中心化群と正規化群

数学、とくに群論において、群

G

の部分集合

S

の中心化群 (英: centralizer) とは、

S

の各元と可換な

G

の元全体からなる集合であり、

S

の正規化群 (normalizer) とは、﹁全体で﹂

S

と可換な

G

の元全体からなる集合である。

S

の中心化群と正規化群は

G

の部分群であり、

G

の構造について知る手掛かりを得られる。

定義

群

G

の部分集合

S

の中心化群 (centralizer) は次で定義される^[1]。

{\displaystyle \mathrm {C} _{G}(

文脈から群

G

が明らかなときには、表記

C G (S)

から

G

を省くことがある。また

S

が単集合

{a

} のときには中心化群

C G

({a})

は

C G (a)

と略記される。この中心化群の別の表記として

Z (a)

もあるが、これはあまり一般的でなく、群の中心の表記と同じになってしまう。この表記では、群

G

の中心

Z (G)

と元

g \in G

の中心化群

Z (g)

とを混同しないよう注意しなければならない。群

G

における

S

の正規化群 (normalizer) は次で定義される。

{\displaystyle \mathrm {N} _{G}(

中心化群の定義と似ているが同じではない。

g

が

S

の中心化群の元で

s

が

S

の元であれば、

gs = sg

でなければならないが、

g

が正規化群の元であれば、

s

とは異なってもよい

t \in S

に対して

gs = tg

である。中心化群のときに述べた、

G

を省いたり単集合のときにブレース︵中括弧︶を省いたりする記法は、正規化群の表記に対しても同じく適用される。

S

の正規化群を

S

の正規包︵英語版︶ (normal closure) すなわち、

S

の生成する正規部分群

⟨ ⟨ S ⟩ ⟩

と混同してはならない。

性質

下記の性質は Isaacs 2009, Chapters 1−3 による。 ●

S

の中心化群と正規化群はともに

G

の部分群である。 ●明らかに、

C G (S) \subseteq N G (S)

である。実は、

C G (S)

は必ず

N G (S)

の正規部分群である。 ●

C G (C G (S))

は

S

を含むが、

C G (S)

は

S

を含むとは限らない。

S

のすべての元

s, t

に対して

st = ts

であれば含む。なのでもちろん

H

が

G

の可換な部分群であれば

C G (

H)

は

H

を含む。 ●

S

が

G

の部分半群であれば、

N G (S)

は

S

を含む。 ●

H

が

G

の部分群であれば、

H

を正規部分群として含むような最大の

G

の部分群が

N G (H)

である。 ●元

a \in G

の属する共役類の大きさと中心化群の指数

[G :

C G (a)]

は等しい。 ●群

G

の部分群

H

と共役な部分群の数と正規化群の指数

[G :

N G (H)]

は等しい。 ●

G

の部分群

H

は、

N G (H) = H

であるときに、

G

の自己正規化部分群 (self-normalizing subgroup) と呼ばれる。 ●

G

の中心はちょうど

C G (G)

であり、

G

がアーベル群であることと

C G (G) = Z (G) = G

は同値である。 ●単集合に対して、

C G (a) = N G (a)

である。 ●対称性により、

S

と

T

が

G

の2つの部分集合であれば、

T \subseteq

C G (S)

と

S \subseteq C G (T)

は同値である。 ●群

G

の部分群

H

に対して、N/C定理 (N/C theorem) は、剰余群

N G (H) / C G (H)

は

H

の自己同型群

A u t (H)

の部分群に同型であるという定理である。

N G (G)

= G

および

C G (G) = Z (G)

であるから、N/C theorem は、

G / Z (G)

は、G のすべての内部自己同型からなる、

A u t (G)

の部分群

I n n (G)

に同型であるということも意味している。 ●群準同型

T : G \to I n n (G)

を

T (x) (g) = T

x (g) = x g x - 1

によって定義すれば、

N G (S)

と

C G (S)

を

I n n (G)

の

G

への群作用の言葉によって記述できる‥

S

の

I n n (G)

における安定化群は

T (N G

(S))

であり、

S

を固定する

I n n (G)

の部分群は

T

(C G (S))

である。

脚注

^ Jacobson (2009), p. 41

参考文献

Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: A Graduate Course, Graduate Studies in Mathematics, 100 (reprint of the 1994 original ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, pp. xii+516, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR2472787
Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra, I (second ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

中心化群と正規化群

目次

定義

性質

脚注

参考文献

関連項目