コープランド–エルデシュ定数

コープランド–エルデシュ定数︵コープランド–エルデシュていすう、英‥Copeland–Erdős constant︶とは、数学定数のひとつで 0.235711131719232931…、すなわち一の位が 0 で小数第1位からは素数が小さい方から順に現れる実数である。コープランドとエルデシュにちなんで命名された。

数学的性質

1946年に、コープランドとエルデシュは、この数が十進正規数であることを示した。これより、無理数であること、すなわち循環しない小数であることも分かる。ハーディとライトの﹃数論入門﹄には、コープランド-エルデシュ定数が無理数であることの直接の証明として、算術級数定理を用いたものと、ベルトランの仮説を用いたものが紹介されている。以下、定数が有理数と仮定し、循環節の長さを sとして矛盾を導く。

●算術級数定理より、初項1で公差10^s+1 の算術級数を考えると、0 がs桁以上連続する素数は無数に存在する。これは明らかに仮定に反する。

●ベルトランの仮説より、5 ×10ⁿ⁻¹ と10ⁿ の間に素数が存在するから、任意の自然数 nに対してn桁の素数が存在する。s >1の場合 、十分大きな m>1に対してms桁の素数が定数の循環部分に現れるはずであるが、仮定よりその素数はs桁毎の繰り返しとなる。そのような数は合成数であるから矛盾である。s=1の場合も、素数であり合成数である数の存在が示される。

また、以下の式で表すことができる。ここに p(n) は n番目の素数、[x] は床関数を表す。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p($n)10^{-(n+\sum _{k=1}^{n}[\log _{10}{p(k)}])}} $\sum _{n=1}^{\infty }p(n)10^{-(n+\sum _{k=1}^{n}[\log _{10}{p(k)}])}$
連分数展開は、[0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …]︵オンライン整数列大辞典の数列 A30168︶である。

関連項目

• チャンパーノウン定数
• 正規数
• 無理数
• 素数

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Copeland-Erdős Constant". mathworld.wolfram.com (英語).