出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
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数学において、形式的冪級数︵けいしきてきべききゅうすう、英: formal power series︶とは、︵形式的︶多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、︵X を不定元として︶
は︵多項式ではない︶冪級数である。
定義
A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち Xを変数︵不定元︶とする︵一変数︶形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai(i = 0, 1, 2, …) を Aの元として、
の形をしたものである。ある mが存在して n≥ mのとき an= 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。和と積の定義は以下のようにする。
すなわち和と積は形式的に定義し、環の元と不定元は可換であるとする。
より形式的な定義
ℕ を非負整数全体の集合とし、配置集合 Aℕ すなわち ℕ から Aへの関数︵A に値を持つ数列︶全体を考える。この集合に対し
によって演算を定めると、Aℕ は環になることが確かめられる。これが形式的冪級数環 A[[X]] である。
ここでの (an) は上の ∑
anXn と対応する。
合成
定数項が 0 の形式的冪級数は、別の冪級数に代入することができる。すなわち、
とすると、(g(X))n は n− 1 次以下の項をもたないので、合成
が意味をもつ。例えば
は形式的冪級数としても正しい等式である。
性質
以下では Aを単位元をもつ可換環とし、構文解析に失敗 (SVG︵ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます︶: サーバー﹁http://localhost:6011/ja.wikipedia.org/v1/﹂から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\textstyle f=\sum_{n=0}^{\infty}a_nX^n\in A[[X]]}
とする。
●f が A[[X]] の単元であることと a0 が Aの単元であることは同値である。
●f が冪零であれば、すべての anは冪零である。逆は一般には成り立たないが、A がネーター環であれば成り立つ。
●A がネーター環であれば、A[[X]] もネーター環である。
●A が整域であれば、A[[X]] も整域である。
●f が A[[X]] のジャコブソン根基に属することと、a0 が Aのジャコブソン根基に属することは同値である。
形式微分
に対し、
を fの形式微分という。a, b∈ A, f, g∈ A[[X]] に対し、(af + bg)′ = af′ + bg′, (fg)′ = f′g + fg′ などが成り立つ。
これは︵複素あるいは実の︶収束冪級数と考えると項別微分に相当するものである。
一般化
形式的ローラン級数
有限個の負冪も許したものは形式的ローラン級数と呼ばれる。正確には次の形のものである。N を自然数、各 anを可換環 Aの元として、
.
このような元全体は環をなし、形式的ローラン級数環といい、A((X)) と表記する。とくに Aが体 kであるとき、k((X)) も体であり、これは k[[X]] の商体でもある。
多変数の形式的冪級数
任意の個数︵無限個でもよい︶の不定元をもった形式的冪級数を定義することができる。Λ が添え字集合であり XΛ を λ ∈ Λ に対し不定元 Xλ 全体の集合とすれば、単項式 Xα は XΛ の元の任意の有限個の︵重複を許した︶積である。係数を環 Aにもつ XΛ の形式的冪級数は単項式 Xα の集合から対応する係数 cα への任意の写像によって決定され、
と表記される。すべてのそのような形式的冪級数からなる集合を A[[XΛ]] と表記し、以下のように環の構造を与える。
および
一変数の場合と同様に、A[XI] ⊂ A[[XI]] である。
Λ ≔ {1, 2, …, n} の場合には、A[[XΛ]] = A[[X1, X2, …, Xn]] とも書かれる。A[[X1, …, Xn]] = A[[X1, …, Xn-1]] [[Xn]] である。
性質
●多項式とは異なり、一般には、﹁代入﹂は意味を持たない。無限個の和が出てきてしまうからである。
しかし、例えば次のようなときには意味を持つ。可換環 Aはイデアル Iによる I進距離で完備であるとする。このとき
であれば、
の
に
を代入したものは収束する。
●ネーター環 A上の多項式環 B≔ A[X1, …, Xn] の、
による完備化は、A[[X1, …, Xn]] と同型である。これは
の
進位相による完備化とも同型である。
●A がネーター環であれば、C ≔ A[[X1, …, Xn]] もネーター環であり、A が整域であれば Cも整域である。A が体であれば、C は正則局所環 である。