自由振動

このページではいくつかの代表的な振動運動︵しんどううんどう︶を解説する。

単振動

フックの法則

金属のバネやゴムの棒は、外からの力を加えないとき固有の長さをもつ。これを自然長 という。これら自然長から伸ばしたり縮めたりして変形させると、元の長さに戻ろうとする力、いわゆる復元力がはたらく。復元力から生じる性質を弾性 とよび、弾性を持つ物体を弾性体 とよぶ。

多くの弾性体では変形の量が小さい限り復元力と変形量の間に比例関係がある。これをその発見者である17世紀のイギリスの物理学者ロバート・フックの名にちなんでフックの法則とよぶ。フックの法則は、板や棒の曲げのような、伸び縮みとは別種の変形でも同じように成り立つ。

なめらかで水平な床の上にバネを置く。バネの右方向を正に x軸をとる。バネの左端をある場所に固定し、自然長の状態にしたとき、その右端の位置を xの原点に選ぶ。バネが変形したとき、その右端の x座標によって変形の状態を表すことにする。x > 0 であれば伸び、x < 0 であれば縮みである。バネの伸びが xのとき、それによって生じる力を Fとする。力が右向きであれば、F > 0、左向きでは F< 0 である。このとき、フックの法則は次のように表すことができる。

$F=kx$$F=kx$ … (1-i)

この kをばね定数と呼ぶ。ばね定数はばねの強さ、あるいは硬さをあらわす、それぞれのばねに固有の定数である。

(1-i) 式が成り立つのは xが比較的小さい場合である。現実の材料を長さを xだけ引き伸ばしたとき、図 1-2 に示すように、x が大きくなるにつれて xと復元力 Fの比例関係が崩れていく。フックの法則が成り立つ限界の xの値を比例限界 とよぶ。x が比例限界を変えても弾性限界 と呼ばれる値を超えなければ力を小さくしたとき同じ曲線を経て原点にもどる。弾性限界を超えて伸ばすと力を除いたとき元に戻らず、永久ひずみと呼ばれる長さだけ伸びが残る。さらに xを増すと力が一定のままで伸びが継続する。このときの Fの値を降伏値 という。

単振動という運動

単振動とは、等速円運動の正射影の運動である。つまり、下図のように等速円運動に光を当ると影ができる。この影の運動が単振動なのである。

単振動は等速円運動の正射影であるために、その性質が等速円運動と非常によく似ている。例えば、周期 Tは等速円運動と同じように、

$T={2\pi \over \omega }$$T={2\pi \over \omega }$ … (1-ii)

であらわされ、当然、回転数︵単振動では回転数のことを振動数という。定義は回転数と同じ︶f も等速円運動と同様、

$f={\omega \over 2\pi }$$f={\omega \over 2\pi }$ … (1-iii)

$f={1 \over T}$$f={1 \over T}$ … (1-iv)

とあらわされる。

単振動の運動方程式

バネの運動を考える。原点 Ｏ をバネの自然長にとり、右方向を x軸正方向とする。このとき物体には、$F=-kx$$F=-kx$ の力が働く。ここで、ニュートンの運動方程式 $F=ma$$F=ma$より、

$ma=-kx$$ma=-kx$ … (1-v)

加速度の定義から、

$m{dv \over dt}=-kx$$m{dv \over dt}=-kx$ … (1-vi)

両辺をmで割り、$v={\frac {dx}{dt}}$$v={\frac {dx}{dt}}$の関係を用いると、

${d^{2}x \over dt^{2}}=-{k \over m}x$${d^{2}x \over dt^{2}}=-{k \over m}x$… (1-vii)

(1-vii) 式の xを満たす関数としては、

●$x=-\sin {\sqrt {k \over m}}t$$x=-\sin {\sqrt {k \over m}}t$… (1-ix)

●$x=\cos {\sqrt {k \over m}}t$$x=\cos {\sqrt {k \over m}}t$… (1-x)

の二つの特殊解が考えられる。線型微分方程式の性質から、この2つの特殊解を線形結合させた

$x=A\sin {\sqrt {k \over m}}t+B\cos {\sqrt {k \over m}}t$$x=A\sin {\sqrt {k \over m}}t+B\cos {\sqrt {k \over m}}t$… (1-xi)

も、(1-vii) の解であり、方程式が2階であることと (1-ix),(1-x) の一次独立性から、これ以外の解はない︵つまり (1-xi) が (1-vii) の一般解である︶。ここで、

$\omega ={\sqrt {k \over m}}$$\omega ={\sqrt {k \over m}}$
と定めると、(1-xi) 式は、

$x=A\sin \omega t+B\cos \omega t$$x=A\sin \omega t+B\cos \omega t$ … (1-xii)

ここで三角関数の合成を利用すると、(1-xii) 式は、

$\cos \phi ={A \over {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},\ \sin \phi ={B \over {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$$\cos \phi ={A \over {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},\ \sin \phi ={B \over {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$
を満たした $\phi$$\phi$を用いて、

$x={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\sin(\omega t+\phi )$$x={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\sin(\omega t+\phi )$… (1-xiii)

とあらわされる。ここで、${\sqrt {A^{2}+B^{2}}}=C$${\sqrt {A^{2}+B^{2}}}=C$ とすると、(1-xiii)は、

$x=C\sin(\omega t+\phi )$$x=C\sin(\omega t+\phi )$ … (1-xiv)

となる。ここで (1-xiv) の各数値はそれぞれ以下のような物理量である。

●$C$$C$‥振幅 … 物体の最大の変位の絶対値

●$\omega$$\omega$‥角振動数︵固有振動数︶

●$\phi$$\phi$‥初期位相

よって、(1-xiv) であらわされる単振動の x-t グラフを描くと、図 1-5 のような正弦曲線を描く。

初期位相によって時刻 0 のときの物体の位置が決まる。このグラフの場合は以下の通り。

●初期位相 $-{\pi \over 2}$$-{\pi \over 2}$… 時刻 0 のときの座標 $-C$$-C$
●初期位相 ${0}$${0}$… 時刻 0 のときの座標 $0$$0$
●初期位相 ${\pi \over 2}$${\pi \over 2}$… 時刻 0 のときの座標 $C$$C$

自然界における単振動

単振動は最も基本的な振動運動であり、自然界においてもよくみられる。特に、ポテンシャルU(x)がある位置x=x₀において最小値U(x₀)=U₀を持つような力学系の場合は、ポテンシャルの最小点x=x₀付近での微小な運動は単振動として近似することができる。

このポテンシャルU(x)をx=x₀でテイラー展開すると

${\displaystyle U($x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x-x_{0})^{n}}{n!}}U^{(n)}(x_{0})=U(x_{0})+(x-x_{0})U'(x_{0})+{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2!}}U''(x_{0})+{\frac {(x-x_{0})^{3}}{3!}}U'''(x_{0})+\cdots } $U(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x-x_{0})^{n}}{n!}}U^{(n)}(x_{0})=U(x_{0})+(x-x_{0})U'(x_{0})+{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2!}}U''(x_{0})+{\frac {(x-x_{0})^{3}}{3!}}U'''(x_{0})+\cdots$
となるが、運動をx=x₀から微小な範囲に限定すると、x-x₀は微小量となるため3次以上は無視できる。また、x=x₀でポテンシャルU(x)が最小値をとることから、

$U'(x_{0})=0,\quad U''(x_{0})>0$$U'(x_{0})=0,\quad U''(x_{0})>0$
である。これらのことを考慮すると、

${\displaystyle U($x)\approx U_{0}+{\frac {U''(x_{0})}{2}}(x-x_{0})^{2}} $U(x)\approx U_{0}+{\frac {U''(x_{0})}{2}}(x-x_{0})^{2}$
となる。このポテンシャルによる力Fは

${\displaystyle F=-U'($x)} $F=-U'(x)$
で与えられるので、U''(x₀)=k(>0)とおくと、

${\displaystyle F=-U'($x)=-k(x-x_{0})} $F=-U'(x)=-k(x-x_{0})$
これはx₀を中心とする単振動を表す方程式である。

このことから、固体分子・原子の熱振動のような微小な振動運動は、単振動であることがわかる。

振り子

振り子︵Pendulum︶は、定まった点または軸の周りを、一定周期で振動する物体。時計や地震計などに用いられる。

単振子

伸び縮みしない軽い糸の一端を固定し、他端に質点とみなせるほど小さくて重いおもりをつるし、重力の作用でひとつの鉛直面内を振動するようにした振り子︵単振子‥たんしんし︶︵振り子が一鉛直面内ではなく球面上を動く場合は球面振り子という︶。振幅が小さければおもりの運動は単振動とみなすことができ、周期 Tは、

$T=2\pi {\sqrt {l \over g}}$$T=2\pi {\sqrt {l \over g}}$ … (2-i)

とあらわされる。

単振り子の運動方程式

長さ $l$$l$の糸の先に質量 $m$$m$のおもりをつけ、糸の他端を固定してつり下げる︵図 2-1︶。

おもりを少し横に引いて手を放すと、おもりは糸の固定点の真下の振り子のつりあいの位置 Ｏ を中心として往復運動を始める。おもりは糸の上端の固定点を中心とした円周上を運動するから、振り子のつり合いの位置 Ｏ を原点として、円周に沿って$x$$x$ 軸をとると、おもりの運動は $x$$x$軸上の一次元の運動と見ることができる。このとき、おもりの運動に関わる力はおもりに働く重力 $mg$$mg$の円周への接線方向だけである。ここで、重力 $mg$$mg$の円周への法線方向と糸の張力重力 $T$$T$は、おもりの運動を円周上に拘束する役割をしている。糸の鉛直方向となす角が $\theta$$\theta$のとき、おもりの $x$$x$軸上にかかわる力 $F$$F$は、

$F=-mg\sin \theta$$F=-mg\sin \theta$ … (2-ii)

となる。おもりの座標 $x$$x$と $\theta$$\theta$は、

$\theta ={x \over l}$$\theta ={x \over l}$ … (2-iii)

であるから、おもりについての運動方程式は、

$F=-mg\sin {x \over l}$$F=-mg\sin {x \over l}$ … (2-iv)

$ma=-mg\sin {x \over l}$$ma=-mg\sin {x \over l}$ … (2-v)

${d^{2}x \over dt^{2}}=-g\sin {x \over l}$${d^{2}x \over dt^{2}}=-g\sin {x \over l}$ … (2-vi)

ここで、微小角 $\theta$$\theta$について成り立つ近似

$\sin \theta \approx \theta$$\sin \theta \approx \theta$ … (2-vii)

を用いて、(2-vi) 式を変形すると、

${d^{2}x \over dt^{2}}=-g{x \over l}$${d^{2}x \over dt^{2}}=-g{x \over l}$ … (2-viii)

となる。(2-viii) は (1-vii) 式と同じ形であるから、運動は単振動となる。角振動数は、

$\omega ={\sqrt {g \over l}}$$\omega ={\sqrt {g \over l}}$ … (2-ix)

したがって、周期は前節 (2-i) 式のようになる。周期が振幅によらず一定であることは、振り子の等時性として知られている。

単振り子の等時性の破れ

等時性の破れを主眼に置き、式の近似を用いない解法を考える。以下では ${\frac {d\theta }{dt}}={\dot {\theta }}$${\frac {d\theta }{dt}}={\dot {\theta }}$と表記する。

角度の状態遷移を表す微分方程式が $ml{\ddot {\theta }}+mg\sin \theta =0$$ml{\ddot {\theta }}+mg\sin \theta =0$であることは簡単に導出される。これにエネルギーを考慮するため、両辺に$l{\dot {\theta }}$$l{\dot {\theta }}$をかけ、$t=0$$t=0$において$\theta =\theta _{0}$$\theta =\theta _{0}$ 、${\dot {\theta }}=0$${\dot {\theta }}=0$ であったとして$t$$t$について$0$$0$から$t$$t$まで積分すると

${\frac {1}{2}}m\left(l{\dot {\theta }}\right)^{2}-mgl\cos \theta =-mgl\cos \theta _{0}$${\frac {1}{2}}m\left(l{\dot {\theta }}\right)^{2}-mgl\cos \theta =-mgl\cos \theta _{0}$．

ここで$\omega ={\sqrt {g/l}}$$\omega ={\sqrt {g/l}}$と置き上式を変形すると

${\dot {\theta }}^{2}=2\omega ^{2}\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)$${\dot {\theta }}^{2}=2\omega ^{2}\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)$．

さらに$\cos \theta =1-2\sin ^{2}\left(\theta /2\right)$$\cos \theta =1-2\sin ^{2}\left(\theta /2\right)$を用い上式を変形すると

${\dot {\theta }}=\pm 2\omega {\sqrt {\sin ^{2}(\theta _{0}/2)-\sin ^{2}(\theta /2)}}$${\dot {\theta }}=\pm 2\omega {\sqrt {\sin ^{2}(\theta _{0}/2)-\sin ^{2}(\theta /2)}}$．

このとき右辺にtが陽に現れていないため、t=0に$\theta =0$$\theta =0$となるように時間シフトを行うことができる。

上式を用い$\theta =0$$\theta =0$ から$\theta =\theta _{0}$$\theta =\theta _{0}$となる時刻を計算すると

$t={\frac {1}{2\omega }}\int _{0}^{\theta _{0}}{\frac {1}{\sqrt {\sin ^{2}(\theta _{0}/2)-\sin ^{2}(\theta /2)}}}d\theta$$t={\frac {1}{2\omega }}\int _{0}^{\theta _{0}}{\frac {1}{\sqrt {\sin ^{2}(\theta _{0}/2)-\sin ^{2}(\theta /2)}}}d\theta$．

この値の4倍にあたる4tが振り子の周期である。$\sin(\theta _{0}/2)=a$$\sin(\theta _{0}/2)=a$、$\sin(\theta /2)=a\sin \phi$$\sin(\theta /2)=a\sin \phi$と置換すると結局周期は

$T={\frac {4}{\omega }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {1-a^{2}\sin ^{2}\phi }}}d\phi$$T={\frac {4}{\omega }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {1-a^{2}\sin ^{2}\phi }}}d\phi$．

上式の定積分は完全楕円積分であるため初等的に扱うことは困難であるので

${\frac {1}{\sqrt {1-a^{2}\sin ^{2}\phi }}}=1+{\frac {1}{2}}a^{2}\sin ^{2}\phi +{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}a^{4}\sin ^{4}\phi +{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {5}{6}}a^{6}\sin ^{6}\phi +\cdots$${\frac {1}{\sqrt {1-a^{2}\sin ^{2}\phi }}}=1+{\frac {1}{2}}a^{2}\sin ^{2}\phi +{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}a^{4}\sin ^{4}\phi +{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {5}{6}}a^{6}\sin ^{6}\phi +\cdots$，

とテーラー展開し各項を積分すると周期は

$T={\frac {2\pi }{\omega }}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}a^{2}+\left({\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}\right)^{2}a^{4}+\left({\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {5}{6}}\right)^{2}a^{6}+\cdots \right]$$T={\frac {2\pi }{\omega }}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}a^{2}+\left({\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}\right)^{2}a^{4}+\left({\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {5}{6}}\right)^{2}a^{6}+\cdots \right]$．

Tは明らかにaの、つまり$\theta _{0}$$\theta _{0}$の関数であるため、等時性は破れた。a<<1とすると、 $T={\frac {2\pi }{\omega }}$$T={\frac {2\pi }{\omega }}$となり$\sin \theta =\theta$$\sin \theta =\theta$と近似した時と一致する。

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