同型定理
歴史
編集群
編集まず群の文脈において4つの同型定理を述べる。
定理の付番と命名について
編集以下に示す4つの定理はしばしば「第一同型定理」「第二同型定理」⋯⋯と番号を用いた名前で呼ばれるが、文献によってその順番はまちまちである。以下の表に文献ごとの群同型定理の付番の例を示す。なお、これらの定理にはそれぞれ環と加群にも対応する定理が存在することに注意されたい。
分類 | 筆者 | 定理1 | 定理2 | 定理3 |
---|---|---|---|---|
「第三」なし | Jacobson[1] | 準同型の基本定理
(Fundamental theorem of homomorphisms) |
第二同型定理
(Second isomorphism theorem) |
第一同型定理
(First isomorphism theorem) |
van der Waerden,[2] Durbin[4] | 準同型の基本定理
(Fundamental theorem of homomorphisms) |
第一同型定理
(First isomorphism theorem) |
第二同型定理
(Second isomorphism theorem) | |
Knapp[5] | (対応なし) | 第二同型定理
(Second isomorphism theorem) |
第一同型定理
(First isomorphism theorem) | |
Grillet[6] | 準同型定理
(Homomorphism theorem) |
第二同型定理
(Second isomorphism theorem) |
第一同型定理
(First isomorphism theorem) | |
「第三」あり | (Other convention per Grillet) | 第一同型定理
(First isomorphism theorem) |
第三同型定理
(Third isomorphism theorem) |
第二同型定理
(Second isomorphism theorem) |
Rotman[7] | 第一同型定理
(First isomorphism theorem) |
第二同型定理
(Second isomorphism theorem) |
第三同型定理
(Third isomorphism theorem) | |
Fraleigh[8] | (対応なし) | 第二同型定理
(Second isomorphism theorem) |
第三同型定理
(Third isomorphism theorem) | |
Dummit & Foote[9] | 第一同型定理
(First isomorphism theorem) |
第二同型定理、もしくは菱形同型定理
(Second or Diamond isomorphism theorem) |
第三同型定理
(Third isomorphism theorem) | |
番号なし | Milne[10] | 準同型定理
(Homomorphism theorem) |
同型定理
(Isomorphism theorem) |
対応定理
(Correspondence theorem) |
Scott[11] | 準同型定理
(Homomorphism theorem) |
同型定理
(Isomorphism theorem) |
一年生定理
(Freshman theorem) |
一般的ではないものの、これらに対応定理を4番目の定理として加えることがあり、「第四同型定理」あるいは「束定理」と呼ばれる。
定理のステートメント
編集定理1
編集定理2
編集定理3
編集定理4
編集一部の文献では対応定理を三番目もしくは四番目の同型定理として紹介している。また別の文献ではツァッセンハウスの補題(英語: Zassenhaus lemma)を第四同型定理としている[12]。
議論
編集環
編集環に対する定理のステートメントも同様であり、正規部分群の概念がイデアルの概念に取って代わる。
定理1
編集定理2
編集定理3
編集加群
編集定理1
編集定理2
編集定理3
編集一般
編集これを普遍代数学に一般化するために、正規部分群は合同で置き換えられる必要がある。
代数系 A 上の合同 (congruence) は成分ごとの演算構造を与えられた A × A の部分代数系である同値関係 Φ である。演算を表現を経由して定義することによって同値類の集合 A/Φ を同じタイプの代数系にできる。Φ は A × A の部分代数系だからこれは well-defined である。
定理1
編集f: A → B を代数系の準同型とする。このとき f の像は B の部分代数系で、Φ: f(x) = f(y) で与えられる関係は A 上の合同で、代数系 A/Φ と im f は同型である。
定理2
編集定理3
編集A を代数系とし Φ, Ψ を A 上の2つの合同関係で Ψ ⊆ Φ とする。このとき
- Φ/Ψ ≔ {([a′]Ψ, [a″]Ψ) | (a′, a″) ∈ Φ} = []Ψ ∘ Φ ∘ []−1
Ψ は A/Ψ の合同で、 - A/Φ は (A/Ψ)/(Φ/Ψ) に同型である。
関連項目
編集- ツァッセンハウスの補題(蝶の補題, 胡蝶補題): 第四同型定理 (the fourth isomorphism theorem) と呼ばれることもある
- 対応定理: 第四同型定理と呼ばれることもある
- 分裂補題: 定理1の分裂列に対する精密化
脚注
編集- ^ Jacobson (2009), sec 1.10
- ^ van der Waerden, Algebra (1994).
- ^ Durbin (2009), sec. 54
- ^ [the names are] essentially the same as [van der Waerden 1994][3]
- ^ Knapp (2016), sec IV 2
- ^ Grillet (2007), sec. I 5
- ^ Rotman (2003), sec. 2.6
- ^ Fraleigh (2003), Chap. 34
- ^ Dummit, David Steven (2004). Abstract algebra. Richard M. Foote (Third ed.). Hoboken, NJ. pp. 97-98. ISBN 0-471-43334-9. OCLC 52559229
- ^ Milne (2013), Chap. 1, sec. Theorems concerning homomorphisms
- ^ Scott (1964), secs 2.2 and 2.3
- ^ Wilson, Robert A. (2009). The Finite Simple Groups. Graduate Texts in Mathematics 251. Springer-Verlag London. p. 7. doi:10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-4471-2527-3
参考文献
編集- Emmy Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen 96 (1927) p. 26-61
- Colin McLarty, 'Emmy Noether’s ‘Set Theoretic’ Topology: From Dedekind to the rise of functors' in The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy (edited by Jeremy Gray and José Ferreirós), Oxford University Press (2006) p. 211–35.
- Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 2 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
- Paul M. Cohn, Universal algebra, Chapter II.3 p.57
- Milne, James S. (2013), Group Theory, 3.13
- van der Waerden, B. I. (1994), Algebra, 1 (9 ed.), Springer-Verlag
- Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract algebra. Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7
- Burris, Stanley; Sankappanavar, H. P. (2012). A Course in Universal Algebra. ISBN 978-0-9880552-0-9
- W. R. Scott (1964), Group Theory, Prentice Hall
- John R. Durbin (2009). Modern Algebra: An Introduction (6 ed.). Wiley. ISBN 978-0-470-38443-5
- Anthony W. Knapp (2016), Basic Algebra (Digital second ed.)
- Pierre Antoine Grillet (2007), Abstract Algebra (2 ed.), Springer
外部リンク
編集- First isomorphism theorem - PlanetMath.org . Proof of first isomorphism theorem - PlanetMath.org
- Second isomorphism theorem - PlanetMath.org . Proof of second isomorphism theorem - PlanetMath.org
- Third isomorphism theorem - PlanetMath.org . Proof of third isomorphism theorem - PlanetMath.org
- Hutzler, Nick. "First Group Isomorphism Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
- Hutzler, Nick. "Second Group Isomorphism Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
- Hutzler, Nick. "Third Group Isomorphism Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
- Hutzler, Nick. "First Ring Isomorphism Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
- Hutzler, Nick. "Second Ring Isomorphism Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
- Hutzler, Nick. "Third Ring Isomorphism Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).