演算子 (物理学)

物理学における演算子︵えんざんし、operator︶とはある物理状態の空間から別の物理状態の空間への関数のこと。演算子が用いられている最も簡単な例として対称性があり、群の考え方を有益にしている。このことから、演算子は古典力学において非常に有用なツールとなる。量子力学では演算子はさらに重要で、理論の定式化において本質的な部分をなす。数学では﹁作用素﹂という語が使われているものと同じものであるが、以下では物理の観点から述べる︵英語では同じ語で operator である︶。

古典力学[編集]

古典力学では粒子︵または粒子系︶の運動はラグランジアン

L(q,{\dot {q}},t)

L(q,{\dot {q}},t)

やそれと等価であるハミルトニアン

H(q,p,t)

H(q,p,t)

によって完全に決定される。これらは一般化座標q、一般化速度

{\dot {q}}=\mathrm {d} q/\mathrm {d} t

{\dot {q}}=\mathrm {d} q/\mathrm {d} t

、共役運動量

p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}

p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}

についての関数である。 LやHが一般化座標qと無関係であるときは、qが変化してもLやHは変化しない。よってqが変化しても粒子のダイナミクスは変わらないままであり、これらの座標に共役な運動量は保存する。︵これはネーターの定理の一例で、座標qについての運動の不変性は対称性となる。︶古典力学における演算子は、これらの対称性と関連している。より専門的には、Hが変換Gの群の作用下で不変であるとき、

S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)

S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)

. Gの元は物理的な演算子で、物理状態と対応する。

古典力学での演算子一覧[編集]

変換	演算子	位置	運動量
並進対称性	$X(\mathbf {a} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a}$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p}$
時間並進	$U(t_{0})$	$\mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+t_{0})$	$\mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+t_{0})$
回転不変性	$R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )$	$\mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p}$
ガリレイ変換	$G(\mathbf {v} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v}$
パリティ	$P$	$\mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p}$
T対称性	$T$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)$