高々 (数学)

数学において、高々︵たかだか︶という表現は、英語の at most に対応した厳密な意味を持つ学術用語である。 ﹁多くとも﹂、﹁以下﹂と同義であるが、文脈によってはこれらよりも好まれる場合もある。

意味

例えば、﹁xは高々2である﹂という表現は﹁xは多くとも2である﹂こと、すなわち﹁x≦2﹂を意味する。同様に﹁高々可算(at most countable)﹂は﹁有限個︵1つもないというケースを含む︶または可算無限個である﹂ということを意味する。これについては通常﹁可算以下﹂といった表現はしない。単に﹁可算﹂と言った場合も、数え上げることができるという意味で﹁高々可算﹂と同じ意味である場合もあるが、﹁可算﹂が可算無限のみを意味する場合もあるので、有限個でもよいということを明確に示したい場合に﹁高々可算﹂という表現が好まれる。

また、﹁高々有限個﹂は﹁有限個あるいは0個﹂であることを意味する。0も有限の値であるから、単に﹁有限個﹂あるいは﹁無限個ではない﹂と言うのと同じ意味であるが、0個の場合もあるということを明確に示したい場合に﹁高々有限個﹂という表現が好まれる。

使用例

• 体上の n 次方程式の解は、高々 n 個である。
• 有界な関数 (a, b) → R がリーマン可積分であるための必要十分条件は、不連続点が高々可算個であることである。

日常語との差異

日常語での「高々」は、「あまり多くはない」というニュアンスを持つが、数学における「高々」は、「高々可算」の用例があるように無限に存在する場合でさえ用いられ、否定的なニュアンスはほとんどない。また、日常語ではそのニュアンスを重視するため、数学における厳密な意味を持たない場合もある。例えば、1000人収容の会場に「客は高々100人だろう」と予想したとして、実際の客の入りが101人であれば、日常的には非常によい予想だったと受け止められるが、数学的には偽の命題とされる。逆に、「今日の最高気温は高々28℃だろう」と予想したとして、実際の最高気温が30℃であれば、日常的にも数学的にも、ともに偽の命題とされる。

関連項目

• 違いを除いて
• ほとんど (数学)