弾性エネルギー

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弾性エネルギー︵だんせいエネルギー、英語: elastic energy︶とは、ばねやゴムなどの弾性体の変形に伴うエネルギーである。位置エネルギーの一種である。

一次元の線形弾性体

フックの法則に従うばね係数 kのばねの伸びが xであるときの弾性エネルギーは

$U={\frac {1}{2}}kx^{2}$$U={\frac {1}{2}}kx^{2}$
で与えられる。

導出

一端が壁に固定されたフックの法則に従うばね係数 kのばねに接続された物体を考える。ばねの伸びが xのとき、ばねが物体に及ぼす力は F= −kx である。 ばねの伸びが Δx だけ変化するとき、ばねに接続された物体は Δx だけ移動する。 ばねの伸びの変化が充分に小さい場合には、ばねが及ぼす力は殆ど変化しないとみなすことができる。このとき、ばねが物体に行う仕事は

$W=F\,\Delta x=-kx\,\Delta x$$W=F\,\Delta x=-kx\,\Delta x$
である。 一方、ばねが物体に仕事を行うとき、ばねから物体にエネルギーが移動する。ばねの他端は壁に固定されているので、外部からのエネルギーの流入はない。従って、ばねが行う仕事の分だけばねが蓄えている弾性エネルギーが減少する。弾性エネルギーを U、その変化量を ΔU とすれば

$W=-\Delta U$$W=-\Delta U$
である。

これら二つの式から

$\Delta U=kx\,\Delta x$$\Delta U=kx\,\Delta x$
が得られる。ばねの伸びが無限小の極限 Δx → 0 で、微分係数が

${\frac {dU}{dx}}=kx$${\frac {dU}{dx}}=kx$
となる。これを積分すれば

$U={\frac {1}{2}}kx^{2}+U_{0}$$U={\frac {1}{2}}kx^{2}+U_{0}$
が導かれる。ここで U₀ は積分定数であり、これは伸びが x= 0、すなわちばねが自然な長さにあるときの弾性エネルギーを意味する。通常は U₀ = 0 と定める。

弾性エネルギーと応力

先のばねの例において、ばねの伸び xを弾性体の歪み ε へ、物体がばねに及ぼす力 kxを、弾性体の応力 σ へと置き換えれば、応力が偏微分係数


$\sigma _{a}(\epsilon )={\frac {\partial U}{\partial \epsilon _{a}}}$$\sigma _{a}(\epsilon )={\frac {\partial U}{\partial \epsilon _{a}}}$

として表され、弾性エネルギーはこの積分として


$U(\epsilon )=\int \sum _{a}\sigma _{a}(\epsilon )\,d\epsilon _{a}$$U(\epsilon )=\int \sum _{a}\sigma _{a}(\epsilon )\,d\epsilon _{a}$

で与えられる。弾性エネルギーは弾性体の変形の関数として定まるエネルギーであり、先の一次元線形弾性体の例では、ばねの伸び xの関数として与えられている。応力と歪みは一般にテンソルであり、テンソル添え字を aで表している。

応力を歪みの関数として与える関係式は構成方程式であり、弾性エネルギーと構成方程式は一方が分かれば、他方が偏微分あるいは積分として得られる関係にある。理論モデルとしてはどちらを先に与えても等価であるが、実験的には構成方程式が先に決定され、その積分として弾性エネルギーを導かれる場合が多い。

弾性エネルギーの例

弾性エネルギーは例として伸びている﹁ゴム﹂や﹁ばね﹂などのことを言う。弓が元に戻ろうとする力で飛ぶ矢など。

熱力学との関係

弾性エネルギーは、弾性体の性質の力学的な側面だけを考えているが、弾性体の性質は温度によっても変化する。その最たる例として、温度変化による変形である熱膨張が挙げられる。弾性エネルギーは変形の関数であるが、温度と変形の関数として定まるエネルギーが自由エネルギーである。自由エネルギーの偏微分としては状態方程式が得られる。

関連項目

• 弾性 - 構成方程式
• 仕事
• 力学的エネルギー