静止エネルギー

静止エネルギー︵せいしエネルギー、英: rest energy︶は、アインシュタインの特殊相対性理論によって示された、質量が存在することにより生じるエネルギー。質量 $m\,$$m\,$の物体は、光速 $c\,$$c\,$を用いて、

$E_{0}=mc^{2}\,$$E_{0}=mc^{2}\,$
で表される静止エネルギー $E_{0}\,$$E_{0}\,$を持つ。運動エネルギーやポテンシャルエネルギーとは異なるもので、質量が存在するだけで生じる。

この式は、質量を持つ物体には膨大なエネルギーが内在していることを示している。そして、実際に質量をエネルギーに変換することは可能である。例えば、電子と陽電子を衝突させると、これらの粒子が対消滅し、元の質量に応じたエネルギーが発生する。また、原子核反応でエネルギーが発生する場合には、反応後の質量はわずかに減少するし︵質量欠損︶、一般の化学反応でも、非常にわずかではあるが質量が変化する。

相対論におけるエネルギー

特殊相対性理論によれば、運動する物体のエネルギーは次の式で表される。

$E={\sqrt {m^{2}c^{4}+\left|{\boldsymbol {p}}\right|^{2}c^{2}}}$$E={\sqrt {m^{2}c^{4}+\left|{\boldsymbol {p}}\right|^{2}c^{2}}}$
ここで、$E\,$$E\,$ はエネルギー、$m\,$$m\,$ は質量、${\boldsymbol {p}}$${\boldsymbol {p}}$ は運動量、$c\,$$c\,$ は光速である。また、運動量 ${\boldsymbol {p}}$${\boldsymbol {p}}$と速度 ${\boldsymbol {v}}$${\boldsymbol {v}}$の関係は次の式で表される。

${\boldsymbol {p}}={\frac {{\boldsymbol {v}}E}{c^{2}}}$${\boldsymbol {p}}={\frac {{\boldsymbol {v}}E}{c^{2}}}$
これらから、エネルギーと速度の関係は次の様になる。 

$E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-\left|{\boldsymbol {v}}\right|^{2}/c^{2}}}}$$E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-\left|{\boldsymbol {v}}\right|^{2}/c^{2}}}}$…︵式1︶

この式をテイラー展開すると次の様になる。

$E=mc^{2}\left\{1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\left|{\boldsymbol {v}}\right|}{c}}\right)^{2}+{\frac {3}{8}}\left({\frac {\left|{\boldsymbol {v}}\right|}{c}}\right)^{4}+{\frac {5}{16}}\left({\frac {\left|{\boldsymbol {v}}\right|}{c}}\right)^{6}+\cdots \right\}$$E=mc^{2}\left\{1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\left|{\boldsymbol {v}}\right|}{c}}\right)^{2}+{\frac {3}{8}}\left({\frac {\left|{\boldsymbol {v}}\right|}{c}}\right)^{4}+{\frac {5}{16}}\left({\frac {\left|{\boldsymbol {v}}\right|}{c}}\right)^{6}+\cdots \right\}$
この式は、速度 ${\boldsymbol {v}}$${\boldsymbol {v}}$が光速に対して十分小さい ($\left|{\boldsymbol {v}}\right|^{2}\ll c^{2}$$\left|{\boldsymbol {v}}\right|^{2}\ll c^{2}$) 場合は、次のようになる。

$E=mc^{2}+{\frac {1}{2}}m\left|{\boldsymbol {v}}\right|^{2}$$E=mc^{2}+{\frac {1}{2}}m\left|{\boldsymbol {v}}\right|^{2}$
$mc^{2}\,$$mc^{2}\,$ は最初に述べた静止エネルギーであるので、結局式は次のようになる。

$E=E_{0}+{\frac {1}{2}}m\left|{\boldsymbol {v}}\right|^{2}$$E=E_{0}+{\frac {1}{2}}m\left|{\boldsymbol {v}}\right|^{2}$
つまり、速度が小さい場合は、質量 $m\,$$m\,$の物体が速度 ${\boldsymbol {v}}$${\boldsymbol {v}}$で動いている場合の運動エネルギーが ${\frac {1}{2}}m\left|{\boldsymbol {v}}\right|^{2}$${\frac {1}{2}}m\left|{\boldsymbol {v}}\right|^{2}$になるというニュートン力学と同じ結論になる。

なお、式1を導出するのに、$E_{0}=mc^{2}\,$$E_{0}=mc^{2}\,$ の $m\,$$m\,$に相対論的質量

$m_{r}={\frac {m}{\sqrt {1-{\left|{\boldsymbol {v}}\right|^{2}/c^{2}}}}}$$m_{r}={\frac {m}{\sqrt {1-{\left|{\boldsymbol {v}}\right|^{2}/c^{2}}}}}$
を代入するという説明がなされることがあるが、正しい説明とは言えない。まず、相対論的質量という概念自体にあまり意味がない︵相対論的質量を参照︶。そして、$E_{0}=mc^{2}\,$$E_{0}=mc^{2}\,$ という式は、静止エネルギーと質量の関係を表している式であるから、相対論的質量という質量とは異なるものを代入して、運動している物体のエネルギーが得られるかどうかは定かではない。

関連項目

• エネルギー
• E=mc²