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数学に関するk_wizardのブックマーク (467)

  • 組合せ（nCr）の分子が、分母で必ず割れるってすごくない？

    「組合せ」と言うくらいだから、その値は必ず整数になる。 つまり、組合せを計算する際の分子は必ず分母で割りきれるわけ。 これって、誰も言わないけど、かなり驚きのことだと思う。 例えば、10×9×8×7×6が5×4×3×2×1で割りきれるかって考えてみてほしいんだけど、計算しないですぐわかる？ 直感的にはわからないじゃん。でもこれって、10C5の分子と分母だから、割りきれるわけですよ。 他にも、111×110×99×98×97×96×95が7×6×5×4×3×2×1で割れるとか、わからないでしょ。 これも、111C7の分子と分母だから割りきれるの。 すごさがわかったよね？ もっとすごいのは、これが一般的に言えること。 すなわち、組合せnCrって、任意の整数nから下に連続するr個の整数を、r×r-1×…×2×1で割った値だけど、 こんな変な割り算が、自然数nとrがどんな値でも常に整数になるなんて

    組合せ（nCr）の分子が、分母で必ず割れるってすごくない？

  • 【T】ヒルベルトの無限ホテル

    YouTube版 https://youtu.be/25omHU5UIUk©UTJ/UCL

    【T】ヒルベルトの無限ホテル

  • マイナス１かけるマイナス１が、なぜ１なんだ問題 | 今日も8時間睡眠


    中学校の数学で出てくる難問、(-1)×(-1)=1。この説明をいろんなパターンでしてみたいと思います。 このブログは普段888文字ですが、今回は8888文字バージョンです。長いです。後半は本気出して数学的に厳密にやってるんで、相当長くなりました。 身近な話題で考えてみる 髪の毛が毎日1本抜ける人がいたとします。じゃあ、3日後は今から何本減るか。3本減りますよね。5日後は？　5本減りますよね。じゃあ逆に、昨日はどうだったでしょう。昨日は今と比べて髪の毛はどうだったか。1本抜ける前だから、昨日は今よりも1本多いですよね。 時間がたつ︵＋︶につれ減っていく︵－︶ものは、過去︵－︶にさかのぼれば増える︵＋︶ということ。だから、(-1)×(-1)=1になるんですね。はいはい、今は○○さんの髪の話はしてませんよー。 ︻コメント︼ イメージがわけばどんな具体例でもいいと思います。数学が興味ない人にも理解
    マイナス１かけるマイナス１が、なぜ１なんだ問題 | 今日も8時間睡眠

  • 確率は観測可能なのか？ - hiroyukikojima’s blog

    ぼくの新著『確率を攻略する　ギャンブルから未来を決める最新理論まで』ブルーバックスが、そろそろ店頭に並んでいる頃なので、販促の追い打ちをかけておこう。 「まえがき」については、前回(来週に新著が出ます！ 確率の本です！ - hiroyukikojimaの日記)に晒したし、それは『現代ビジネス』(数学者もギャンブラーも投資家も超夢中 世界は確率で動いている！（小島 寛之） | ブルーバックス | 講談社)にも掲載されたので、今回は、もうちょっと、この本に込めたぼくの「個人的想い」のようなものを綴ってみようと想う。 確率を攻略する ギャンブルから未来を決める最新理論まで (ブルーバックス) 作者: 小島寛之出版社/メーカー: 講談社発売日: 2015/07/17メディア: 新書この商品を含むブログ (6件) を見るこの本でぼくが問題提起したかったのは、「確率は観測可能なのか？」ということ、もっ

    確率は観測可能なのか？ - hiroyukikojima’s blog

  • モンテカルロ法で次元の呪いを体験する - ぷる日記


    MCMC講義︵伊庭幸人︶ 難易度 - YouTube を観ていたところ、﹁(モンテカルロ法で円周率を求めるのは高次元になるとうまく行かなくなるので)一度は必ずやってみるべし！﹂と言われたのでやってみました。(4:17～) もちろんSASで。N次元単位超球の(超)体積 超球を包む1辺の長さが2の超立方体の(超)体積 円周率を求める コードをシンプルにするために球の中心を原点にとり、すべての次元に対して正の方向のみを考えます。すると、球内部の体積は、単位立方体の体積はとなります。 この立方体の中に一様ランダムに点を打っていったときに、点を打った数と球の中に点が入ったときの数の比率が立方体の体積に対する球内部の体積の比率に近くなることが期待できます。 式で書くと、 について整理すると となります。*1 コード %macro pi(dim=, rep=); data pi; do i = 1 t

  • 次元の呪い - Wikipedia


    英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン︵Google翻訳︶。 万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。 信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。 履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。 翻訳後、{{翻訳告知|en|Curse of dimensionality|…}}をノートに追加することもできます。 Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻訳の手順・指

  • 「虚数って何？意味あんの？」と高校生に言われたらどう答えるか


    高校数学で複素数を習った際、 ﹁何これ？何の意味があるの？﹂ という疑問を持った人は多いのではないでしょうか。 それまでは、 ﹁2次方程式は、解を持つ場合と持たない場合がある﹂ という話だったのに、それを無理矢理 ﹁2乗すると-1になる数を考えて解いてみましょう﹂ と言って計算させて、何なのこれは？という話です。 確かに、 ﹁虚数単位﹃i﹄は、普通の文字だと思って計算し、ただし、2乗すると-1になる﹂ という計算ルールに従って計算すれば、式変形はできるのですが、 なぜそんな計算をする必要があるのでしょうか？ そこで、 ﹁数の概念を拡張してまで解きたい二次方程式﹂ として、数列の三項間漸化式を考えてみたいと思います。 複素数というものを新たに導入する動機づけがほしい ﹁何の役に立つのか？﹂ を簡単に説明する事例を挙げるのは、結構難しいです。 三次方程式の解の公式︵カルダノの公式︶で必要になる
    「虚数って何？意味あんの？」と高校生に言われたらどう答えるか

  • 有限生成アーベル群 - Wikipedia

    有限生成アーベル群（ゆうげんせいせいアーベルぐん、英：Finitely_generated_abelian_group）とは、抽象代数学において、アーベル群 (G,+) が有限生成 (finitely generated) であるとは、G の有限個の元 x1,...,xs が存在して、G のすべての元 x が n1,...,ns を整数として x = n1x1 + n2x2 + ... + nsxs の形に書けるということである。 この場合、集合 {x1,...,xs} を G の生成系あるいは生成集合 (generating set) といい、 x1, ..., xs は G を 生成する (generate) という。 明らかに、すべての有限アーベル群は有限生成である。有限生成アーベル群は単純な構造をもっており、以下で説明するように完全に分類することができる。 例[編集] 整数全体の成

  • ベルトランの逆説 - Wikipedia


    この項目では、確率論におけるベルトランのパラドックスについて説明しています。経済学におけるベルトランのパラドックスについては﹁ベルトランのパラドックス (経済学)﹂をご覧ください。 ベルトランの逆説︵ベルトランのぎゃくせつ、英: Bertrand paradox︶は、確率論の古典的解釈において発生する問題である。ジョゼフ・ベルトランが著作Calcul des probabilitésで、確率変数を導入する方法やメカニズムが明確に定義されない場合、確率がうまく定義できない場合があることを示す例として与えた。 ベルトランによる問題の定式化[編集] ベルトランのパラドックスは以下のようなものである。 ﹁円に内接する正三角形を考える。その円の弦を1本無作為に選ぶ。その弦が正三角形の辺よりも長くなる確率はどれだけか？﹂ ベルトランはこれに関して3つの主張を述べた。どれももっともらしく見えるが、結果は
    ベルトランの逆説 - Wikipedia

  • ベルトランの逆説とは (ベルトランノパラドックスとは) [単語記事] - ニコニコ大百科

    ベルトランの逆説単語 2件 ベルトランノパラドックス 1.1千文字の記事 5 0pt ほめる 掲示板へ 記事編集 問題関連動画関連商品関連コミュニティ関連項目掲示板ベルトランの逆説とは、『任意』の解釈により答えが変わってしまうパラドックスである。 問題 半径rの円に任意の弦を引いたとき、その弦の長さが円に内接する正三角形の1辺の長さ(√3r)よりも長くなる確率を求めよ。 Answer.1 円の直径に直交する直線を任意に取ったとき、 その直線が成す弦の長さが正三角形の1辺の長さ√3rよりも長くなるのは、円の直径の一端からの長さx(0＜x＜2r)がr/2＜x＜3r/2のxに直交する直線を引いた弦のとき。 よって、(3r/2-r/2) / (2r-0) = (r) / (2r) = 1/2。 Answer.2 円周上の点Aから弦の一端となる点Bを任意に取ったとき、 弦の長さが正三角形の1辺の長さ

    ベルトランの逆説とは (ベルトランノパラドックスとは) [単語記事] - ニコニコ大百科
    k_wizard
    k_wizard 2015/02/16
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  • 連続体仮説とは (レンゾクタイカセツとは) [単語記事] - ニコニコ大百科

    連続体仮説単語 3件 レンゾクタイカセツ 4.9千文字の記事 17 0pt ほめる 掲示板へ 記事編集 概要説明 関連項目関連動画 掲示板数学における連続体仮説とは 「可算濃度より大きい最小の濃度は連続体濃度じゃねえの？仮説」 の事である。 概要 .┌､　　 　 　　　　　　　　　　(_　　／　　　　　　 　　　　　　ミ !. |　ヾ>　　　　連　　　　　　〈／｀ヽ _　　　　 　 　 　 　 　 ﾐ |. ! 　ノ|　　　　　　　　　　　,ｲ,.- ､　|　￣_￣丁 '' ｰ┬‐- -ﾐ ヽ二／　 　.　 　　　　　 /,|.l　　l　!　（　 ）　!　(´ ) !　 r‐ ry'〉　　　　 　　　　/ｲ,! `ｰ'　_L =- --┴-ﾆ二ﾄ､_'ｰ' lﾆ', r三)　　 続　　　|'J｣-''_二 =-- ‐一　ｰ‐t‐-ﾄ､ 二__ |_|　 　 　　　　　　ﾚ'／´ｨ ､___

    連続体仮説とは (レンゾクタイカセツとは) [単語記事] - ニコニコ大百科

  • 可算無限と非可算無限とは (カサンムゲントヒカサンムゲンとは) [単語記事] - ニコニコ大百科


    可算無限と非可算無限単語2件 カサンムゲントヒカサンムゲン 4.4千文字の記事 17 0pt ほめる 掲示板へ 記事編集 概要濃度2つの無限集合どうしの濃度を比較する自然数の濃度実数の濃度連続体仮説関連書籍関連リンク関連項目掲示板可算無限とは、数ある無限の中でも最も小さな無限。 非可算無限とは、可算無限より大きな無限。 概要 無限にも大小がある。 結論から言えば可算無限とは自然数の無限のことである。自然数というのは1とか2とか3とか１００みたいなごく普通の数のこと。スタンダードな数学の範囲ではこれより小さい無限は存在しない。これより大きい無限が非可算無限であり、例えば実数の無限がこれにあたる。実数というのは自然数とか分数とか無理数を全部含んでるもののこと。 一つずつ説明していく。 濃度 無限集合どうしの大きさを比較する尺度の一つに﹁濃度﹂というものがある。まず、集合の中に入ってるもの一つ
    可算無限と非可算無限とは (カサンムゲントヒカサンムゲンとは) [単語記事] - ニコニコ大百科

  • 現代数学における問題と困難（集合論）


    [ver. 3.95　　︵ 2012.11.11 ︶] ※　﹁発展編﹂の﹁正しいか？﹂の後に﹁注記﹂を加筆した。 ︵ 2012.09.03 ︶ ※　﹁専門解説編﹂の﹁公理9﹂の箇所 を加筆補充しました。 ︵ 2012.09.07 ︶ ※　﹁新まとめ﹂という 専門家向けのページを公開しました。 ︵ 2012.11.11 ︶ このホームページに示すことは、﹁現代数学を構築するには、集合論による方法のほかに、別の方法もある﹂ということだ。︵具体的に言えば、﹁区体論による方法﹂である。︶ 以下で示すのは、数学に関する学術的な話である。とはいえ、前半︵Part１～Part３︶に関する限りは、論文というほど堅苦しくはない。一般の人々にも理解できるようなものだ。 対象とする読者は、知的好奇心のある人々である。教わったことを単に覚えるだけでなく、自分の頭で考えようとする人々である。ただし、数学の不得意な人

  • バーンサイドの補題 - Wikipedia

    バーンサイドの補題（英: Burnside's lemma）、あるいはバーンサイドの数え上げ補題、コーシー・フロベニウスの補題、軌道の数え上げ補題とは、対称性を考慮して数学的な対象を数え上げるときに有用な群論の結果である。 以下では G は有限群で集合 X に作用しているとする。群 G の各元 g に対して Xg で元 g によって固定されるすべての X の元からなる集合を表す。バーンサイドの補題は軌道の数 |X/G| は次の式で表せることを主張している[1]。 つまり軌道の数（これは自然数あるいは+∞）は群 G の元による固定点の数の平均（これも自然数あるいは+∞）と等しい。もし G が無限群ならば |G| による除法は定義されないが、その場合には次の基数に関する主張が成り立つ。 以下ではこの補題を使って立方体の面を3色で塗り分ける数を決定する。ただし回転させて一致するものは同一視する。

  • 超実数 - Wikipedia


    この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。︵このテンプレートの使い方︶ 出典検索?: "超実数" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL︵2023年7月︶ 原文と比べた結果、この記事には多数の︵または内容の大部分に影響ある︶誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な表現に改訳できる方を求めています。 超実数︵ちょうじっすう、英: hyperreal number︶または超準実数︵ちょうじゅんじっすう、英: nonstandard reals︶と呼ばれる数の体系は無限大量や無限小量を扱う方法の一つである。超実数の全体 *R は実数体Rの拡大体であり、 の形に書けるいかなる数よりも大きい元を

  • 順序体 - Wikipedia


    数学における順序体︵じゅんじょたい、英: ordered field︶とは、全順序をもつ体で、その順序が体の演算と両立するもののことである。 順序体は標数 0 でなければならず、任意の自然数 0, 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, … は全て相異なる。従って順序体は無限個の元を含まねばならず、有限体には順序を定義することができない。 順序体の任意の部分体は、元の体の順序に関してそれ自身順序体を成す。任意の順序体は有理数体に同型な部分順序体を含む。任意のデデキント完備︵英語版︶順序体は実数体に同型である[1]。順序体において平方元は非負でなければならない。従って複素数体には︵虚数単位iの平方が −1 だから︶順序を定義することはできない。任意の順序体は実体である。 歴史的にはヒルベルト、ヘルダー、ハーンらを含む数学者たちによって徐々に公理化が進められ、1926年に順序体および︵形

  • -1×-1 = 1を証明してください。 例とか例えではなく、以下の「ペアノの公理による1+1=2の証明」と同じくらい厳密な証明をお願いいたします。…


    -1×-1 = 1を証明してください。 例とか例えではなく、以下の﹁ペアノの公理による1+1=2の証明﹂と同じくらい厳密な証明をお願いいたします。 http://d.hatena.ne.jp/tomo31415926563/20090110/1272413984 ペアノの公理 自然数は以下を満たす。 (1)自然数 0 が存在する。 (2)任意の自然数aにはその後者 (successor)、suc(a) が存在する︵suc(a) は a + 1 の "意味"︶。 (3)0 はいかなる自然数の後者でもない︵0 より前の自然数は存在しない︶。 (4)異なる自然数は異なる後者を持つ。つまり a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。 (5) 0 がある性質を満たし、aがある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。 ペア
    k_wizard
    k_wizard 2014/11/03
    ブクマしてなかったか
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  • 独立 (確率論) - Wikipedia


    確率論における独立︵どくりつ、英: independent︶とは、2つの事象が何れも起こる確率がそれぞれの確率の積に等しいことをいう。一方の事象が起こったことが分かっても、他方の事象の確率が変化しないことを意味する。 この﹁独立﹂の概念は、2個以上の事象、2個以上の確率変数、2個以上の試行に対して定義される。2つの確率変数が独立であるとは、﹁ある確率変数の値が一定範囲に入る事象﹂と﹁別の確率変数の値が別の一定範囲に入る事象﹂が、考えられるどのような﹁一定範囲﹂︵﹁考えられる﹂とは通常ボレル集合族を指す︶を定めても事象として独立であることをいう。2つの確率変数が独立である場合は、一方の変数が値をとっても、他方の変数の確率分布が変化しないことを意味する[1]。 確率論における独立は、他の分野における独立性の概念と区別する意味で、確率論的独立︵かくりつろんてきどくりつ、英: stochasti
    k_wizard
    k_wizard 2014/11/03
    「同様に確からしい」
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  • atpages.jp - このウェブサイトは販売用です！ - atpages リソースおよび情報

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  • 伝説の入試問題（数学）＠受験の月


    伝説の入試問題︵数学︶について 良問・難問・奇問であるが故に伝説となっている(と個人的に思う)大学入試の数学の問題を集めてみた。 2013年　センター試験　つかれた盲点！1ヶ所で27点が奪われた！ 2010年　センター試験　センターレベルを超えた高難度の問題2連発がもたらした惨劇 2006年　京都大学　最も短い入試問題 2003年　東京大学　円周率を3にしようとするゆとり教育への警告？ 2002年　静岡大学　正確なグラフの図示で現れる世界遺産 1999年　東京大学　公式丸暗記に対する警告？ 1998年　東京大学　大学入試史上No.1の超難問 1998年　信州大学　フェルマーの最終定理 1995年　京都大学　自分の点数を自分で決められる？ 1993/2008年　東京工業大学　15年の時をまたいで難問再び！1行の記述で30点満点の10点？ この問題の図を描いてみると下のようになる。APの長さは
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