当サイトを執筆した講師陣による個別指導を受けてみませんか? 【大学受験・英検・TOEIC・数検をはじめとする各種検定/資格試験の合格・スコアアップ】を達成するYESのマンツーマン指導。体験授業随時受付中! 集合と写像 論理と集合の分野は、高校数学でもあまり重要視されなかったり、いまいちよくわからないまま通り過ぎられることの多い分野です。 しかし、実際には「論理と集合」を理解していないと解けない問題は難関大学を中心に沢山出題されています。 また、「集合」と「写像」については、今や入試対策のみならず機械学習などに必須の「線形代数学」を理解する上で無くてはならないものです。 この記事では、前半で集合の考え方を、後半で集合と写像(単射・全射・全単射)について解説しています。 高校生、受験生だけでなく社会人で線形代数を学び始めたい方も、ぜひじっくり読んでみてください。 集合とは何か 「明確に定義でき
株式会社pipon代表取締役。 キャリアはADK(広告代理店)でテレビ広告運用をして残業120時間するが、ネット広告では自分の業務がAIで自動化されていることに驚愕する。そこで、機械学習受託会社に転職し、技術力を身につけた後、piponを創業。現在、製薬業界、大手監査法人、EC業界、様々な業界でAI受託開発事業を運営。 はじめに 大学で学んだ線形代数は、様々な理論の基本となる考え方で、機械学習で用いられるアルゴリズムの中でも活用されています。 線形代数を知らなくても機械学習はできますが、なぜそのアルゴリズムで解を出せるのかを理解したい場合、線形代数の考え方を知っておく必要があります。 今回は、機械学習における線形代数の必要性について述べます。 線形代数とは 線形代数とは、線形空間に関する学問で、代数学の一分野です。簡単に言うと、行列やベクトルの性質を色々考える学問です。 理系の大学の授業で
KIT数学ナビゲーションのページの中で線形代数に関するページを集めている.特に断らない限りベクトル,行列の成分はすべて実数であるとして説明する. ■行列 行列の定義 行ベクトル,列ベクトル,係数行列,列ベクトルを用いた行列の表し方,成分が複素数のベクトルと行列 行列の和 行列のスカラー倍 -Aの定義 行列の差 行列の積 行列の計算則 単位行列 零行列 正方行列 転置行列 対称行列 直交行列 ■線形変換 ベクトル空間(線形空間) n次元ベクトル空間 内積,成分が複素数の場合の内積 ベクトルの長さ(大きさ,絶対値) ベクトルの直交性 線形写像 線形写像の合成 単射・全射・全単射 1次変換 1次結合 回転行列 3次元の回転行列(x軸まわり) 1次独立と1次従属 n 個の n 次元列ベクトルが1次独立であるための必要十分条件 n 個の n 次元列ベクトルが1次従属であるための必要十分条件 部分空間
EigenはC++で書かれた線形代数ライブラリである。特徴の一つとして、式の実装にtemplate機能を活用している点があり、これにより 遅延評価 (lazy evaluation) を実現している。遅延評価を適切に使うことで、計算コストを削減できることがある。 Eigen Eigenの遅延評価については公式ドキュメントの次のページが詳しいため、本記事では厳密性・網羅性よりも概要の理解しやすさを重視する。 Eigen: Lazy Evaluation and Aliasing なお、以下のコード例では using namespace Eigen; が暗黙的に実行されているとする。 Eigenにおける遅延評価 演算の返り値の型に注目する 行列を表す MatrixXd 型の変数 a があり、その転置を表現するために MatrixXd a = ...; ... = a.transpose();
最近、「リーマン面」の勉強が「微分形式」の章に差し掛かりました。接ベクトル空間という線形空間や、その双対空間が出てきてまさに線形代数になっています。そんなわけで線形代数の復習として、以下の事実を示したいと思います。 斎藤毅先生の「線形代数の世界」の命題2.13から。 命題2.13(斎藤「線形代数の世界」) を -線形空間とする。 を の基底とし、 とする。 このとき、線形写像 で、 を満たすものがただ一つ存在する。 まずは、主張の確認をしていこうと思います。 は線形空間なので、基底というベクトルの組 がとれます。これによって、任意のベクトル は () のように一意的に表せるわけですね。 さて、 から への線形写像というのは、任意の の元 に対してその値 が定められていて、かつ、線形性なる条件を満たしているものです。 線形性とは、任意の と に対して次が成り立つことを指します: というわけで
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