用 さ れ た 。 [ 3 3 ]
フ ー リ エ 理 論 の 音 へ の 応 用 [ 編 集 ]
フ ー リ エ 理 論 の 音 へ の 応 用 は 、 1 8 4 3 年 ゲ オ ル ク ・ オ ー ム に よ っ て 行 わ れ た 。 こ の 系 統 の 研 究 は ヘ ル マ ン ・ フ ォ ン ・ ヘ ル ム ホ ル ツ に よ り 大 き な 進 歩 を 遂 げ 、 彼 は 8 年 間 の 成 果 を 1 8 6 3 年 出 版 し た 。 [ 3 4 ] 彼 は 、 音 色 の 心 理 的 知 覚 は 学 習 に よ る も の だ が 、 官 能 的 感 覚 は 純 粋 に 生 理 的 な も の だ と 信 じ て い た 。 [ 3 5 ] ま た 彼 は 、 音 の 知 覚 は 基 底 膜 の 神 経 細 胞 か ら の 信 号 に 由 来 し 、 こ れ ら 細 胞 の 弾 性 付 属 物 は 適 切 な 周 波 数 の 純 粋 な 正 弦 波 ト ー ン に 共 鳴 振 動 す る 、 と い う 考 え を 支 持 し た 。 [ 3 3 ] こ の 他 ヘ ル ム ホ ル ツ は 、 あ る 種 の 音 源 は イ ン ハ ー モ ニ ッ ク ︵ 基 底 周 波 数 の 非 整 数 倍 ︶ な 振 動 モ ー ド を 含 む と す る エ ル ン ス ト ・ ク ラ ド ニ の 1 7 8 7 年 の 発 見 に 同 意 し た 。 [ 3 5 ]
ヘルムホルツのサウンド・シンセサイザー [ 編集 ]
ヘ ル ム ホ ル ツ の 時 代 、 電 子 的 な 音 響 増 幅 手 段 ︵ ア ン プ ︶ は ま だ 存 在 し な か っ た 。 ヘ ル ム ホ ル ツ は 、 ハ ー モ ニ ッ ク ・ パ ー シ ャ ル に 基 づ く 音 色 合 成 ︵ ハ ー モ ニ ッ ク ・ ア デ ィ テ ィ ブ ・ シ ン セ シ ス ︶ を 目 的 と し て 、 パ ー シ ャ ル 生 成 用 の 電 磁 石 励 起 式 の 音 叉 と 、 音 量 調 整 用 の ア コ ー ス テ ィ ッ ク な 共 鳴 チ ャ ン バ ー ( ヘ ル ム ホ ル ツ ・ レ ゾ ネ ー タ ) の 組 を 並 べ た 装 置 を 製 作 し た 。 [ 3 6 ] 製 作 は 少 な く と も 1 8 6 2 年 と い う 早 い 時 期 に 行 わ れ 、 [ 3 6 ] 次 に ル ド ル フ ・ ケ ー ニ ッ ヒ ︵ 英 語 版 ︶ に よ り 洗 練 さ れ 、 1 8 7 2 年 ケ ー ニ ッ ヒ の 装 置 の 実 演 が 行 わ れ た 。 [ 3 6 ] ハ ー モ ニ ッ ク ・ ア デ ィ テ ィ ブ ・ シ ン セ シ ス に 関 し 、 ケ ー ニ ッ ヒ は 彼 の 音 波 サ イ レ ン ︵ w a v e s i r e n ︶ に 基 づ く 大 型 装 置 も 製 作 し た 。 こ の 装 置 は 空 気 圧 式 で 、 切 断 し た ト ー ン ホ イ ー ル を 使 っ て い た が 、 パ ー シ ャ ル の 正 弦 波 精 度 が 低 い 点 を 批 評 さ れ た 。 [ 3 0 ] な お 19 世 紀 末 に 登 場 し た シ ア タ ー ・ オ ル ガ ン ︵ 英 語 版 ︶ の T i b i a パ イ プ は 正 弦 波 に 近 い 音 波 を 発 生 で き 、 ア デ ィ テ ィ ブ ・ シ ン セ シ ス と 同 様 な 方 法 で 組 み 合 わ せ る 事 が で き る 。 [ 3 0 ]
ア デ ィ テ ィ ブ と サ ブ ト ラ ク テ ィ ブ [ 編 集 ]
1 9 3 8 年 ポ ピ ュ ラ ー サ イ エ ン ス 誌 で 、 人 間 の 声 帯 は 消 防 サ イ レ ン の よ う に 機 能 し て 、 倍 音 に 富 ん だ 音 色 を 生 成 し 、 そ の 音 色 は 声 道 で フ ィ ル タ リ ン グ さ れ 、 異 な る 母 音 の 音 色 が 生 成 さ れ る 、 と す る 説 が 新 し い 重 要 な 証 拠 と 共 に [ 3 7 ] 報 じ ら れ た 。 [ 3 8 ] ︵ 関 連 ‥ ソ ー ス ・ フ ィ ル タ モ デ ル ︶ 既 に 当 時 、 ア デ ィ テ ィ ブ 方 式 の ハ モ ン ド オ ル ガ ン ︵ ト ー ン ホ イ ー ル に よ る 電 気 機 械 式 実 装 ︶ が 市 販 さ れ て い た 。 し か し 初 期 の 電 子 オ ル ガ ン ・ メ ー カ の 大 多 数 は 、 大 量 の オ シ レ ー タ を 要 す る ア デ ィ テ ィ ブ 方 式 オ ル ガ ン の 製 造 は 高 価 過 ぎ る と 判 断 し 、 代 わ り に サ ブ ト ラ ク テ ィ ブ 方 式 オ ル ガ ン の 製 造 を 開 始 し た 。 [ 3 9 ] 1 9 4 0 年 無 線 学 会 ( I R E ) の 会 議 で ハ モ ン ド の フ ィ ー ル ド ・ エ ン ジ ニ ア 長 は 、 従 来 の ﹁ 音 波 を 組 合 せ て 最 終 的 な 音 色 を 組 み 上 げ る ﹂ [ 注 釈 5 ] ハ モ ン ド オ ル ガ ン と は 対 照 的 な 、 ﹁ サ ブ ト ラ ク テ ィ ブ ・ シ ス テ ム ﹂ を 採 用 し た 同 社 の 新 製 品 ノ ヴ ァ コ ー ド に つ い て 詳 し い 説 明 を 行 っ た 。 [ 4 0 ]
A l a n D o u g l a s は 1 9 4 8 年 の R o y a l M u s i c a l A s s o c i a t i o n の 論 文 で 、 異 な る 方 式 の 電 子 オ ル ガ ン を 説 明 す る た め に 修 飾 子 ﹁ ア デ ィ テ ィ ブ ﹂ と ﹁ サ ブ ト ラ ク テ ィ ブ ﹂ を 使 っ た 。 [ 4 1 ] 現 代 的 な 用 法 の ア デ ィ テ ィ ブ ・ シ ン セ シ ス 、 サ ブ ト ラ ク テ ィ ブ ・ シ ン セ シ ス と い う 用 語 は 、 彼 の 1 9 5 7 年 著 作 “ T h e e l e c t r i c a l p r o d u c t i o n o f m u s i c ” に 登 場 し て お り 、 音 色 生 成 の 3 つ の 手 法 が 次 の 3 つ の 章 に 示 さ れ て い る ‥ [ 4 2 ]
● ア デ ィ テ ィ ブ ・ シ ン セ シ ス ︵ a d d i t i v e s y n t h e s i s ︶
● サ ブ ト ラ ク テ ィ ブ ・ シ ン セ シ ス ︵ s u b t r a c t i v e s y n t h e s i s ︶
● 他 の 形 態 の 組 合 せ ︵ O t h e r f o r m s o f c o m b i n a t i o n s ︶
現 代 の ア デ ィ テ ィ ブ ・ シ ン セ サ イ ザ ー は 典 型 的 に 、 出 力 を 電 気 的 ア ナ ロ グ 信 号 や デ ジ タ ル オ ー デ ィ オ の 形 で 生 成 す る 。 後 者 の 例 に は 2 0 0 0 年 前 後 に 一 般 化 し た ソ フ ト ウ ェ ア ・ シ ン セ サ イ ザ ー が 含 ま れ る 。 [ 4 3 ]
以 下 に 、 歴 史 的 も し く は 技 術 的 に 注 目 に 値 す る ア デ ィ テ ィ ブ ・ シ ン セ シ ス の 実 装 例 ︵ 電 気 / ア ナ ロ グ / デ ジ タ ル 式 の シ ン セ サ イ ザ ー や デ バ イ ス ︶ を 年 表 形 式 で 示 す 。
離散表現 [ 編集 ]
ア デ ィ テ ィ ブ ・ シ ン セ シ ス の デ ジ タ ル 実 装 で は 、 こ れ ま で 扱 っ て き た 連 続 時 間 の 式 ︵ 連 続 時 間 形 式 ︶ の 代 わ り に 、 離 散 時 間 の 式 ︵ 離 散 時 間 形 式 ︶ を 用 い る 。
連 続 時 間 形 式 ( 3 ) を 出 発 点 と す る ‥
y
(
t
)
=
∑
k
=
1
K
r
k
(
t
)
cos
(
2
π
∫
0
t
f
k
(
u
)
d
u
+
ϕ
k
)
=
∑
k
=
1
K
r
k
(
t
)
cos
(
θ
k
(
t
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}y(t )&=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(t )\cos \left(2\pi \int _{0}^{t}f_{k}(u )\ du+\phi _{k}\right)\\&=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(t )\cos(\theta _{k}(t ))\end{aligned}}}
連 続 時 間 形 式 を 書 き 換 え て 離 散 時 間 形 式 を 得 る た め に 、 下 記 の 置 換 を 使 う ‥
時 刻 ‥
t
→
n
/
f
s
{\displaystyle t\ \to n/f_{\mathrm {s} }\,}
出 力 ‥
y
(
t
)
→
y
[
n
]
{\displaystyle y(t )\to y[n ]\,}
振 幅 ‥
r
k
(
t
)
→
r
k
[
n
]
=
r
k
(
n
/
f
s
)
{\displaystyle r_{k}(t )\to r_{k}[n ]=r_{k}(n/f_{\mathrm {s} })\,}
瞬 時 周 波 数 ‥
f
k
(
t
)
→
f
k
[
n
]
=
∫
(
n
−
1
)
/
f
s
n
/
f
s
f
k
(
u
)
d
u
{\displaystyle f_{k}(t )\to f_{k}[n ]=\int _{(n-1)/f_{\mathrm {s} }}^{n/f_{\mathrm {s} }}f_{k}(u )du\,}
[ 注 釈 6 ]
瞬 時 位 相 ‥
θ
k
(
t
)
=
2
π
∫
0
t
f
k
(
u
)
d
u
+
ϕ
k
→
θ
k
[
n
]
=
2
π
f
s
∑
i
=
0
n
f
k
[
i
]
+
ϕ
k
{\displaystyle \theta _{k}(t )=2\pi \int _{0}^{t}f_{k}(u )du+\phi _{k}\ \to \ \theta _{k}[n ]={\frac {2\pi }{f_{\mathrm {s} }}}\sum _{i=0}^{n}f_{k}[i ]+\phi _{k}\,}
(
∵
d
t
=
d
n
/
f
s
)
{\displaystyle (\because dt=dn/f_{\mathrm {s} })\,}
す る と 次 の 離 散 時 間 形 式 が 得 ら れ る ‥
y
[
n
]
=
∑
k
=
1
K
r
k
[
n
]
cos
(
2
π
f
s
∑
i
=
1
n
f
k
[
i
]
+
ϕ
k
)
=
∑
k
=
1
K
r
k
[
n
]
cos
(
θ
k
[
n
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}y[n ]&=\sum _{k=1}^{K}r_{k}[n ]\cos \left({\frac {2\pi }{f_{\mathrm {s} }}}\sum _{i=1}^{n}f_{k}[i ]+\phi _{k}\right)\\&=\sum _{k=1}^{K}r_{k}[n ]\cos \left(\theta _{k}[n ]\right)\\\end{aligned}}}
こ こ で
θ
k
[
n
]
{\displaystyle \theta _{k}[n ]\,}
の 差 分 よ り
θ
k
[
n
]
=
θ
k
[
n
−
1
]
+
2
π
f
s
f
k
[
n
]
,
n
>
0
θ
k
[
0
]
=
ϕ
k
{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{k}[n ]&=\theta _{k}[n-1]+{\frac {2\pi }{f_{\mathrm {s} }}}f_{k}[n ]\ ,\quad n>0\\\theta _{k}[0]&=\phi _{k}\end{aligned}}}
で あ る 。 [ 2 7 ]
(一) ^
P a p o u l i s 1 9 7 7 , p . 1 8 4 の
σ
{\displaystyle \sigma \,}
は 帯 域 制 限 幅 に 相 当 し 、 K w a k e r n a a k & S i v a n 1 9 9 1 , p . 6 1 3 - 6 1 4 に 見 ら れ る よ う に 、 し ば し ば 基 本 周 波 数
ω
0
=
2
π
f
0
{\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}\,}
を 基 準 に 用 い る 。
(二) ^ 振 幅 エ ン ベ ロ ー プ ︵ 瞬 時 振 幅 ︶ の 周 波 数 ス ペ ク ト ル ︵ 振 幅 ス ペ ク ト ル ︶ は 、 振 幅 変 調 を 介 し て 信 号 ス ペ ク ト ル に 以 下 の 形 で 寄 与 す る ‥
f
c
[
k
]
±
f
m
[
κ
]
{\displaystyle f_{c}[k ]\pm f_{m}[\kappa ]\,}
f
c
[
k
]
{\displaystyle f_{c}[k ]\,}
‥ 元 信 号 の
k
{\displaystyle k\,}
次 パ ー シ ャ ル 成 分 の 周 波 数
f
m
[
κ
]
{\displaystyle f_{m}[\kappa ]\,}
‥ 瞬 時 振 幅 の
κ
{\displaystyle \kappa \,}
次 パ ー シ ャ ル 成 分 の 周 波 数
例 え ば オ ル ガ ン の よ う に 急 激 な o n / o f f を 伴 う 振 幅 ス ペ ク ト ル は 、 矩 形 波 と 同 様 な 幅 広 い 周 波 数 成 分 を 含 み 、 結 果 的 に o n / o f f 時 に ク リ ッ ク 音 が 発 生 す る 。 こ れ を 防 ぐ に は 、 振 幅 ス ペ ク ト ル の 可 聴 帯 域 へ の 寄 与 が 等 ラ ウ ド ネ ス 曲 線 上 で 目 立 た な く な る よ う 、 例 え ば 振 幅 ス ペ ク ト ル を 数 十 Hz 以 下 に 帯 域 制 限 し 、 結 果 的 に 形 状 が 鈍 っ た 振 幅 エ ン ベ ロ ー プ を 使 う 事 に な る 。 な お こ の 方 法 で は 鋭 い ア タ ッ ク を 持 つ 音 を 実 現 で き な い の で 、 必 要 に 応 じ ア タ ッ ク 部 に 過 渡 モ デ ル を 併 用 す る 事 に な る 。 ︵ 関 連 ‥ S m i t h I I I 2 0 1 1 , S i n e s + N o i s e + T r a n s i e n t s M o d e l s ︶
(三) ^
直 感 的 説 明 ‥ 波 の 伝 播 速 度
v
{\displaystyle v\,}
に 基 づ く 周 波 数 の 定 義
f
=
v
/
λ
{\displaystyle f=v/\lambda \,}
は 、 単 位 時 間
Δ
t
=
1
{\displaystyle \Delta t=1\,}
に 波 が 距 離
v
{\displaystyle v\,}
伝 播 し 、 そ の 区 間 に 波 長
λ
{\displaystyle \lambda \,}
の 波 が
f
{\displaystyle f\,}
周 期 分 並 ぶ 事 を 意 味 す る 。 こ の 式 が 与 え る
f
{\displaystyle f\,}
は 単 位 時 間
Δ
t
{\displaystyle \Delta t\,}
内 の 平 均 周 波 数 ︵ よ り 正 確 に は 瞬 時 周 波 数 の 定 積 分 ︶ と 解 釈 で き る 。
こ こ で 波 の 表 式 を
y
(
t
)
=
r
cos
(
2
π
f
⋅
t
+
ϕ
)
{\displaystyle y(t )=r\cos(2\pi f\cdot t+\phi )\,}
と す る と 、 瞬 時 位 相 ︵ 余 弦 関 数 の 偏 角 ︶ は
θ
(
t
)
=
2
π
f
⋅
t
+
ϕ
{\displaystyle \theta (t )=2\pi f\cdot t+\phi \,}
で 与 え ら れ 、
f
{\displaystyle f\,}
は 下 記 の よ う に 差 分 形 式 で 表 現 で き る ‥
f
=
(
f
⋅
(
t
+
Δ
t
)
+
ϕ
/
2
π
)
−
(
f
⋅
t
+
ϕ
/
2
π
)
Δ
t
{\displaystyle {\begin{aligned}f&={\frac {(f\cdot (t+\Delta t)+\phi /2\pi )-(f\cdot t+\phi /2\pi )}{\Delta t}}\end{aligned}}}
上 記 式 で 周 波 数
f
{\displaystyle f\,}
を 瞬 時 周 波 数
f
(
t
)
{\displaystyle f(t )\,}
に 置 き 換 え 、 極 限
Δ
t
→
0
{\displaystyle \Delta t\to 0\,}
を と る と 、 瞬 時 周 波 数
f
(
t
)
{\displaystyle f(t )\,}
と 瞬 時 位 相
θ
(
t
)
{\displaystyle \theta (t )\,}
の 関 係 式 が 導 か れ る ‥
f
(
t
)
=
lim
Δ
t
→
0
(
f
(
t
+
Δ
t
)
⋅
(
t
+
Δ
t
)
+
ϕ
/
2
π
)
−
(
f
(
t
)
⋅
t
+
ϕ
/
2
π
)
Δ
t
=
d
(
f
(
t
)
⋅
t
+
ϕ
/
2
π
)
d
t
=
1
2
π
d
θ
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}f(t )&=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {(f(t+\Delta t)\cdot (t+\Delta t)+\phi /2\pi )-(f(t )\cdot t+\phi /2\pi )}{\Delta t}}\\&={\frac {d(f(t )\cdot t+\phi /2\pi )}{dt}}={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\theta (t )}{dt}}\end{aligned}}}
上 記 関 係 式 よ り 、 周 波 数 が 時 間 発 展 す る 波 の 表 式 は 、 瞬 時 周 波 数 を 使 い 次 の よ う に 表 さ れ る ‥
y
(
t
)
=
r
cos
(
θ
(
t
)
)
=
r
cos
(
2
π
∫
−
∞
t
f
(
u
)
d
u
)
=
r
cos
(
2
π
∫
0
t
f
(
u
)
d
u
+
ϕ
)
{\displaystyle y(t )=r\cos(\theta (t ))=r\cos \left(2\pi \int _{-\infty }^{t}f(u )du\right)=r\cos \left(2\pi \int _{0}^{t}f(u )du+\phi \right)}
(四) ^ 原 文 ‥ “ f r e q u e n c i e s t h a t e v e n l y d i v i d e t h e t r a n s f o r m p e r i o d ”
(五) ^ 原 文 : “ t h e f i n a l t o n e s w e r e b u i l t u p b y c o m b i n i n g s o u n d w a v e s ”
(六) ^
離 散 時 間 形 式 の 瞬 時 周 波 数
f
k
[
n
]
=
∫
(
n
−
1
)
/
f
s
n
/
f
s
f
k
(
u
)
d
u
{\displaystyle \textstyle {f_{k}[n ]=\int _{(n-1)/f_{\mathrm {s} }}^{n/f_{\mathrm {s} }}f_{k}(u )du}\,}
は 後 退 差 分 で 計 算 さ れ る 。
(一) ^ a b c S m i t h I I I 2 0 1 1 , A d d i t i v e S y n t h e s i s ( E a r l y S i n u s o i d a l M o d e l i n g ) ,
" T h e t e r m “ a d d i t i v e s y n t h e s i s ” r e f e r s t o s o u n d b e i n g f o r m e d b y a d d i n g t o g e t h e r m a n y s i n u s o i d a l c o m p o n e n t s . . . "
(二) ^
R e i d , G o r d o n ( 2 0 0 0 ) , “ S y n t h S e c r e t s , P a r t 1 4 : A n I n t r o d u c t i o n T o A d d i t i v e S y n t h e s i s ” , S o u n d O n S o u n d ( J u n 2 0 0 0 ) , http://www.soundonsound.com/sos/jun00/articles/synthsec.htm
(三) ^ S m i t h I I I & S e r r a 2 0 0 5 , A d d i t i v e S y n t h e s i s
(四) ^
P a p o u l i s , A t h a n a s i o s ( 1 9 7 7 ) , S i g n a l A n a l y s i s , U S A : M c G r a w - H i l l , p . 1 8 4 , I S B N 9 - 7 8 0 - 0 7 0 4 - 8 4 6 0 - 3 , " W e s h a l l s a y t h a t a f u n c t i o n f ( t ) i s b a n d l i m i t e d i f i t s F o u r i e r t r a n s f o r m i s z e r o o u t s i d e a f i n i t e i n t e r v a l ( F ( ω ) = 0 f o r | ω | > σ ) a n d i t s e n e r g y E i s f i n i t e . "
(五) ^
K w a k e r n a a k , H u i b e r t ; S i v a n , R a p h a e l ( 1 9 9 1 ) , M o d e r n S i g n a l s a n d S y s t e m s : s o l u t i o n s m a n u a l w i t h s o f t w a r e , U S A : P r e n t i c e H a l l , p p . 6 1 3 – 6 1 4 , I S B N 9 - 7 8 0 - 1 3 8 0 - 9 2 6 0 - 3
(六) ^ R o a d s 1 9 9 6 , p . 1 3 4
(七) ^ a b
M o o r e , F . R i c h a r d ( 1 9 9 0 ) , E l e m e n t s o f C o m p u t e r M u s i c , P r e n t i c e H a l l , p . 16 , I S B N 0 - 1 3 2 - 5 2 5 5 2 - 6
(八) ^ R o a d s 1 9 9 6 , p . 1 5 0 – 1 5 3
(九) ^
M c A u l a y , R . J . ; Q u a t i e r i , T . F . ( A u g 1 9 8 6 ) , “ S p e e c h a n a l y s i s / s y n t h e s i s b a s e d o n a s i n u s o i d a l r e p r e s e n t a t i o n ” , I E E E T r a n s a c t i o n s o n A c o u s t i c s , S p e e c h , S i g n a l P r o c e s s i n g A S S P - 3 4 ( 4 ) : 7 4 4 – 7 5 4
(十) ^
“ M c A u l a y - Q u a t i e r i M e t h o d ” , L o r i s f o r Y o u r C o u g h , C L E A R , R i c e U n i v e r s i t y , http://www.clear.rice.edu/elec301/Projects02/lorisFor/mqmethod2.html
(11) ^ 鷲 沢 嘉 一 ; 田 中 聡 久 ( 2 0 0 7 ) , “ 経 験 的 モ ー ド 分 解 ‥ チ ュ ー ト リ ア ル ” , 電 子 情 報 通 信 学 会 第 22 回 信 号 処 理 シ ン ポ ジ ウ ム : 1 3 5 – 1 4 0 , http://www.sip.tuat.ac.jp/~tanaka/pdf/A7-1.pdf [ リ ン ク 切 れ ]
(12) ^ S m i t h I I I & S e r r a 2 0 0 5
(13) ^
F i t z , K e l l y R a y m o n d ( 1 9 9 9 ) , T h e R e a s s i g n e d B a n d w i d t h - E n h a n c e d M e t h o d o f A d d i t i v e S y n t h e s i s , D e p t . o f E l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n g , U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s a t U r b a n a - C h a m p a i g n , C i t e S e e r x : 1 0 . 1 . 1 . 1 0 . 1 1 3 0
(14) ^
“ R e a s s i g n e d B a n d w i d t h - E n h a n c e d M e t h o d ” , L o r i s f o r Y o u r C o u g h , C L E A R , R i c e U n i v e r s i t y , http://www.clear.rice.edu/elec301/Projects02/lorisFor/bandwidth_enhanced2.html
(15) ^ A R S S : T h e A n a l y s i s & R e s y n t h e s i s S o u n d S p e c t r o g r a p h
(16) ^ S P E A R S i n u s o i d a l P a r t i a l E d i t i n g A n a l y s i s a n d R e s y n t h e s i s f o r M a c O S X , M a c O S 9 a n d W i n d o w s
(17) ^ S i n u s o i d a l M o d e l i n g a n d L e m u r , C E R L S o u n d G r o u p
(18) ^ L o r i s S o f t w a r e f o r S o u n d M o d e l i n g , M o r p h i n g , a n d M a n i p u l a t i o n ア ー カ イ ブ 2 0 1 2 年 7 月 30 日 - ウ ェ イ バ ッ ク マ シ ン , C E R L S o u n d G r o u p
(19) ^ S M S T o o l s a p p l i c a t i o n f o r W i n d o w s
(20) ^ a b c
F r a n k l i n S . C o o p e r , A l v i n M . L i b e r m a n , J o h n M . B o r s t ( M a y 1 9 5 1 ) , “ T h e i n t e r c o n v e r s i o n o f a u d i b l e a n d v i s i b l e p a t t e r n s a s a b a s i s f o r r e s e a r c h i n t h e p e r c e p t i o n o f s p e e c h ” , P r o c . N a t l . A c a d . S c i . U . S . A . 37 ( 5 ) : 3 1 8 – 3 2 5 , d o i : 1 0 . 1 0 7 3 / p n a s . 3 7 . 5 . 3 1 8 , P M C 1 0 6 3 3 6 3 , P M I D 1 4 8 3 4 1 5 6 , http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=1063363
(21) ^
R e m e z , R . E . ; R u b i n , P . E . , P i s o n i , D . B . , & C a r r e l l , T . D . ( 1 9 8 1 ) , “ S p e e c h p e r c e p t i o n w i t h o u t t r a d i t i o n a l s p e e c h c u e s ” , S c i e n c e ( 2 1 2 ) : 9 4 7 – 9 5 0 , http://people.ece.cornell.edu/land/courses/ece4760/Speech/remez_rubin_pisoni_carrell1981.pdf
(22) ^
R u b i n , P . E . ( 1 9 8 0 ) , “ S i n e w a v e S y n t h e s i s I n s t r u c t i o n M a n u a l ( V A X ) ” , I n t e r n a l m e m o r a n d u m ( H a s k i n s L a b o r a t o r i e s , N e w H a v e n , C T ) , http://www.haskins.yale.edu/featured/sws/SWSmanual.pdf
(23) ^ B r i s t o w - J o h n s o n , R o b e r t ( N o v e m b e r 1 9 9 6 ) , W a v e t a b l e S y n t h e s i s 1 0 1 , A F u n d a m e n t a l P e r s p e c t i v e , オ リ ジ ナ ル の 2 0 1 3 年 6 月 15 日 時 点 に お け る ア ー カ イ ブ 。 , https://web.archive.org/web/20130615202748/http://musicdsp.org/files/Wavetable-101.pdf 2 0 1 2 年 12 月 21 日 閲 覧 。
(24) ^
S m i t h I I I , J u l i u s O . ( 2 0 1 0 ) , “ G r o u p A d d i t i v e S y n t h e s i s ” , S p e c t r a l A u d i o S i g n a l P r o c e s s i n g ( M a r c h 2 0 1 0 D r a f t e d . ) , C C R M A , S t a n f o r d U n i v e r s i t y , オ リ ジ ナ ル の 2 0 1 1 - 0 6 - 0 6 時 点 に お け る ア ー カ イ ブ 。 , https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Group_Additive_Synthesis.html
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(26) ^
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P r e s t i n i , E l e n a ( 2 0 0 4 ) [ R e v . e d . o f : A p p l i c a z i o n i d e l l ' a n a l i s i a r m o n i c a . M i l a n : U l r i c o H o e p l i , 1 9 9 6 ] , T h e E v o l u t i o n o f A p p l i e d H a r m o n i c A n a l y s i s : M o d e l s o f t h e R e a l W o r l d , t r a n s . , N e w Y o r k , U S A : B i r k h ä u s e r B o s t o n , p p . 1 1 4 – 1 1 5 , I S B N 0 - 8 1 7 6 - 4 1 2 5 - 4 , https://books.google.fi/books?id=fye--TBu4T0C
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関連項目 [ 編集 ]
外部リンク [ 編集 ]