Y-Δ変換

Δ接続回路とY接続回路

Y-Δ変換︵ワイ-デルタへんかん、Y-Δ transform)、スターデルタ変換(star-delta transform)、T-Π変換(ティ-パイへんかん、T-Π transform)とは、Y字型に接続したY接続︵Y diagram︶回路と、三角形に接続したΔ接続︵Δ diagram︶回路が、等価の回路になるように変換する手法である。回路の形状がアルファベットのY・Tやギリシア文字のΔに見えることからこの名前がつけられた。なお、イギリスではY接続回路をスター接続(star diagram)回路と呼ぶ。

一部の文献では、Y接続からΔ接続への変換をY-Δ変換と定義し、逆変換(Δ接続からY接続への変換)を、Δ-Y変換、デルタスター変換、Π-T変換と記載している。

Y-Δ変換の基本

変換は図に示す3端子の回路で行なわれる。それぞれの回路の端子は同一の端子である必要がある。この変換式は、実数(抵抗素子)の場合だけでなく、複素数(容量素子、誘導素子)の場合でも成立する。

Δ回路からY回路への変換

一般に、Y接続回路のある端子に接続されるインピーダンスRyは、Δ接続回路で隣接するノードへのインピーダンス$R'$$R'$と$R''$$R''$から次のように表される。

$R_{y}={\frac {R'R''}{\sum R_{\Delta }}}$$R_{y}={\frac {R'R''}{\sum R_{\Delta }}}$
ただし、$\sum R_{\Delta }$$\sum R_{\Delta }$はΔ接続回路の全てのインピーダンスの和である。これから次式が得られる。

$R_{a}={\frac {R_{ab}R_{ac}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}$$R_{a}={\frac {R_{ab}R_{ac}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}$
$R_{b}={\frac {R_{ab}R_{bc}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}$$R_{b}={\frac {R_{ab}R_{bc}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}$
$R_{c}={\frac {R_{bc}R_{ac}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}$$R_{c}={\frac {R_{bc}R_{ac}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}$
●上記公式の導出は、以下のように行う。

1. 並列接続した抵抗値を求める公式から以下の3式を導く

$R_{a}+R_{b}={\frac {R_{ab}(R_{bc}+R_{ac})}{R_{ab}+(R_{bc}+R_{ac})}}$$R_{a}+R_{b}={\frac {R_{ab}(R_{bc}+R_{ac})}{R_{ab}+(R_{bc}+R_{ac})}}$
$R_{b}+R_{c}={\frac {R_{bc}(R_{ac}+R_{ab})}{R_{bc}+(R_{ac}+R_{ab})}}$$R_{b}+R_{c}={\frac {R_{bc}(R_{ac}+R_{ab})}{R_{bc}+(R_{ac}+R_{ab})}}$
$R_{c}+R_{a}={\frac {R_{ac}(R_{ab}+R_{bc})}{R_{ca}+(R_{ab}+R_{bc})}}$$R_{c}+R_{a}={\frac {R_{ac}(R_{ab}+R_{bc})}{R_{ca}+(R_{ab}+R_{bc})}}$
2. 上記3式の両辺を足して、以下の式を導く

$R_{a}+R_{b}+R_{c}={\frac {R_{ab}R_{bc}+R_{bc}R_{ac}+R_{ac}R_{ab}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}$$R_{a}+R_{b}+R_{c}={\frac {R_{ab}R_{bc}+R_{bc}R_{ac}+R_{ac}R_{ab}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}$
3. 元の3式との差を取ることで、インピーダンスを計算する式が導きだせる

例︶

$R_{b}+R_{c}={\frac {R_{bc}(R_{ac}+R_{ab})}{R_{bc}+R_{ac}+R_{ab}}}$$R_{b}+R_{c}={\frac {R_{bc}(R_{ac}+R_{ab})}{R_{bc}+R_{ac}+R_{ab}}}$
との差を取ると、

$R_{a}={\frac {R_{ab}R_{ac}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}$$R_{a}={\frac {R_{ab}R_{ac}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}$

Y回路からΔ回路への変換

一般に、Δ接続回路のある端子間に接続されるインピーダンス$R_{\Delta }$$R_{\Delta }$は、以下の式で表される。

$R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\mathrm {opposite} }}}$$R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\mathrm {opposite} }}}$
ただし、$R_{P}=R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}$$R_{P}=R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}$であり、Y接続回路中のインピーダンスの2つの積の和である。$R_{\mathrm {opposite} }$$R_{\mathrm {opposite} }$は、$R_{\Delta }$$R_{\Delta }$に対抗する辺のインピーダンスである。これから次式が得られる。

$R_{ab}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}}$$R_{ab}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}}$
$R_{bc}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{a}}}$$R_{bc}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{a}}}$
$R_{ac}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{b}}}$$R_{ac}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{b}}}$

グラフ理論

グラフ理論ではY-Δ変換は、グラフ中のYのサブグラフを同等のΔのサブグラフに置き換えることである。この変換はグラフのエッジの数を増加させることは無いが、グラフのノードの数を増加させる。2つのグラフは、Y-Δ変換と逆変換を行い、もとに戻るのであるなら、Y-Δ等価であるという。例えば、ピーターセングラフはY-Δ等価なクラスである。