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このうち、加法と乗法は [[0]] を含む[[正の数と負の数|非負]]の[[整数]]の範囲で自由に行うことができるが、減法と除法には制約がある。 |
このうち、加法と乗法は [[0]] を含む[[正の数と負の数|非負]]の[[整数]]の範囲、つまり[[自然数]]の範囲で自由に行うことができるが、減法と除法には制約がある。自然数の間の減法は、引く数が引かれる数より大きい場合を扱うことができない。また自然数の除法は、適切な[[剰余]]を定義しない限り、割る数が割られる数の[[約数]]でない場合を扱うことができない。減法の場合は扱う数を負の数を含んだ[[整数]]全体に捉え直すことで制限を解消することができる。たとえば {{math|1 − 2}} は自然数を与えないが、整数全体で演算を扱うなら、
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:{{math|1 − 2 {{=}} −1}} |
:{{math|1 − 2 {{=}} −1}} |
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と負の数を与えることができる。 |
と負の数を与えることができる。 |
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除法については扱う数を[[有理数]]の範囲にすることで[[互いに素 (整数論)|互いに素]]な整数の間でも演算を定義できる。たとえば {{math|−4 ÷ 3}} は整数を与えないが、 |
除法については扱う数を[[有理数]]の範囲にすることで[[互いに素 (整数論)|互いに素]]な整数の間でも演算を定義できる。たとえば {{math|−4 ÷ 3}} は整数を与えないが、 |
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:{{math|−4 ÷ 3 {{=}} {{sfrac|−4|3}}}} |
:{{math|−4 ÷ 3 {{=}} {{sfrac|−4|3}}}} |
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のように有理数を与える︵{{math|{{sfrac|−4|3}}}} のように表記された数 |
のように有理数を与える︵{{math|{{sfrac|−4|3}}}} のように表記された数は[[分数]]と呼ばれる︶。従って、正負の有理数と 0 の数を扱うことで、自由な四則演算が可能になる。ただし、通常は除数を 0 とする除法は定義されない︵[[ゼロ除算]]を参照︶。
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四則演算を特徴付ける性質には、[[交換法則]]・[[結合法則]]・[[分配法則]]などがあり、抽象代数学では四則演算が自由にできる集合のことを[[可換体|体]]という。有理数の全体、[[実数]]の全体、[[複素数]]の全体などは全て体である。 |
四則演算を特徴付ける性質には、[[交換法則]]・[[結合法則]]・[[分配法則]]などがあり、抽象代数学では四則演算が自由にできる集合のことを[[可換体|体]]という。有理数の全体、[[実数]]の全体、[[複素数]]の全体などは全て体である。 |