ポアソン多様体

多様体 Mがポアソン多様体︵ポアソンたようたい、英: Poisson Manifold︶であるとは、M 上の C^∞ 級関数全体のなすベクトル空間を C^∞(M) と表すとき、次の性質を満たす写像 ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}\colon C^{\infty }($M)\times C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)} $\{\cdot ,\cdot \}\colon C^{\infty }(M)\times C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)$が存在することをいう。

(一)$\{\cdot ,\cdot \}$$\{\cdot ,\cdot \}$ は、$\mathbb {R}$$\mathbb {R}$-双線形形式である。

(二)$\,\{f,g\}=-\{g,f\}\,$$\,\{f,g\}=-\{g,f\}\,$
(三)$\,\{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0\,$$\,\{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0\,$　:ヤコビ律

(四)$\,\{f,gh\}=g\{f,h\}+h\{f,g\}\,$$\,\{f,gh\}=g\{f,h\}+h\{f,g\}\,$
このとき、写像 ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}\colon C^{\infty }($M)\times C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)} $\{\cdot ,\cdot \}\colon C^{\infty }(M)\times C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)$を M上のポアソン構造、もしくはポアソン括弧と呼ぶ。

例

$\,(M,\omega )\,$$\,(M,\omega )\,$ をシンプレクティック多様体とする。このとき、$M$$M$上にポアソン構造が次のようにして定義できる。

$\,\{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})\,$$\,\{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})\,$
ここで、$\,X_{f},X_{g}\,$$\,X_{f},X_{g}\,$ はそれぞれ $\,f,g\,$$\,f,g\,$から定まるハミルトンベクトル場である。従って、シンプレクティック多様体はポアソン多様体でもある。しかしながら、ポアソン多様体がシンプレクティック多様体であるとは限らない。

$(q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})$$(q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})$ をダルブー座標とすると、シンプレクティック多様体上のポアソン構造は、

$\{f,g\}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right)$$\{f,g\}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right)$
と書ける。

関連項目

• 幾何学的量子化