DSダイアグラム

DSダイアグラム︵DS-diagram︶は、数学における3次元多様体の表現方法の一つ。3次元多様体$M$$M$を一個の多面体︵3次元球体$B^{3}$$B^{3}$の境界$S^{2}$$S^{2}$︶の面同士を貼合せたものとして表現するとき、その貼合せ写像の特異点︵分岐点︶を球面上の3-正則グラフとして表現したものである。

DSダイアグラムは、曲面︵コンパクトな2次元多様体︶をその辺同士の貼合せとして表示する基本多角形の3次元的なアナロジーとなっている。基本多角形が記号列によって内容を一意に表現可能であるのと同様に、DSダイアグラムにおいてもEサイクルに注目することによって記号列で表現することが可能である。

定義

Simple polyhedron

2次元の有限多面体$P$$P$は、その任意の点に以下の$X$$X$の開部分集合に同相な近傍が有るならば、simple polyhedron︵又はclosed fake surface︶と呼ばれる。

${\begin{aligned}X\equiv &\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}|z=0\}\\&\cup \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}|y=0,z\geq 0\}\\&\cup \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}|x=0,z\leq 0\}\end{aligned}}$${\begin{aligned}X\equiv &\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}|z=0\}\\&\cup \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}|y=0,z\geq 0\}\\&\cup \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}|x=0,z\leq 0\}\end{aligned}}$
$\{(t,0,0)\in X|\exists t\in \mathbb {R} \}$$\{(t,0,0)\in X|\exists t\in \mathbb {R} \}$及び$\{(0,t,0)\in X|\exists t\in \mathbb {R} \}$$\{(0,t,0)\in X|\exists t\in \mathbb {R} \}$に対応する$P$$P$の点︵特異点︶の集合を${\displaystyle S($P)} $S(P)$により表す。その中で、特に$(0,0,0)\in X$$(0,0,0)\in X$に対応する$P$$P$の点︵頂点︶の集合を${\displaystyle V($P)(\subseteq S(P))} $V(P)(\subseteq S(P))$により表す。

DSダイアグラム

$G$$G$を$S^{2}$$S^{2}$に埋め込まれた3-正則グラフとする。 あるsimple polyhedron $P$$P$が存在して、以下の意味で局所的な同相写像$f:S^{2}\rightarrow P$$f:S^{2}\rightarrow P$が存在するとき︵${\displaystyle V($G)} $V(G)$は$G$$G$の頂点の集合を表す︶、$(G,f,P)$$(G,f,P)$をDSダイアグラムという。 $G$$G$として特に頂点が無く辺しか存在しないもの︵hoop︶も認める。

(一)${\displaystyle f^{-1}(S($P))=G} $f^{-1}(S(P))=G$
(二)${\displaystyle f^{-1}(V($P))=V(G)} $f^{-1}(V(P))=V(G)$
(三)${\displaystyle |f^{-1}($x)|={\begin{cases}4&x\in V(P)\\3&x\in S(P)-V(P)\\2&x\in P-S(P)\\\end{cases}}} $|f^{-1}(x)|={\begin{cases}4&x\in V(P)\\3&x\in S(P)-V(P)\\2&x\in P-S(P)\\\end{cases}}$

Eサイクル

DSダイアグラム$(G,f,P)$$(G,f,P)$に対し、$e$$e$を$G$$G$のサイクル、$\Sigma _{+},\Sigma _{-}$$\Sigma _{+},\Sigma _{-}$を$S^{2}-e$$S^{2}-e$の2つの連結成分とする。$e$$e$は以下を満たすときEサイクル︵E-cycle︶と呼ばれる。

(一)${\displaystyle |e\cap f^{-1}($x)|={\begin{cases}2&x\in V(P)\\1&x\in S(P)-V(P)\\\end{cases}}} $|e\cap f^{-1}(x)|={\begin{cases}2&x\in V(P)\\1&x\in S(P)-V(P)\\\end{cases}}$
(二)$f|_{\Sigma _{+}},f|_{\Sigma _{-}}$$f|_{\Sigma _{+}},f|_{\Sigma _{-}}$はそれぞれ全単射

Eサイクル$e$$e$が存在し具体的に指定されたDSダイアグラムを、Eサイクル付DSダイアグラム︵DS-diagram with an E-cycle︶と呼び、$(G,f,P;e)$$(G,f,P;e)$等と表す。

Eサイクル上の各頂点に、それが張り合わされる頂点が$\Sigma _{+},\Sigma _{-}$$\Sigma _{+},\Sigma _{-}$のどちらに存在するかに応じて+/-の符号を付すことで、Eサイクル付DSダイアグラムを復元可能な記号列を作ることができる。この記号列を$\Delta =(G,f,P;e)$$\Delta =(G,f,P;e)$のarrangementと呼び、${\mathcal {A}}(\Delta )$${\mathcal {A}}(\Delta )$等と表す。

3次元多様体との関係

Fig. 1. $S^{2}\times S^{1}$$S^{2}\times S^{1}$を表すDSダイアグラム。

DSダイアグラム$(G,f,P)$$(G,f,P)$に対し、$f:S^{2}\rightarrow P$$f:S^{2}\rightarrow P$の定義域を$B^{3}$$B^{3}$に自然に拡張することで、一つの閉3次元多様体$B^{3}/f$$B^{3}/f$が対応する。

例

●$G$$G$が空グラフのときは、DSダイアグラムは$S^{3}$$S^{3}$を表す。

●Fig. 1は頂点がなく辺のみを有するグラフ$G$$G$に対するDSダイアグラムで、$S^{2}\times S^{1}$$S^{2}\times S^{1}$を表す。

関連概念

3次元多様体のブロック数

Eサイクル付DSダイアグラム$\Delta$$\Delta$のarrangementにおいて、連続する+符号の頂点の部分列で、その両端は-符号の頂点に接しているものを正ブロック︵positive block︶と呼ぶ。$\Delta$$\Delta$の異なる全ての正ブロックの個数を$\Delta$$\Delta$のブロック数︵block number︶と呼び、$bl(\Delta )$$bl(\Delta )$により表す。

同じ多様体を表す全てのEサイクル付DSダイアグラム$\Delta$$\Delta$のブロック数$bl(\Delta )$$bl(\Delta )$の内、最小のものをその多様体のブロック数${\displaystyle Bl($M)} $Bl(M)$と定義する。即ち ${\displaystyle Bl($M)\equiv \min _{M(\Delta )=M}bl(\Delta )} $Bl(M)\equiv \min _{M(\Delta )=M}bl(\Delta )$
ブロック数は明らかに多様体の位相不変量であり、更に$S^{3}$$S^{3}$を除いてHeegaard種数に一致することが知られている。

外部リンク

• 箱根セミナー
• https://math.cs.kitami-it.ac.jp/~kouno/DS-diagram/