二重振り子

二重振り子のアニメーション
ルンゲ＝クッタ法による数値計算より

二重振り子︵にじゅうふりこ、英: double pendulum︶は振り子の先にもうひとつの振り子を連結したもの。振り子を一旦揺らすと、カオスと呼ばれる極めて複雑で非周期的な運動が発生することで知られている。実物を比較的手軽に製作可能なことから、カオス現象の紹介や入門としての演示実験によく使用される。

運動方程式

振子の腕の先端に質点がある場合の二重振り子形式図

二重振り子の運動方程式はラグランジュ関数を用いて導出される場合が多い。各振り子の腕は剛体、連結部での摩擦や空気抵抗のような減衰は無い、外力は働かない自由振動とすれば、以下のような運動方程式が得られる。

それぞれの振子の腕の先端に質点が存在するモデル︵単振り子を連結したモデル︶の運動方程式を示す。

$(m_{1}+m_{2})l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}+m_{2}l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+m_{2}l_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+(m_{1}+m_{2})g\sin \theta _{1}=0$$(m_{1}+m_{2})l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}+m_{2}l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+m_{2}l_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+(m_{1}+m_{2})g\sin \theta _{1}=0$
$l_{1}l_{2}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+l_{2}^{2}{\ddot {\theta }}_{2}-l_{1}l_{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+gl_{2}\sin \theta _{2}=0$$l_{1}l_{2}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+l_{2}^{2}{\ddot {\theta }}_{2}-l_{1}l_{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+gl_{2}\sin \theta _{2}=0$
ここで、θ₁、θ₂‥各振り子角、m₁、m₂‥各質量、l₁、l₂‥各振り子長さ、g‥重力加速度で、˙は時間tによる1階微分、¨はtによる2階微分を表す。

一方、それぞれの振子の腕の中間に質点が存在するモデル︵物理振り子を連結したモデル︶の運動方程式を示す。

$(m_{1}+4m_{2})l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}+2m_{2}l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+2m_{2}l_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+(m_{1}+2m_{2})g\sin \theta _{1}=0$$(m_{1}+4m_{2})l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}+2m_{2}l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+2m_{2}l_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+(m_{1}+2m_{2})g\sin \theta _{1}=0$
$l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}+2l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})-2l_{1}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+g\sin \theta _{2}=0$$l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}+2l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})-2l_{1}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+g\sin \theta _{2}=0$
ここで、2l₁、2l₂‥各振り子長さで、他は上記の単振り子連結モデルと同じである。どちらのモデルも力学系の解析ではよく扱われる。

これらの系の運動状態は、$\theta _{1}$$\theta _{1}$、$\theta _{2}$$\theta _{2}$、${\dot {\theta }}_{1}$${\dot {\theta }}_{1}$、${\dot {\theta }}_{2}$${\dot {\theta }}_{2}$の4つの変数で一意に決定される。しかし、これらの運動方程式の理論解析は困難なため、運動状態を得るにはコンピュータによる数値解析が行われる。変数の時間発展を得るためにルンゲ＝クッタ法などが使用される。

簡単のために状態を限定すれば厳密解を得ることもでき、振り子の振り幅が小さい範囲として、なおかつm₁ = m₂= m、l₁ = l₂= lとすれば、運動は2つの固有振動の足し合わせで表され、それぞれの固有振動数ω₁、ω₂は以下のように得られる。

$\omega _{1}={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{\sqrt {\frac {g}{l}}}=0.765{\sqrt {\frac {g}{l}}}$$\omega _{1}={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{\sqrt {\frac {g}{l}}}=0.765{\sqrt {\frac {g}{l}}}$
$\omega _{2}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{\sqrt {\frac {g}{l}}}=1.848{\sqrt {\frac {g}{l}}}$$\omega _{2}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{\sqrt {\frac {g}{l}}}=1.848{\sqrt {\frac {g}{l}}}$

実物による教材

二重振り子先端に付けたLEDランプ軌道の長時間露光写真

カオス運動を行う二重振り子の実物を比較的簡単に製作できることから、カオス理論入門のための講義用教材として二重振り子が採り上げられることが多い。カオスの命名の一人である数学者のジェームズ・ヨーク(James A. Yorke)も、初心者向け講義で実物の二重振り子を教材に使用していた。よく運動する実物の製作にあたっては、二重振り子の運動エネルギーをできるだけ減衰させない工夫が必要となる。例えば、連結部分で大きな摩擦が発生しないようベアリングを入れたり、滑りの良いプラスティック素材を使用するなど工夫が採られる。ビデオカメラによる撮影を行うときは、振り子先端にLEDライトなどを取り付けて振り子の軌道をより分かり易くする工夫も採られる。

その運動の視覚的面白さから、小中高校生向けに理科への興味を与える演示実験教材としても二重振り子がよく採り上げられる。公益法人や大学主催のテクノフェスタ、サイエンスフェスタで、実物の二重振り子を使用した演示実験が行われている。小学生を対象に簡易な二重振り子の製作・実演までを行う教材研究も行われており、これによるとほとんどの生徒が二重振り子の運動に興味を持ったなどの結果を得ている。

脚注

参考文献

●鈴木三男, 増田健二﹁二重振り子におけるカオス的振舞﹂﹃物理教育﹄第48巻第1号、日本物理教育学会、2000年、1-5頁、doi:10.20653/pesj.48.1_1、NAID 110007490840。 

●井上政義、1997、﹃やさしくわかるカオスと複雑系の科学﹄初版、日本実業出版社 ISBN 4-53402492-4

関連項目

●ジャクソン・ポロック - 二重振り子のように手を動かし、作品を制作した画家。

外部リンク

 ウィキメディア・コモンズには、二重振り子に関するカテゴリがあります。

●﹃二重振り子﹄ - コトバンク

●二重振り子 - J-GLOBAL

●山口巖﹁二重振り子の周期的な振る舞い﹂﹃神戸親和女子大学研究論叢﹄第35号、神戸親和女子大学、2002年3月、63-90頁、ISSN 13413104、NAID 110006606940。 

●鹿野洋, 堀洋一﹁再構成アトラクタを用いた二重振り子の安定化制御﹂﹃電気学会論文誌. D, 産業応用部門誌﹄第120巻第1号、電気学会、2000年1月、142-147頁、doi:10.1541/ieejias.120.142、ISSN 09136339、NAID 10004296803。 

●増田健二, 鈴木三男﹁B-1 ビデオ画像位置解析法による二重振り子の運動の測定(分科B:﹁実験開発﹂)﹂﹃物理教育学会年会物理教育研究大会予稿集﹄第19巻セッションID: B-1、日本物理教育学会、2002年、36-37頁、doi:10.20653/pesjtaikai.19.0_36、NAID 110007466063。