測度論 [measure theory] / ルベーグ積分 [Lebesgue integral] 測度論とルベーグ積分に関して勉強したことをまとめたマイノート(忘備録)です。 目次 [Contents] 概要 複雑な関数の積分で生じる問題(リーマン積分の問題点) ルベーグ積分の視点 縦割り分割から横割り分割へ 面積の分割に対しての加法性 測度に基づく積分 ルベーグ積分を導入することでのメリット 測度の構成方法 1次元ルベーグ積分の構成方法 σ-加法族を定義域とする測度 σ-加法族(完全加法族) 測度、測度空間 可測性(可測関数、可測集合、可測空間) 単関数 ルベーグ積分(可測関数の積分) 可積分、可積分関数 有限加法的測度(ジョルダン測度)とそれが誘導する外測度 面積の過大評価と過小評価(内面積、外面積) 有限加法的測度(ジョルダン測度) 集合の分割 半加法族 有限加法的測度(ジョルダン
電磁気学やベクトル解析の講義で「ガウスの定理」や「ストークスの定理」「グリーンの定理」という法則を習ったと思います。これらの法則は一見別々のものに見えますが、微分形式を用いるとこれらの法則を統一的に扱えるという素敵なお話を紹介したいと思います。 最近、この話を理解して楽しくなってしまって、自分なりにまとめてみたくなりました。よろしければお付き合いください。 今回の予備知識としては、以下の記事の2章ぐらいまでを読んでおくといいかと思います。 tsujimotter.hatenablog.com また、「ガウスの定理」や「ストークスの定理」等の定理の主張は知っているものとして進めます。 今日最初に考えたいのは、グリーンの定理です。 グリーンの定理 平面内に(単純閉)曲線 で囲まれた(単連結な)領域 があるとき,次の公式が成り立つ: ただし,線積分 は, 上を反時計まわりの方向に積分する. この
線形回帰〈linear regression〉とは、未知の線形写像を、幾つかの入力とそれに対する出力の組合せから推定する手法です。 例えば、中学校で習う1次関数 f(x) = ax + b に対して、2つの異なる入力x1とx2を渡して、その値を見ます。 y1 = f(x1) = ax1 + b y2 = f(x2) = ax2 + b この状況で、x1, x2, y1, y2 はすべて定数となるので、a, bを未知数として連立1次方程式を解けばa, bが求まります。つまり、未知の1次関数fが確定します。 1次関数に確率的な揺らぎeが加わるならば、次の形になります。 f(x) = ax + b + e eは揺らぎ(法則的不確実性)を表す確率分布です。この場合は、同じ値をfに複数回入力するとき、試行の度に出力が変わるかもしれません。単純に連立方程式を解くだけでなく、なんらかの工夫が要求されます
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