零因子

抽象代数学において、環の零因子︵れいいんし、英: zero divisor︶とは、環の乗法において、

零以外の元と掛けたのに零となるような積が、少なくとも一つ存在する

ような元のことである。 これは環の乗法における因子の特別な場合である。

定義

環 $R$  の元 $a$  は、$ax=0$  となる $x\neq 0$  が存在するとき、すなわち

$\exists x\in R\smallsetminus \{0\}:ax=0$ 

を満たすときに左零因子︵ひだりれいいんし、ひだりぜろいんし、英: left zero divisor︶と呼ばれる。この定義では非零元の存在を要求するから、自明な環における0は零因子ではないが、自明な環以外では、0は必ず零因子となる。

また、この定義は、x を axに送る Rから Rへの写像が単射でないことと同値である。同様に、環の元 aが右零因子とは、ある y≠ 0 が存在して ya= 0 となることである。

左または右零因子である元は単に零因子と呼ばれる。左かつ右零因子である元 aは両側零因子︵two-sided zero divisor︶と呼ばれる︵ax = 0 となる零でない xは ya= 0 となる零でない yとは異なるかもしれない︶。環が可換であれば左零因子と右零因子は同じである。

環の零因子でない元は正則である︵regular︶または非零因子︵non-zero-divisor︶と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子︵nonzero zero divisor︶または非自明な零因子︵nontrivial zero divisor︶と呼ばれる。

参考文献

• Bourbaki, N. (1989), Algebra I, Chapters 1–3, Springer-Verlag .
• Lanski, C. (2005), Concepts in Abstract Algebra, American Mathematical Soc. 

関連項目

• 零元