素集合

互いに素な2つの集合

2つの集合が交わりを持たない (disjoint) あるいは互いに素︵たがいにそ、英語: mutually disjoint︶であるとは、それらが共通の元を持たぬことをいう。一般に、与えられた集合族が互いに素︵英語: pairwise disjoint︶、あるいは素集合系︵そしゅうごうけい、英語: disjoint sets︶であるとは、その集合族に属するどの2つの集合を選んでも、その2つの共通部分が空集合であることをいう。例えば、{1, 2, 3} と {4, 5, 6} は互いに素である。

概要

2つの集合 Aと Bが互いに素であるとは、それらの共通部分が空集合であること、すなわち、

$A\cap B=\varnothing$$A\cap B=\varnothing$
であることを意味する。

この定義は任意の個数の集合に拡張できる。集合族が互いに素であるとは、その集合族に属するどの2つの集合の共通部分も空集合であることをいう。つまり、I を添字集合として Iのそれぞれの元 iについて、A_i という集合が対応しているとき、集合族 {A_i : i∈ I} が﹁互いに素﹂であるとは、i ≠ jである任意の iと jについて、

$A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$$A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$
が成り立つことをいう。例えば、{ {1}, {2}, {3}, … } は互いに素な集合族である。

{A_i} が︵少なくとも2つの集合を含む︶互いに素な集合族であるとき、その共通部分は明らかに空集合である。すなわち、

$\bigcap _{i\in I}A_{i}=\varnothing$$\bigcap _{i\in I}A_{i}=\varnothing$
が成り立つ。しかし、その逆は真ではない。例えば、集合族 {{1, 2}, {2, 3}, {3, 1}} の共通部分は空集合だが、互いに素ではない︵{1, 2} と {2, 3} の共通部分は {2}︶。

集合 Xの分割とは、その直和が Xに等しい集合族のことである。すなわち、各 A_iが Xの部分集合である族 {A_i : i∈ I} であり、互いに素であると同時に

$\bigcup _{i\in I}A_{i}=X$$\bigcup _{i\in I}A_{i}=X$
が成り立つものである。通常は、各 A_iが空でないことを要請する。

関連項目

• 互いに素
• 直和
• 素集合データ構造