頂点関数

場の量子論において、頂点関数︵ちょうてんかんすう、vertex function︶とは、複数の粒子が相互作用する過程を記述する相関関数である。量子電磁力学においては、電子のような荷電粒子が仮想的な光子を吸収する︵放出する︶過程であり、3点頂点関数に対する1ループの頂点補正︵ちょうてんほせい、vertex correction︶は電子の異常磁気モーメントに支配的な寄与を及ぼす。

概要[編集]

頂点関数Γ^μは有効作用Γ_effの汎関数微分によって定義される。量子電磁力学における3点頂点関数は、電磁場との結合定数eを用いて

{\displaystyle \Gamma ^{\mu }(x,y,z)=-{1 \over e}{\frac {\delta ^{3}\Gamma _{\mathrm {eff} }({\bar {\psi }},\psi ,A_{\mu })}{\delta {\bar {\psi }}(

\Gamma ^{\mu }(x,y,z)=-{1 \over e}{\frac {\delta ^{3}\Gamma _{\mathrm {eff} }({\bar {\psi }},\psi ,A_{\mu })}{\delta {\bar {\psi }}(x)\delta \psi (y)\delta A_{\mu }(z)}}

となる。頂点関数Γ^μの中で最も支配的な寄与は、頂点因子に含まれるガンマ行列γ^μである。さらに、頂点関数には量子電磁力学が持つ対称性︵ローレンツ対称性、ゲージ対称性︶が要請され、その形式はワード＝高橋恒等式によって以下のように制限されている。

\Gamma ^{\mu }=\gamma ^{\mu }F_{1}(q^{2})+{\frac {i\sigma ^{\mu \nu }q_{\nu }}{2m}}F_{2}(q^{2})

\Gamma ^{\mu }=\gamma ^{\mu }F_{1}(q^{2})+{\frac {i\sigma ^{\mu \nu }q_{\nu }}{2m}}F_{2}(q^{2})

ここで、

\sigma ^{\mu \nu }=(i/2)[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]\,

\sigma ^{\mu \nu }=(i/2)[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]\,

であり、q_νは外部から入射する光子の四元運動量である。係数F₁(q²)とF₂(q²)は形状因子(form factor)と呼ばれ、光子の運動量の2乗q²のみに依存する。ダイアグラムの最低次においては、F₁(q²) = 1、F₂(q²) = 0となり、このとき電子は内部構造を持たない点状粒子となっている。それ以上高次のF₁(0)に対する補正は、繰り込みを用いて計算される。形状因子F₂(0)は、電子の異常磁気モーメントaに対応しており、ランデのg因子を用いて以下のように表される。