形式的冪級数

数学において、形式的冪級数︵けいしきてきべききゅうすう、英: formal power series︶とは、︵形式的︶多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、︵X を不定元として︶

$\sum _{n=0}^{\infty }X^{n}=1+X+X^{2}+X^{3}+\dotsb +X^{n}+\dotsb$$\sum _{n=0}^{\infty }X^{n}=1+X+X^{2}+X^{3}+\dotsb +X^{n}+\dotsb$
は︵多項式ではない︶冪級数である。

定義

A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち Xを変数︵不定元︶とする︵一変数︶形式的冪級数 (formal power series) とは、各 a_i(i = 0, 1, 2, …) を Aの元として、

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\dotsb$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\dotsb$
の形をしたものである。ある mが存在して n≥ mのとき a_n= 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。

形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。和と積の定義は以下のようにする。

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}&:=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})X^{n}\\\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}\right)&:=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)X^{n}\end{aligned}}$${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}&:=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})X^{n}\\\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}\right)&:=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)X^{n}\end{aligned}}$
すなわち和と積は形式的に定義し、環の元と不定元は可換であるとする。

より形式的な定義

ℕ を非負整数全体の集合とし、配置集合 A^ℕ すなわち ℕ から Aへの関数︵A に値を持つ数列︶全体を考える。この集合に対し

${\begin{aligned}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }&:=(a_{n}+b_{n})_{n\in \mathbb {N} }\\(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\cdot (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }&:=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{n\in \mathbb {N} }\end{aligned}}$${\begin{aligned}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }&:=(a_{n}+b_{n})_{n\in \mathbb {N} }\\(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\cdot (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }&:=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{n\in \mathbb {N} }\end{aligned}}$
によって演算を定めると、A^ℕ は環になることが確かめられる。これが形式的冪級数環 A[[X]] である。

ここでの (a_n) は上の ∑
a_nXⁿ と対応する。

合成

定数項が 0 の形式的冪級数は、別の冪級数に代入することができる。すなわち、${\textstyle f($X):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},\;g(X):=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}X^{m}} ${\textstyle f(X):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},\;g(X):=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}X^{m}}$ とすると、(g(X))ⁿ は n− 1 次以下の項をもたないので、合成

${\displaystyle f(g($X))=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\{g(X)\}^{n}} $f(g(X))=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\{g(X)\}^{n}$
が意味をもつ。例えば

$\exp(\log(1+t))=1+t$$\exp(\log(1+t))=1+t$
は形式的冪級数としても正しい等式である。

性質

以下では Aを単位元をもつ可換環とし、構文解析に失敗 (SVG︵ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます︶: サーバー﹁http://localhost:6011/ja.wikipedia.org/v1/﹂から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\textstyle f=\sum_{n=0}^{\infty}a_nX^n\in A[[X]]}  とする。

●f が A[[X]] の単元であることと a₀ が Aの単元であることは同値である。

●f が冪零であれば、すべての a_nは冪零である。逆は一般には成り立たないが、A がネーター環であれば成り立つ。

●A がネーター環であれば、A[[X]] もネーター環である。

●A が整域であれば、A[[X]] も整域である。

●f が A[[X]] のジャコブソン根基に属することと、a₀ が Aのジャコブソン根基に属することは同値である。

形式微分

${\textstyle f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}$${\textstyle f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}$ に対し、${\textstyle f':=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot a_{n}X^{n-1}}$${\textstyle f':=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot a_{n}X^{n-1}}$ を fの形式微分という。a, b∈ A, f, g∈ A[[X]] に対し、(af + bg)′ = af′ + bg′, (fg)′ = f′g + fg′ などが成り立つ。

これは︵複素あるいは実の︶収束冪級数と考えると項別微分に相当するものである。

一般化

形式的ローラン級数

有限個の負冪も許したものは形式的ローラン級数と呼ばれる。正確には次の形のものである。N を自然数、各 a_nを可換環 Aの元として、

$\sum _{n=-N}^{\infty }a_{n}X^{n}$$\sum _{n=-N}^{\infty }a_{n}X^{n}$.

このような元全体は環をなし、形式的ローラン級数環といい、A((X)) と表記する。とくに Aが体 kであるとき、k((X)) も体であり、これは k[[X]] の商体でもある。

多変数の形式的冪級数

任意の個数︵無限個でもよい︶の不定元をもった形式的冪級数を定義することができる。Λ が添え字集合であり X_Λ を λ ∈ Λ に対し不定元 X_λ 全体の集合とすれば、単項式 X^α は X_Λ の元の任意の有限個の︵重複を許した︶積である。係数を環 Aにもつ X_Λ の形式的冪級数は単項式 X^α の集合から対応する係数 c_α への任意の写像によって決定され、${\textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }}$${\textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }}$ と表記される。すべてのそのような形式的冪級数からなる集合を A[[X_Λ]] と表記し、以下のように環の構造を与える。

$\left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)+\left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right):=\sum _{\alpha }(c_{\alpha }+d_{\alpha })X^{\alpha }$$\left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)+\left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right):=\sum _{\alpha }(c_{\alpha }+d_{\alpha })X^{\alpha }$
および

$\left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)\times \left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right):=\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }d_{\beta }X^{\alpha +\beta }$$\left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)\times \left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right):=\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }d_{\beta }X^{\alpha +\beta }$
一変数の場合と同様に、A[X_I] ⊂ A[[X_I]] である。

Λ ≔ {1, 2, …, n} の場合には、A[[X_Λ]] = A[[X₁, X₂, …, X_n]] とも書かれる。A[[X₁, …, X_n]] = A[[X₁, …, X_n-1]] [[X_n]] である。

性質

●多項式とは異なり、一般には、﹁代入﹂は意味を持たない。無限個の和が出てきてしまうからである。

しかし、例えば次のようなときには意味を持つ。可換環 Aはイデアル Iによる I進距離で完備であるとする。このとき $a_{1},\dots ,a_{n}\in I$$a_{1},\dots ,a_{n}\in I$であれば、${\textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\in A[[X_{1},\dots ,X_{n}]]}$${\textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\in A[[X_{1},\dots ,X_{n}]]}$ の $X_{1},\dots ,X_{n}$$X_{1},\dots ,X_{n}$に $a_{1},\dots ,a_{n}$$a_{1},\dots ,a_{n}$を代入したものは収束する。

●ネーター環 A上の多項式環 B≔ A[X₁, …, X_n] の、${\textstyle {\mathfrak {m}}=(X_{1},\dots ,X_{n})}$${\textstyle {\mathfrak {m}}=(X_{1},\dots ,X_{n})}$ による完備化は、A[[X₁, …, X_n]] と同型である。これは ${\textstyle B_{\mathfrak {m}}}$${\textstyle B_{\mathfrak {m}}}$の ${\textstyle {\mathfrak {m}}B_{\mathfrak {m}}}$${\textstyle {\mathfrak {m}}B_{\mathfrak {m}}}$進位相による完備化とも同型である。

●A がネーター環であれば、C ≔ A[[X₁, …, X_n]] もネーター環であり、A が整域であれば Cも整域である。A が体であれば、C は正則局所環 である。

参考文献

●Atiyah, Michael F.; Macdonald, Ian G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Reading, MA: Addison-Wesley .

●荒川恒男、金子昌信、伊吹山知義　﹃ベルヌーイ数とゼータ関数﹄　牧野書店、2001年。ISBN 978-4-7952-0139-2。

●雪江明彦、﹃代数学3代数学のひろがり﹄、日本評論社、2011年、ISBN 978-4-535-78661-5