ウィルソンループ

ゲージ理論では、ウィルソンループ(Wilson loop)︵ケネス・ウィルソン(Kenneth G. Wilson)に因む︶は、ゲージ不変な観測量を与えられたループのゲージ接続のホロノミー(holonomy)から得る。古典論では、ウィルソンループの集まりは、ゲージ変換を同一視したゲージ接続を再構成する十分な情報を構成する。

場の量子論では、ウィルソンループ観測量の定義は、フォック空間上の﹁善意の(bona fide)﹂作用素である。︵実際、ハーグの定理(Haag's theorem)は、フォック空間は相互作用のある QFT に対しては存在しないという定理がある。︶この定義は、数学的にはデリケートな問題であり、通常はフレーミングを持つ各々のループを備えた繰り込みが要求される。ウィルソン作用素の作用は、量子場の基本励起を作り出すことを解釈され、量子場はループへ局所化される。このようにして、マイケル・ファラデェー(Michael Faraday)の﹁フラックスチューブ﹂は量子電磁気場の基本励起となる。

ウィルソンループは、1970年代に量子色力学 (QCD) の非摂動的定式化の試み、少なくとも QCD の強い相互作用の領域を扱う一連の変数記法として導入された。ウィルソンループは、クォークの閉じ込めの問題を解くことを意図し考案されたが、今日、未解決のままである。

強い相互作用を持つ量子場理論は、基本的な非摂動的励起をもっているという事実は、アレクサンダー・ポリヤコフ(Alexander Polyakov)により、最初の弦理論を定式化するために提唱された。これは時空での基本量子のループの伝播を記述している。

ウィルソンループはループ量子重力理論の定式化で重要な役割を果たすが、そこでは、スピンネットワークに取って変わられ︵後日、スピンフォアム(spinfoam)となった︶、ウィルソンループの一種の一般化となっている。

素粒子物理学と弦理論において、ウィルソンループ、特にコンパクト多様体の非可縮なループの周りのウィルソンループは、ウィルソンライン(Wilson lines)とよく言われる。

方程式

ウィルソンライン(Wilson line)変数 $W_{C}$$W_{C}$︵あるいは、ウィルソンループ(Wilson loop)変数のほうがよいが、︶、常に閉曲線として扱うので、Cに沿って動くゲージ場 $A_{\mu }$$A_{\mu }$の経路順序べき(path-ordered exponential)のトレースにより定義された次の量である。

$W_{C}:=\mathrm {Tr} \,(\,{\mathcal {P}}\exp i\oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }\,)\,.$$W_{C}:=\mathrm {Tr} \,(\,{\mathcal {P}}\exp i\oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }\,)\,.$
ここに、$C$$C$ は空間内の閉曲線であり、${\mathcal {P}}$${\mathcal {P}}$ は経路順序(path-ordering)作用素である。ゲージ変換

${\displaystyle {\mathcal {P}}e^{i\oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }}\to g($x){\mathcal {P}}e^{i\oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }}g^{-1}(x)\,} ${\mathcal {P}}e^{i\oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }}\to g(x){\mathcal {P}}e^{i\oint _{C}A_{\mu }dx^{\mu }}g^{-1}(x)\,$,

であり、ここに $x\,$$x\,$は、ループの単に起点と終点に対応する︵ラインの起点と終点のみが寄与することに対し、間にあるゲージ変換は互いにキャンセルする︶。たとえば、SU(2) ゲージに対し、${\displaystyle g^{\pm 1}($x)\equiv \exp\{\pm i\alpha ^{j}(x){\frac {\sigma ^{j}}{2}}\}} $g^{\pm 1}(x)\equiv \exp\{\pm i\alpha ^{j}(x){\frac {\sigma ^{j}}{2}}\}$ となる。${\displaystyle \alpha ^{j}($x)} $\alpha ^{j}(x)$ は $x\,$$x\,$の任意の実函数であり、$\sigma ^{j}$$\sigma ^{j}$ は3つのパウリ行列(Pauli matrices)で、和は通常の繰り返しのインデックスを渡る和を意味する。

巡回置換(cyclic permutation)の下のトレースの不変性は、$W_{C}$$W_{C}$ がゲージ変換の下で不変であることを保証する。トレースを取る量は、ゲージリー群の元で、ロレースは実際、無限に多い既約表現の指標に関して、この元の指標であることに注意する。このことは、作用素 $A_{\mu }\,dx^{\mu }$$A_{\mu }\,dx^{\mu }$が﹁トレースクラス﹂︵従って、純粋離散スペクトル︶へ限定するべきではないが、一般には通常通りエルミート的︵数学的には自己随伴)である。詳しいは、最終的に観測している量はこのトレースであるので、どのループ上のどの点を起点とするかは問題ではない。それらの点はすべて同一の値を与える。

実際、Aを主 G-バンドル上の接続形式とみなすと、上の方程式は実際、リー群Gの元を与えるループを回る単位元の平行移動と理解すべきである。

経路順序べきは、物理で共通に使われる便利な記法であるが、数学的な作用素の公正な値を秘匿している。数学者は接続の順序べきを﹁接続のホロノミー﹂として選び、ウィルソンループが満たすべき平行移動の微分方程式として特徴付けるであろう。

T=0 では、クォークの閉じ込め、あるいはゲージ不変な量子場理論の閉じ込めを解くこと、すなわち、変数が値の増加する﹁領域﹂か、ループの﹁周り﹂で逆になるかに従って、ウィルソンループ変数が特徴付けられる︵﹁領域の中の法則﹂か﹁半径の法則﹂としても知られる﹁周囲の法則﹂となるか︶。

有限温度の QCD において、ウィルソンループの熱的期待値は、と閉じ込められたハドロン相と場の閉じ込めの解かれた状態、つまりクォークグルーオンプラズマとを識別する。

参照項目

• 巻き付き数