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数論序

数︵かず、英: number︶は、事象の順序、また数え上げによって理解が整理された︵＝認識︶後に、理解に含まれる事象の個数を指す方法として人間が獲得した知恵から発展した概念。最初のこの概念で用いられた数を﹁自然数$\mathbb {N}$$\mathbb {N}$﹂といい、個数を表すものを単に﹁数﹂、順序を表す場合を特に序数と区別し、数を表す文字が数字である。序数は区別のために序数詞を附けるが普通だが、言語によっては独立した単語になっている。︵例‥英語では﹁1＝one﹂に対して﹁1番目＝first﹂︶





|oint=  |oiint=  |oiiint=  |varoint=  |varoiint=  |varoiiint=  |ointctr=  |oiintctr=  |oiiintctr=  |varointctr=  |varoiintctr=  |varoiiintctr= 

導出

${\boldsymbol {q}}$${\boldsymbol {q}}$を3次元空間上の座標とし、直交する3つの変数をとって${\boldsymbol {q}}(r,\theta ,\phi )$${\boldsymbol {q}}(r,\theta ,\phi )$とする。ただし、$r=[0,\infty ),\theta =[0,\pi ],\phi =(0,2\pi ]$$r=[0,\infty ),\theta =[0,\pi ],\phi =(0,2\pi ]$ である。このような座標系を球面座標系という。空間上に連続な関数$f_{p}({\boldsymbol {q}})$$f_{p}({\boldsymbol {q}})$で表される閉曲面があるとき、閉曲面上に線を引くと閉曲線になる。閉曲面上に$\theta =0$$\theta =0$ または $\theta =\pi$$\theta =\pi$の点があれば $\phi =0$$\phi =0$が定義できないため、この場合とくに ${\boldsymbol {q}}(r,\theta )$${\boldsymbol {q}}(r,\theta )$で表し、このような点は円座標系で表す。さらに $r=0$$r=0$︵すなわち原点$O$$O$︶では $\theta$$\theta$も定まらない。

空間上の2点${\boldsymbol {q}}_{1}(r_{1},\theta _{1},\phi _{1}),{\boldsymbol {q}}_{2}(r_{2},\theta _{2},\phi _{2})$${\boldsymbol {q}}_{1}(r_{1},\theta _{1},\phi _{1}),{\boldsymbol {q}}_{2}(r_{2},\theta _{2},\phi _{2})$に対し、$ds=|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q_{1}}}|$$ds=|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q_{1}}}|$を線素といい、大きさをノルムで表現できる。これは複素数空間での距離と考えることができる。距離を求めるには三平方の定理が使えるが、通常はデカルト座標上で$ds^{2}=||{\boldsymbol {q}}_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})-{\boldsymbol {q}}_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})||^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$$ds^{2}=||{\boldsymbol {q}}_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})-{\boldsymbol {q}}_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})||^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$となるので、これを極座標形式に変換しなくてはならない。

${\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \phi \\y=r\sin \theta \sin \phi \\z=r\cos \theta \end{cases}}$${\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \phi \\y=r\sin \theta \sin \phi \\z=r\cos \theta \end{cases}}$
よって、これをライプニッツの法則

$df(u\cdot v\cdot w)=du\cdot v\cdot w+u\cdot dv\cdot w+u\cdot v\cdot dw$$df(u\cdot v\cdot w)=du\cdot v\cdot w+u\cdot dv\cdot w+u\cdot v\cdot dw$
を使って

${\begin{cases}dx=dr\sin \theta \cos \phi +r\cos \theta \cos \phi -r\sin \theta \sin \phi \\dy=dr\sin \theta \sin \phi +r\cos \theta \sin \phi -r\sin \theta \\dz=dr\cos \theta -r\sin \theta \end{cases}}$${\begin{cases}dx=dr\sin \theta \cos \phi +r\cos \theta \cos \phi -r\sin \theta \sin \phi \\dy=dr\sin \theta \sin \phi +r\cos \theta \sin \phi -r\sin \theta \\dz=dr\cos \theta -r\sin \theta \end{cases}}$
すると線素の2乗$ds^{2}$$ds^{2}$は 

${\begin{aligned}ds^{2}&=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\\&={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}\end{aligned}}$${\begin{aligned}ds^{2}&=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\\&={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}\end{aligned}}$
これは、動径$r$$r$方向に$dr$$dr$、$\theta$$\theta$方向に$rd\theta$$rd\theta$、$\phi$$\phi$方向に$r\sin \theta d\phi$$r\sin \theta d\phi$の長さを持つ微小体積の対角線の長さをイメージすればよい。したがって、この微小体積︵体積素︶は以下になる。

$dV=dxdydz=dr\cdot rd\theta \cdot r\sin \theta d\phi =r^{2}\sin \theta drd\theta d\phi$$dV=dxdydz=dr\cdot rd\theta \cdot r\sin \theta d\phi =r^{2}\sin \theta drd\theta d\phi$
またθ=1/2πのとき、

${\begin{cases}dx=dr\cos \phi -r\sin \phi \\dy=dr\sin \phi -r\\dz=-r\end{cases}}$${\begin{cases}dx=dr\cos \phi -r\sin \phi \\dy=dr\sin \phi -r\\dz=-r\end{cases}}$
となるので、デカルト座標のx,y平面上の動径$r$$r$方向に変化がない球${\frac {\partial }{\partial r}}dr=1$${\frac {\partial }{\partial r}}dr=1$では、微小体積は微小面積となり

$dV_{dr=1}=dS=rd\theta \cdot r\sin \theta d\phi =r^{2}\sin \theta \ d\theta d\phi$$dV_{dr=1}=dS=rd\theta \cdot r\sin \theta d\phi =r^{2}\sin \theta \ d\theta d\phi$
$\phi =0$$\phi =0$のときの平面では、微小面積︵面積素︶$dS$$dS$は

$dS=dxdy=dr\cdot rd\theta =rdrd\theta$$dS=dxdy=dr\cdot rd\theta =rdrd\theta$となる。動径方向に変化がない円${\frac {\partial }{\partial r}}dr=1$${\frac {\partial }{\partial r}}dr=1$では、線素は$ds=rd\theta$$ds=rd\theta$となる。

円周

$\phi =0$$\phi =0$のときの線素dsをθ方向に円積分する。

$\int ds=\oint rd\theta =r\int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi r$$\int ds=\oint rd\theta =r\int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi r$
円の面積

面積素$dS=rdrd\theta$$dS=rdrd\theta$ をr方向とθ方向に積分する。定積分で求めずにリーマン和として求める。

$\int dS=\iint rdrd\theta =\int rdr\oint d\theta =2\pi {\frac {1}{2}}r^{2}=\pi r^{2}$$\int dS=\iint rdrd\theta =\int rdr\oint d\theta =2\pi {\frac {1}{2}}r^{2}=\pi r^{2}$
球の体積

体積素$dV=r^{2}\sin dr\theta d\theta d\phi$$dV=r^{2}\sin dr\theta d\theta d\phi$をr,θ,Φの全方向に積分する。

$\int dV=\iiint r^{2}\sin \theta drd\theta d\phi =\int r^{2}dr\oint \sin \theta d\theta \oint d\phi ={\frac {1}{3}}r^{3}\cdot 2\cdot 2\pi ={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$$\int dV=\iiint r^{2}\sin \theta drd\theta d\phi =\int r^{2}dr\oint \sin \theta d\theta \oint d\phi ={\frac {1}{3}}r^{3}\cdot 2\cdot 2\pi ={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$
球の表面積

dr=1の場合の面積素$dS(=dV_{dr=1})=r^{2}\sin \theta d\theta d\phi$$dS(=dV_{dr=1})=r^{2}\sin \theta d\theta d\phi$をr,θの方向に積分する。

$\int dS=\iint r^{2}\sin \theta d\theta d\phi =r^{2}\oint \sin \theta d\theta \oint d\phi =r^{2}\cdot 2\cdot 2\pi =4\pi r^{2}$$\int dS=\iint r^{2}\sin \theta d\theta d\phi =r^{2}\oint \sin \theta d\theta \oint d\phi =r^{2}\cdot 2\cdot 2\pi =4\pi r^{2}$