元 (数学)
集合論において、集合を構成する明確なオブジェクトのうちの1つ
概要
編集素朴な説明
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集合の歴史的な定義は、Cantor (1895, p. 481)[7] によれば
集合 Mとは我々の直観や思考からくる対象︵これを Mの元と言う︶の集まりの、その全体のことを言う
と述べられる。
このある種で漠然とした定義においても、直観的な集合論を展開することはできる。
定義
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形式論理に基づく現代的な集合論は、︵相等関係 = 以外に︶一つの述語記号︵二項述語 ∈︶を含む一階述語論理で記述される[8]。
そのような記述法の下で、文﹁x は Mの元である﹂は
という式に翻訳される。
ハウスドルフは、このような記述自身は元からある概念を元にして定義を構成するような手法でないことを注意している(Hausdorff 1957, p. 11):
« on pourra objecter qu'on a défini idem per idem voire obscurum per obscurius. Il faut considérer qu'il n'y a pas là une définition mais un procédé d'exposition, une référence à un concept primitif familier à tous (...) »[9]
集合と類
編集元素
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最もよく用いられる ZFC 集合論では全ての元がそれ自身集合として実現されるが、別の集合論では必ずしもそうではない。集合の元であって、かつそれ自身は集合として実現されないような元を原子 (atom) あるいは urelement︵根源的元/原要素/原始元/基本元素) と呼ぶ。
そのような場合においては、必ずしも集合でないような対象に対しても、考えている数学的体系に属する対象であることを以って﹁元﹂と呼ぶ方が自然である。数、点、函数など︵これらは集合として実現できる︶と言った従来の数学的体系の殆どに加えて、星、分子、カエルなどもその体系における﹁元﹂ということになる[10]。
代数系の特定の元
編集代数系の研究においては、その代数的構造に特徴的な性質を持つ代表的な元に特定の名前を付けるのが有用である。例えば、単位元、可逆元、吸収元など。
関連項目
編集注釈
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(一)^ これは﹁である﹂に相当するギリシャ語の動詞 ἐστί に現れる最初の文字 ε に由来するが[3]、
や
とは字形が異なる[4]。
(二)^ ﹁含む﹂﹁含まれる﹂などの語は集合の包含関係などにも用いるため紛らわしい︵赤摂也は部分集合として含む、含まれるという代わりに﹁包む﹂﹁包まれる﹂とすることを提唱した[5]︶。包含関係は帰属関係を用いて ﹁集合 Aが集合 Bに含まれる﹂ :⇔ ﹁A の任意の元が Bの元として属す﹂ と定めることができる。
(三)^ が、特定の集合からなる部分類の上に限れば推移的となり得る。よく知られる例としては順序数全体の成す類がある。
(四)^ 少なくとも、 {1, 2} ≠ 1, {1, 2} ≠ 2, {1, 2} ≠ 3, {3} ≠ 1, {3} ≠ 2, {3} ≠ 3 などが証明できる。
出典
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(一)^ 髙木貞治﹃数の概念﹄岩波書店、1949年8月20日。
(二)^ Hans Freudenthal, « Notation mathématique », Dictionnaire des mathématiques – fondements, probabilités, applications, Encyclopædia Universalis et Albin Michel, Paris 1998.
(三)^ 山下正男﹃論理学史﹄岩波書店︿岩波全書﹀、1983年、102頁。
(四)^ Toth, Gabor (2021). Elements of Mathematics. Springer. ISBN 978-3-030-75051-0
(五)^ 松坂和夫﹃集合・位相入門﹄岩波書店、1968年。ISBN 978-4000054249。
(六)^ L. シュヴァルツ 著、齋藤正彦 訳﹃解析学1︵集合・位相︶﹄東京図書、1970年、1頁。全国書誌番号:69022664。
(七)^ (de) Georg Cantor, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Leipzig, Teubner, 1894-1895, page 481 [Lire en ligne sur Gallica (page consultée le 14 avril 2009)]
(八)^ Voir René Cori および Daniel Lascar, Logique mathématique II. Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles [détail des éditions], chapitre 7, p. 113-114 notamment
(九)^ (en) Felix Hausdorff, Set theory, AMS Chelsea Publishing, 1957 (rééd. 2000) (1937 pour l'édition allemande) (ISBN 0821838350),
(十)^ Ces trois suggestions sont proposées par (en) Yiannis Moschovakis, Notes on set theory, Springer, (ISBN 9780387287232) p. 29.
関連文献
編集- 『岩波数学入門辞典』(岩波書店、2005年) ISBN 978-4-000-80209-3
- 『新数学事典』(大阪書籍、1991年) ISBN 978-4-754-84006-8