非有基的集合論

非有基的集合論（ひゆうきてきしゅうごうろん）は、集合がそれ自身の要素であることを認め、自己属集合（ある集合が自分自身の要素になっている集合）を許容する集合論である。

概要

数学で一般的に用いられる公理論的集合論は、集合の要素は集合自身を含まないという公理︵正則性公理、基礎の公理、有基性公理とも呼ばれる︶に基づいている。このため、自己参照的な概念のモデル化に用いることは困難だった。これに対して、自己属集合を許容する非有基的集合論は、自己参照や無限遡及を自然に扱うことができるために、計算機科学︵プロセス代数と最終意味論︶、言語学と自然言語意味論︵状況意味論︶、哲学︵うそつきパラドックスに関する研究︶、非標準解析における非終了計算プロセスの論理モデリング、複雑系科学などに応用されている。

非有基的集合論の研究は、1917年から1920年にかけて発表されたドミトリー・ミリマノフが一連の論文によって先鞭がつけられた。以後、複数の非有基的集合論の公理系が提案されたものの、専門分野内の議論にとどまり、応用されることは少なかった。応用が盛んとなったのは、グラフを用いることで有基性公理に基づく集合︵well-founded set︶とそれに基づかない非有基的集合︵non-well-founded set︶の両方を許容するHyperset論をピーター・アクゼルが1988年に発表した以降のことである。

外部リンク

●Aczel, Peter (1988), Non-well-founded sets, CSLI Lecture Notes, 14, Stanford, CA: Stanford University, Center for the Study of Language and Information, pp. xx+137, ISBN 0-937073-22-9, MR0940014, https://archive.org/details/nonwellfoundedse0000acze/page/. 

●Moss, Lawrence S (2008). “Non-wellfounded set theory”. Stanford Encyclopedia of Philosophy. https://plato.stanford.edu/entrieS/nonwellfounded-set-theory/. 

●辻下徹. (1994). 非有基的集合論入門 http://ac-net.org/tjst/doc/tjst/92hyperset.pdf

●辻下徹﹁非有基的集合論の紹介 : 自己言及的状況の表現法として(複雑さの理論,基研長期研究会﹁複雑系﹂,研究会報告)﹂﹃物性研究﹄第63巻第6号、物性研究刊行会、1995年3月、663-666頁、CRID 1050564285578632448、hdl:2433/95526、ISSN 0525-2997。 

●向井国昭﹁超集合論 : circularity の論理の現在﹂﹃科学哲学﹄第36巻第2号、日本科学哲学会、2003年、65-77頁、CRID 1390282680060409728、doi:10.4216/jpssj.36.2_65、ISSN 02893428。