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Test de Shapiro-Wilk

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Enstatistique, le test de Shapiro–Wilk teste l'hypothèse nulle selon laquelle un échantillon ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ est issu d'une population normalement distribuée. Il a été publié en 1965 par Samuel Sanford ShapiroetMartin Wilk^[1].

Théorie[modifier | modifier le code]

Lastatistique de test ${\displaystyle W}$ est:

${\displaystyle W={\left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}x_{($i)}\right)^{2} \over \sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}

où

• x_(i) (avec des parenthèses entourant l'indice i) désigne la ième statistique d'ordre, i.e., le ième plus petit nombre dans l'échantillon;
• ${\displaystyle {\overline {x}}={\tfrac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})}$ est la moyenne de l'échantillon;
• la constante a_i est donnée par ^[2]

${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})={m^{\top }V^{-1} \over (m^{\top }V^{-1}V^{-1}m)^{1/2}}}$

où

${\displaystyle m=(m_{1},\dots ,m_{n})^{\top }\,}$

et${\displaystyle m_{1},\dots ,m_{n}}$ sont les espérances des statistiques d'ordre d'un échantillon de variables iid suivant une loi normale, et V est la matrice de variance-covariance de ces statistiques d'ordre.

Pour conclure, ${\displaystyle W}$ est alors comparé à une table^[3].

Interprétation[modifier | modifier le code]

Sachant que l'hypothèse nulle est que la population est normalement distribuée,

• si la p-value est inférieure à un niveau alpha choisi (par exemple 0.05), alors l'hypothèse nulle est rejetée (i.e. il est improbable d'obtenir de telles données en supposant qu'elles soient normalement distribuées).
• si la p-value est supérieure au niveau alpha choisi (par exemple 0.05), alors on ne doit pas rejeter l'hypothèse nulle. La valeur de la p-value alors obtenue ne présuppose en rien de la nature de la distribution des données.

Voir aussi Q-Q plotoudroite de Henry.

Mise en œuvre[modifier | modifier le code]

• shapiro.test() avec R.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

• Loi normale
• Test de Kolmogorov-Smirnov
• Droite de Henry

Références[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

• Algorithm AS R94 (Shapiro Wilk) FORTRAN code
• Shapiro–Wilk Normality Test in CRAN
• Shapiro–Wilk Normality Test in QtiPlot
• How do I interpret the Shapiro-Wilk test for normality?
• Online version of the Shapiro-Wilk test
• Test de Shapiro avec R
• Test de Shapiro avec Python

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Tests de comparaison de deux variables	Deux variables quantitatives : Tests de corrélation Corrélation de Pearson Corrélation de Spearman Corrélation de Kendall Deux variables qualitatives Test exact de Fisher Test du χ² d'indépendance Test Gamma Plus de deux variables Concordance de Kendall Analyse de variance multivariée Test Q de Cochran
Tests d'adéquation à une loi	Test de Kolmogorov-Smirnov Test du χ² d'adéquation Test de Jarque-Bera Test de Lilliefors Test d'Anderson-Darling Test de D'Agostino Test de Cramer-Von Mises
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