Fσ集合
性質
編集可算個の Fσ-集合の合併はまた Fσ-集合であり、有限個の Fσ-集合の交わりはふたたび Fσ-集合を成す(Fσ-集合の可算交叉は Fσδ-集合という)。
例と反例
編集
●任意の閉集合は明らかにFσ-集合である。
●有理数全体の成す集合 Qは実数全体の成す集合 RのFσ-集合である。無理数全体の成す集合 P= R∖ Qは RのFσ-集合ではない。
●チホノフ空間において、一点集合 {x} は閉集合となるから、任意の高々可算な集合はFσ-集合になる。
●距離化可能空間においては、任意の開集合がFσ-集合になり、また任意の閉集合がGδ-集合になる。
座標平面 R2上の点 (x, y) で x/y が有理数となるようなもの全体の成す集合 AはFσ-集合である。これは Aが原点を通り、傾きが有理数であるような直線の和
として書けることによる。ここで有理数全体の成す集合 Qが可算集合であることに注意。
参考文献
編集- John L. Kelley, General topology, van Nostrand, 1955.
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR507446