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原 文 と 比 べ た 結 果 、 こ の 記 事 に は 多 数 の ︵ ま た は 内 容 の 大 部 分 に 影 響 あ る ︶ 誤 訳 が あ る こ と が 判 明 し て い ま す 。 情 報 の 利 用 に は 注 意 し て く だ さ い 。 正 確 な 表 現 に 改 訳 で き る 方 を 求 め て い ま す 。
ア ル テ ィ ン の 相 互 法 則 ま た は ア ル テ ィ ン 相 互 律 ︵ ア ル テ ィ ン そ う ご り つ 、 英 : A r t i n r e c i p r o c i t y l a w ︶ と は 、 一 連 の 論 文 E m i l A r t i n ( 1 9 2 4 , 1 9 2 7 , 1 9 3 0 ) で 確 立 さ れ た 、 大 域 類 体 論 の 中 心 的 部 分 を 形 作 る 数 論 の 一 般 的 定 理 で あ る [ 1 ] 。 ﹁ 相 互 法 則 ﹂ と い う 用 語 は 、 平 方 剰 余 の 相 互 法 則 や ゴ ッ ト ホ ル ト ・ ア イ ゼ ン シ ュ タ イ ン や エ ル ン ス ト ・ ク ン マ ー か ら 、 ダ フ ィ ッ ト ・ ヒ ル ベ ル ト の ノ ル ム 剰 余 記 号 ︵ 英 語 版 ︶ の 積 公 式 へ 至 る 法 則 を 一 般 化 し 、 よ り 具 体 的 な 数 論 の 命 題 と し た 法 則 で あ る 。 ア ル テ ィ ン の 結 果 は 、 ヒ ル ベ ル ト の 第 9 問 題 ︵ 英 語 版 ︶ へ の 部 分 的 解 答 と な っ て い る 。
定 理 の 主 張 [ 編 集 ]
K を 大 域 体 と し L を そ の ガ ロ ア 拡 大 と す る 。 C L で L の イ デ ー ル 類 群 を あ ら わ す 。 ア ル テ ィ ン の 相 互 法 則 の 主 張 の 一 つ は 、 大 域 相 互 写 像 、 大 域 ア ル テ ィ ン 記 号 な ど と 呼 ば れ る 標 準 的 な 同 型 写 像
θ
:
C
K
/
N
L
/
K
(
C
L
)
→
Gal
(
L
/
K
)
ab
{\displaystyle \theta \colon C_{K}/{N_{L/K}(C_{L})}\to \operatorname {Gal} (L/K)^{\text{ab}}}
の 存 在 で あ る 。
こ の 写 像 は 、 K の 各 素 点 v ご と に 定 ま る 局 所 ア ル テ ィ ン 記 号 、 局 所 相 互 写 像 あ る い は ノ ル ム 剰 余 記 号 ︵ 英 語 版 ︶ と 呼 ば れ る 写 像 の 族
θ
v
:
K
v
×
/
N
L
v
/
K
v
(
L
v
×
)
→
G
ab
{\displaystyle \theta _{v}\colon K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v}}(L_{v}^{\times })\to G^{\text{ab}}}
を ひ と ま と め に し た も の と し て 定 義 さ れ る 。 よ り 精 確 に 、 θ は イ デ ー ル 類 の v - 成 分 上 で 定 義 さ れ た 局 所 写 像 θ v に よ っ て 与 え ら れ る 。 こ の 写 像 θ v は 同 型 で あ る と い う の が 局 所 相 互 律 、 す な わ ち 局 所 類 体 論 の 主 定 理 の 内 容 で あ っ た 。
重 要 性 [ 編 集 ]
ア ル テ ィ ン 相 互 法 則 は 大 域 体 K の 絶 対 ガ ロ ア 群 の ア ー ベ ル 化 を ハ ッ セ の 局 所 ・ 大 域 原 理 や フ ロ ベ ニ ウ ス 元 に 基 づ い て 記 述 す る と い う も の で あ る 。 高 木 の 存 在 定 理 と あ わ せ る こ と で K の ア ー ベ ル 拡 大 の よ う す や 、 そ こ で の 素 数 の 振 る 舞 い を 理 解 す る こ と が で き る 。 従 っ て 、 ア ル テ ィ ン 相 互 法 則 は 、 大 域 類 体 論 の 主 要 な 定 理 の ひ と つ で あ る 。 ア ル テ ィ ン 相 互 法 則 は 、 ア ル テ ィ ン の L - 函 数 が 有 理 型 で あ る こ と の 証 明 や 、 チ ェ ボ タ レ フ の 密 度 定 理 の 証 明 に 使 わ れ る 。
ア ル テ ィ ン は 、 一 般 相 互 法 則 の 出 版 の 2 年 後 、 シ ュ ー ア の 移 送 準 同 型 ︵ 英 語 版 ︶ を 再 発 見 し た 。 相 互 法 則 を 用 い る こ と に よ り 、 代 数 体 の イ デ ア ル 類 の 単 項 化 問 題 ︵ 英 語 版 ︶ を 、 有 限 非 ア ー ベ ル 群 の 移 送 準 同 型 の 核 を 決 定 す る と い う 群 論 の 問 題 に 翻 訳 し た 。 [ 7 ]
大 域 体 の 有 限 次 拡 大 [ 編 集 ]
ア ル テ ィ ン 写 像 は 、 素 イ デ ア ル と フ ロ ベ ニ ウ ス 元 を 用 い て 具 体 的 に 記 述 さ れ る 。
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
を K の 素 イ デ ア ル と す る と 、
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
上 の 素 イ デ ア ル
P
{\displaystyle {\mathfrak {P}}}
の 分 解 群 は 、 ガ ロ ア 群 が ア ー ベ ル 的 で あ る の で
P
{\displaystyle {\mathfrak {P}}}
の と り か た に よ ら ず G a l ( L / K ) に お い て 等 し い 。
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
が L で 不 分 岐 で あ れ ば 、 分 解 群
D
p
{\displaystyle D_{\mathfrak {p}}}
は 、 剰 余 体
O
K
,
p
/
p
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}/{\mathfrak {p}}}
の 拡 大
O
L
,
P
/
P
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L,{\mathfrak {P}}}/{\mathfrak {P}}}
の ガ ロ ア 群 に 標 準 的 に 同 型 で あ る 。 従 っ て 、
F
r
o
b
p
{\displaystyle \mathrm {Frob} _{\mathfrak {p}}}
も し く は
(
L
/
K
p
)
{\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)}
と 書 か れ る G a l ( L / K ) の フ ロ ベ ニ ウ ス 元 を 剰 余 体 の ガ ロ ア 群 の フ ロ ベ ニ ウ ス 元 の も ち あ げ と し て 標 準 的 に 定 義 す る こ と が で き る 。 Δ で L / K の 相 対 判 別 式 ︵ 英 語 版 ︶ ( r e l a t i v e d i s c r i m i n a n t ) 表 す と す る 。 L / K の ア ル テ ィ ン 記 号 ︵ あ る い は 、 ア ル テ ィ ン 写 像 、 大 域 相 互 写 像 ︶ は 、 上 の フ ロ ベ ニ ウ ス 元 の 定 義 を 線 型 に 拡 張 し た も の と し て 素 イ デ ア ル と Δ の 分 数 イ デ ア ル 群
I
K
Δ
{\displaystyle I_{K}^{\Delta }}
の 上 に 定 義 さ れ る 。
(
L
/
K
⋅
)
:
I
K
Δ
⟶
G
a
l
(
L
/
K
)
∏
i
=
1
m
p
i
n
i
↦
∏
i
=
1
m
(
L
/
K
p
i
)
n
i
.
{\displaystyle {\begin{matrix}\left({\frac {L/K}{\cdot }}\right):&I_{K}^{\Delta }&\longrightarrow &\mathrm {Gal} (L/K)\\&\displaystyle {\prod _{i=1}^{m}{\mathfrak {p}}_{i}^{n_{i}}}&\mapsto &\displaystyle {\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {L/K}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)^{n_{i}}.}\end{matrix}}}
ア ル テ ィ ン 相 互 法 則 ( も し く は 大 域 相 互 法 則 ) は 、 K の モ ジ ュ ラ ス ︵ 英 語 版 ︶ c が 存 在 し 、 ア ル テ ィ ン 写 像 が 同 型
I
K
c
/
ι
(
K
c
,
1
)
N
L
/
K
(
I
L
c
)
→
∼
Gal
(
L
/
K
)
{\displaystyle I_{K}^{\mathbf {c} }/\iota (K_{\mathbf {c} ,1})\operatorname {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathbf {c} }){\overset {\sim }{{}\to {}}}\operatorname {Gal} (L/K)}
を 引 き 起 こ す と い う 法 則 で あ る 。 こ こ に K c , 1 は c を 法 と す る 射 線 全 体 ︵ 英 語 版 ︶ 、
ι
:
K
×
→
I
K
{\textstyle \iota :K^{\times }\to I_{K}}
は 単 項 分 数 イ デ ア ル に 送 る 写 像 、 N L / K は L / K に 付 随 す る ノ ル ム 写 像 、 I c
L は L の c と 素 な 分 数 イ デ ア ル で あ る 。 そ の よ う な モ ジ ュ ラ ス c は L / K の 定 義 モ ジ ュ ラ ス と 呼 ば れ る 。 最 小 な 定 義 モ ジ ュ ラ ス を L / K の 導 手 と い い 、 典 型 的 に は
f
(
L
/
K
)
{\textstyle {\mathfrak {f}}(L/K)}
と 書 く 。
二 次 体 [ 編 集 ]
d
≠
1
{\displaystyle d\neq 1}
を 平 方 因 子 を 持 た な い 整 数 と し 、 K = Q 、
L
=
Q
(
d
)
{\displaystyle \scriptstyle L=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}
と す る と 、 ガ ロ ア 群 G a l ( L / Q ) は { ± 1 } と 同 一 視 さ れ る 。 Q 上 の L の 判 別 式 Δ は 、 d ≡ 1 ( m o d 4 ) な ら ば d 、 そ う で な い な ら ば 4 d と な る 。 従 っ て 、 ア ル テ ィ ン 写 像 は Δ を 割 ら な い よ う な 素 数 p に た い し
p
↦
(
Δ
p
)
{\displaystyle p\mapsto \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}
と 定 義 さ れ る 。 こ こ に
(
Δ
p
)
{\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}
は ク ロ ネ ッ カ ー の 記 号 ︵ 英 語 版 ︶ ( K r o n e c k e r s y m b o l ) で あ る [ 8 ] 。 さ ら に 具 体 的 に は 、 L / Q の 導 手 は 、 Δ が 正 な ら ば ( Δ ) 、 負 で あ れ ば ( Δ ) ∞ で あ り [ 9 ] 、 分 数 イ デ ア ル 群 ( n ) 上 の ア ル テ ィ ン 写 像 は ク ロ ネ ッ カ ー の 記 号
(
Δ
n
)
{\displaystyle \left({\frac {\Delta }{n}}\right)}
に よ り 与 え ら れ る 。 こ の こ と か ら 、 素 数 p が L で 分 解 す る か 否 か は 、
(
Δ
p
)
{\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}
が 1 で あ る か 、 − 1 で あ る か に 従 う 。
円 分 体 [ 編 集 ]
m ( > 1 ) を 奇 数 か も し く は 、 4 の 倍 数 と し 、 ζ m を 1 の 原 始 m 乗 根 と し 、 L = Q ( ζ m ) を m 次 の 円 分 体 と す る 。 ガ ロ ア 群 G a l ( L / Q ) は ( Z / m Z ) × と 次 の 写 像 に よ っ て 同 一 視 す る こ と が で き る 。 σ を
σ
(
ζ
m
)
=
ζ
m
a
σ
.
{\displaystyle \sigma (\zeta _{m})=\zeta _{m}^{a_{\sigma }}.}
に よ り 与 え ら れ る a σ に う つ す 。 L / Q の 導 手 は ( m ) ∞ で あ り 、 m と 素 な イ デ ア ル ( n ) 上 の ア ル テ ィ ン 写 像 は 、 単 純 に ( Z / m Z ) × の 元 n ( m o d m ) で あ る 。
平 方 剰 余 の 相 互 法 則 と の 関 係 [ 編 集 ]
p と ℓ を 異 な る 奇 素 数 と し 、 ℓ * = ( − 1 ) ( ℓ − 1 ) / 2 ℓ ( い つ も 1 ( m o d 4 ) で あ る ) と す る 。 二 次 相 互 法 則 と は
(
ℓ
∗
p
)
=
(
p
ℓ
)
{\displaystyle \left({\frac {\ell ^{\ast }}{p}}\right)=\left({\frac {p}{\ell }}\right)}
な る 関 係 の こ と 。 二 次 相 互 法 則 と ア ル テ ィ ン 相 互 法 則 の 関 係 は 、 次 の よ う に 、 二 次 体
F
=
Q
(
ℓ
∗
)
{\displaystyle \scriptstyle F=\mathbf {Q} ({\sqrt {\ell ^{\ast }}})}
と 円 分 体
L
=
Q
(
ζ
ℓ
)
{\displaystyle \scriptstyle L=\mathbf {Q} (\zeta _{\ell })}
を 研 究 す る こ と で 得 ら れ る [ 8 ] 。 こ の F は L の 部 分 体 で あ る 。 H = G a l ( L / F ) お よ び G = G a l ( L / Q ) と す る と 、 G a l ( F / Q ) = G / H で あ る 。 G / H は 位 数 が 2 で あ る の で 、 部 分 群 H は G = ( Z / ℓ Z ) × に お い て 平 方 元 全 体 の な す 部 分 群 で あ る 。 ア ル テ ィ ン 記 号 の 基 本 的 性 質 に よ り 、 ℓ と 素 な イ デ ア ル ( n ) に 対 し 、
(
F
/
Q
(
n
)
)
=
(
L
/
Q
(
n
)
)
(mod
H
)
.
{\displaystyle \left({\frac {F/\mathbf {Q} }{(n )}}\right)=\left({\frac {L/\mathbf {Q} }{(n )}}\right){\text{ (mod }}H).}
と な る こ と が わ か る 。 と く に n = p と す る と 、
(
ℓ
∗
p
)
=
1
{\displaystyle \left({\frac {\ell ^{\ast }}{p}}\right)=1}
で あ る こ と と 、 H の 中 で p ( m o d ℓ ) で あ る こ と 、 す な わ ち 、 p は m o d u l o ℓ で 二 乗 で あ る こ と が 同 値 で あ る こ と が わ か る 。
コ ホ モ ロ ジ ー 的 解 釈 [ 編 集 ]
大 域 相 互 法 則 の コ ホ モ ロ ジ ー 的 な 証 明 は 、 ま ず
(
Gal
(
K
sep
/
K
)
,
lim
→
C
L
)
{\displaystyle (\operatorname {Gal} (K^{\text{sep}}/K),\varinjlim C_{L})}
が ア ル テ ィ ン ・ テ イ ト の 意 味 で 類 構 造 ︵ 英 語 版 ︶ を 成 す こ と を 確 か め る こ と で 達 成 さ れ る 。 そ う す れ ば 、
H
^
0
(
Gal
(
L
/
K
)
,
C
L
)
≃
H
^
−
2
(
Gal
(
L
/
K
)
,
Z
)
{\displaystyle {\hat {H}}{}^{0}(\operatorname {Gal} (L/K),C_{L})\simeq {\hat {H}}{}^{-2}(\operatorname {Gal} (L/K),\mathbb {Z} )}
が 証 明 さ れ る 。 こ こ に
H
^
i
{\displaystyle {\hat {H}}{}^{i}}
は テ イ ト コ ホ モ ロ ジ ー 群 ︵ 英 語 版 ︶ を 表 す 。 コ ホ モ ロ ジ ー 群 の 計 算 に よ り θ が 同 型 で あ る こ と が 確 か め ら れ る 。
L - 函 数 と の 関 係 [ 編 集 ]
ア ル テ ィ ン 相 互 法 則 の 別 な 表 し 方 に は 、 ラ ン グ ラ ン ズ ・ プ ロ グ ラ ム に 沿 っ て 、 数 体 の ア ー ベ ル 拡 大 に 付 随 す る ア ル テ ィ ン の L - 函 数 を イ デ ー ル 類 群 の 指 標 に 付 随 す る ヘ ッ ケ の L - 函 数 に 関 連 付 け る 方 法 が あ る 。 [ 1 3 ]
数 体 K の ヘ ッ ケ 指 標 ︵ 量 指 標 ( G r ö ß e n c h a r a k t e r ) ︶ は 、 K の イ デ ー ル 類 群 の 準 指 標 で あ る と 定 義 さ れ る 。 ロ バ ー ト ・ ラ ン グ ラ ン ズ は 、 ヘ ッ ケ 指 標 を K の ア デ ー ル 環 の 上 の 簡 約 代 数 群 G L ( 1 ) 上 の 保 型 形 式 と 解 釈 し た 。 [ 1 4 ]
E ⁄ K を ガ ロ ア 群 G を 持 つ ア ー ベ ル 的 ガ ロ ア 拡 大 と す る と 、 任 意 の 指 標 σ : G → C × ︵ つ ま り 、 群 G の 1 - 次 元 複 素 表 現 ︶ に 対 し 、 K の ヘ ッ ケ 指 標 χ が 存 在 し て 、
L
E
/
K
Artin
(
σ
,
s
)
=
L
K
Hecke
(
χ
,
s
)
{\displaystyle L_{E/K}^{\operatorname {Artin} }(\sigma ,s)=L_{K}^{\operatorname {Hecke} }(\chi ,s)}
を 満 た す 。 こ こ に 左 辺 は 指 標 σ を 持 つ 拡 大 に 付 随 す る ア ル テ ィ ン L - 函 数 で あ り 、 右 辺 は ヘ ッ ケ 指 数 χ に 付 随 す る ヘ ッ ケ L - 函 数 で あ る ( G e l b a r t 1 9 7 5 , S e c t i o n 7 . D ) 。
ア ル テ ィ ン 相 互 法 則 の L - 函 数 の 等 式 と し て の 定 式 化 は 、 直 接 の 対 応 関 係 は ま だ 足 り な い が 、 n - 次 元 表 現 へ の 一 般 化 し た 定 式 化 に な る 。
^ Helmut Hasse , History of Class Field Theory , in Algebraic Number Theory , edited by Cassels and Frölich, Academic Press, 1967, pp. 266–279
^ Artin, Emil (December 1929), “Idealklassen in oberkörpern und allgemeines reziprozitätsgesetz”, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 7 (1): 46–51, doi :10.1007/BF02941159 .
^ a b Lemmermeyer 2000 , §3.2
^ Milne 2008 , example 3.11
^ James Milne, Class Field Theory
^ Gelbart, Stephen (1975), “Automorphic Forms on Adele Groups”, Annals of Mathematics Studies (Princeton University Press) 83 , ISBN 0-691-08156-5
参 考 文 献 [ 編 集 ]
● A r t i n , E m i l ( 1 9 2 4 ) . “ Ü b e r e i n e n e u e A r t v o n L - R e i h e n , ” . A b h a n d l u n g e n a u s d e m M a t h e m a t i s c h e n S e m i n a r d e r U n i v e r s i t ä t H a m b u r g 3 . ; C o l l e c t e d P a p e r s , A d d i s o n W e s l e y , 1 9 6 5 , 1 0 5 – 1 2 4
● A r t i n , E m i l ( 1 9 2 7 ) . “ B e w e i s d e s a l l g e m e i n e n R e z i p r o z i t ä t s g e s e t z e s ” . A b h . M a t h . S e m i n . U n i v . H a m b u r g 5 : 3 5 3 – 3 6 3 . ; C o l l e c t e d P a p e r s , 1 3 1 – 1 4 1
● 片 山 孝 次 ﹁ A r t i n の 一 般 相 互 法 則 に 関 す る 諸 論 文 ﹂ ﹃ 津 田 塾 大 学 数 学 ・ 計 算 機 科 学 研 究 所 報 ﹄ 第 7 号 、 津 田 塾 大 学 数 学 ・ 計 算 機 科 学 研 究 所 、 1 9 9 4 年 。https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/honyaku/shohou7.pdf 。 ; 上 記 2 論 文 の 日 本 語 訳 が 掲 載 さ れ て い る 。
● A r t i n , E m i l ( 1 9 3 0 ) . “ I d e a l k l a s s e n i n O b e r k ö r p e r n u n d a l l g e m e i n e s R e z i p r o z i t ä t s g e s e t z e s ” . A b h . M a t h . S e m i n . U n i v . H a m b u r g 7 : 4 6 – 5 1 . ; C o l l e c t e d P a p e r s , 1 5 9 – 1 6 4
● F r e i , G ü n t h e r ( 2 0 0 4 ) , “ O n t h e h i s t o r y o f t h e A r t i n r e c i p r o c i t y l a w i n a b e l i a n e x t e n s i o n s o f a l g e b r a i c n u m b e r f i e l d s : h o w A r t i n w a s l e d t o h i s r e c i p r o c i t y l a w ” , i n O l a v A r n f i n n L a u d a l ; R a g n i P i e n e , T h e l e g a c y o f N i e l s H e n r i k A b e l . P a p e r s f r o m t h e A b e l b i c e n t e n n i a l c o n f e r e n c e , U n i v e r s i t y o f O s l o , O s l o , N o r w a y , J u n e 3 - - 8 , 2 0 0 2 , B e r l i n : S p r i n g e r - V e r l a g , p p . 2 6 7 – 2 9 4 , I S B N 9 7 8 - 3 - 5 4 0 - 4 3 8 2 6 - 7 , MR 2 0 7 7 5 7 6 , Z b l 1 0 6 5 . 1 1 0 0 1
● J a n u s z , G e r a l d ( 1 9 7 3 ) , A l g e b r a i c N u m b e r F i e l d s , P u r e a n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s , 55 , A c a d e m i c P r e s s , I S B N 0 - 1 2 - 3 8 0 2 5 0 - 4
● L a n g , S e r g e ( 1 9 9 4 ) , A l g e b r a i c n u m b e r t h e o r y , G r a d u a t e T e x t s i n M a t h e m a t i c s , 1 1 0 ( 2 e d . ) , N e w Y o r k : S p r i n g e r - V e r l a g , I S B N 9 7 8 - 0 - 3 8 7 - 9 4 2 2 5 - 4 , MR 1 2 8 2 7 2 3
● L e m m e r m e y e r , F r a n z ( 2 0 0 0 ) , R e c i p r o c i t y l a w s : F r o m E u l e r t o E i s e n s t e i n , S p r i n g e r M o n o g r a p h s i n M a t h e m a t i c s , B e r l i n : S p r i n g e r - V e r l a g , I S B N 9 7 8 - 3 - 5 4 0 - 6 6 9 5 7 - 9 , MR 1 7 6 1 6 9 6 , Z b l 0 9 4 9 . 1 1 0 0 2
● M i l n e , J a m e s ( 2 0 0 8 ) , C l a s s f i e l d t h e o r y ( v 4 . 0 e d . ) , http://jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html 2 0 1 0 年 2 月 22 日 閲 覧 。
● N e u k i r c h , J ü r g e n ( 1 9 9 2 ) , A l g e b r a i s c h e Z a h l e n t h e o r i e , G r u n d l e h r e n d e r M a t h e m a t i s c h e n W i s s e n s c h a f t e n , 3 2 2 , B e r l i n : S p r i n g e r
● 英 訳 : N e u k i r c h , J ü r g e n ( 1 9 9 9 ) , A l g e b r a i c n u m b e r t h e o r y , T r a n s l a t e d f r o m t h e G e r m a n b y N o r b e r t S c h a p p a c h e r , S p r i n g e r - V e r l a g , I S B N 3 - 5 4 0 - 6 5 3 9 9 - 6 , Z b l 0 9 5 6 . 1 1 0 2 1
● 日 本 語 訳 : J . ノ イ キ ル ヒ 著 、 足 立 恒 雄 監 修 、 梅 垣 敦 紀 訳 ﹃ 代 数 的 整 数 論 ﹄ シ ュ プ リ ン ガ ー フ ェ ア ラ ー ク 、 東 京 、 2 0 0 3 年 。
● S e r r e , J e a n - P i e r r e ( 1 9 7 9 ) , L o c a l f i e l d s , G r a d u a t e T e x t s i n M a t h e m a t i c s , 67 , T r a n s l a t e d f r o m t h e F r e n c h b y M a r v i n J a y G r e e n b e r g , N e w Y o r k , H e i d e l b e r g , B e r l i n : S p r i n g e r - V e r l a g , I S B N 3 - 5 4 0 - 9 0 4 2 4 - 7 , Z b l 0 4 2 3 . 1 2 0 1 6
● S e r r e , J e a n - P i e r r e ( 1 9 6 7 ) , V I . L o c a l c l a s s f i e l d t h e o r y , i n C a s s e l s , J . W . S . ; F r ö h l i c h , A . , “ A l g e b r a i c n u m b e r t h e o r y . ” , P r o c e e d i n g s o f a n i n s t r u c t i o n a l c o n f e r e n c e o r g a n i z e d b y t h e L o n d o n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y ( a N A T O A d v a n c e d S t u d y I n s t i t u t e ) w i t h t h e s u p p o r t o f t h e I n t e r n a t i o n a l M a t h e m a t i c a l U n i o n ( L o n d o n : A c a d e m i c P r e s s ) : 1 2 8 - 1 6 1 , Z b l 0 1 5 3 . 0 7 4 0 3
● T a t e , J o h n ( 1 9 6 7 ) , V I I . G l o b a l c l a s s f i e l d t h e o r y , i n C a s s e l s , J . W . S . ; F r ö h l i c h , A . , “ A l g e b r a i c n u m b e r t h e o r y . ” , P r o c e e d i n g s o f a n i n s t r u c t i o n a l c o n f e r e n c e o r g a n i z e d b y t h e L o n d o n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y ( a N A T O A d v a n c e d S t u d y I n s t i t u t e ) w i t h t h e s u p p o r t o f t h e I n t e r n a t i o n a l M a t h e m a t i c a l U n i o n ( L o n d o n : A c a d e m i c P r e s s ) : 1 6 2 - 2 0 3 , Z b l 0 1 5 3 . 0 7 4 0 3