規格化

規格化 (きかくか、英: normalization) とは、ある空間で粒子が一つ存在し、それを記述する波動関数をΨとすると、Ψのノルムに関して、

$\int |\Psi |^{2}d\mathbf {r} =1$$\int |\Psi |^{2}d\mathbf {r} =1$
とすることである。正規化とも言う。積分は当該粒子の存在する全空間に対して行われる。積分の範囲は、その粒子のなす系に課された境界条件によって変わる。一つの例として周期的境界条件に基づく結晶格子では、以下のようにその単位胞内で規格化のための積分が行われる。

$\int _{V_{cell}}|\Psi |^{2}d\mathbf {r} =1$$\int _{V_{cell}}|\Psi |^{2}d\mathbf {r} =1$
ここで、V_cell は単位胞の体積である。

直交座標系を考えて、r=(x,y,z) とし、更に時間tも考えると、一粒子の波動関数は $\Psi =\Psi (x,y,z,t)=\Psi (\mathbf {r} ,t)$$\Psi =\Psi (x,y,z,t)=\Psi (\mathbf {r} ,t)$で表され、これは、

$\int |\Psi |^{2}d\mathbf {r} =\int |\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d\mathbf {r} =1$$\int |\Psi |^{2}d\mathbf {r} =\int |\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d\mathbf {r} =1$
と規格化される。これは、ある時刻ｔで粒子が位置 rでの微小な領域dr(=dxdydz) に存在する確率が、$|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d\mathbf {r}$$|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d\mathbf {r}$ であることを示している。それを全空間︵粒子の存在しうる全領域︶で積分すれば、確率の総和は1となる必要がある。この要請を満たすために規格化を行う。実際の数値計算等で求められる波動関数は、そのままでは上記の積分が1となる保証はないので、積分値が1となるように規格化される。

デルタ関数による規格化

実際の量子論では、自乗積分が∞に発散するような関数を扱うことも多い。

$\int |\psi _{k}(\mathbf {r} ,t)|^{2}d\mathbf {r} =\infty$ 

その場合は、次のようなデルタ関数による規格化を許している。

$\int \psi _{k}^{*}(\mathbf {r} ,t)\psi _{k'}(\mathbf {r} ,t)d\mathbf {r} =\delta (k-k')$ 

この場合における$|\psi _{k}(\mathbf {r} ,t)|^{2}$ は、ある時刻ｔで位置$\mathbf {r}$ の測定をした時の確率密度$p(\mathbf {r} ,t)$ ではなく、次のように相対確率を表す。

$p(\mathbf {r} ,t)\neq |\psi _{k}(\mathbf {r} ,t)|^{2}$

$p(\mathbf {r} ,t)\varpropto |\psi _{k}(\mathbf {r} ,t)|^{2}$