予測区間

予測区間︵よそくくかん︶とは統計学用語で、母集団を仮定した上で、将来観察されるであろう標本値︵現在は測定できない︶に対して﹁どの範囲にあると予測されるか﹂を示すものである。

これに対し、信頼区間とは、母集団の母数︵標本から測定できない︶に対して ﹁どの範囲にあると推定できるか﹂を示すものである。混同しないように注意。

例

正規分布に従う母集団から標本を抽出したとしよう。母集団の平均と標準偏差は不明である︵標本から推定できるのみ︶。n を標本サイズ、 μと  σ を母集団の平均と標準偏差とし、 X₁, ...,X_n を現在までの標本として、これから次の観察値X_n+1 を予測したい。現在までの標本の平均および分散を

${\overline {X}}_{n}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n$${\overline {X}}_{n}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n$
$S_{n}^{2}={1 \over n-1}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2}$$S_{n}^{2}={1 \over n-1}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2}$
とする。ここで次の数値‥

${T_{n-1}}\sim {X_{n+1}-{\overline {X}}_{n} \over {\sqrt {S_{n}^{2}+S_{n}^{2}/n}}}={X_{n+1}-{\overline {X}}_{n} \over S_{n}{\sqrt {1+1/n}}}$${T_{n-1}}\sim {X_{n+1}-{\overline {X}}_{n} \over {\sqrt {S_{n}^{2}+S_{n}^{2}/n}}}={X_{n+1}-{\overline {X}}_{n} \over S_{n}{\sqrt {1+1/n}}}$
を考えると、これはスチューデントのt分布︵自由度 n− 1 ︶に従うことが示される。従って

$\Pr \left({\overline {X}}_{n}-T_{a}S_{n}{\sqrt {1+(1/n)}}\leq X_{n+1}\leq {\overline {X}}_{n}+T_{a}S_{n}{\sqrt {1+(1/n)}}\,\right)=p$$\Pr \left({\overline {X}}_{n}-T_{a}S_{n}{\sqrt {1+(1/n)}}\leq X_{n+1}\leq {\overline {X}}_{n}+T_{a}S_{n}{\sqrt {1+(1/n)}}\,\right)=p$
とすれば、T_a は自由度 n− 1 のt分布における 100((1 + p)/2)パーセント点である。そして

${\overline {X}}_{n}\pm T_{a}{S}_{n}{\sqrt {1+(1/n)}}$${\overline {X}}_{n}\pm T_{a}{S}_{n}{\sqrt {1+(1/n)}}$
という数値が X_n+1 に対する100p%予測区間の境界を表す。

例えば p= 0.95 とすれば、95%予測区間ということになる。

関連項目

• 傾向推定