数 学 に お い て 、 逆 三 角 関 数 ︵ ぎ ゃ く さ ん か く か ん す う 、 逆 三 角 函 数 、 英 : i n v e r s e t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n 、 時 折 c y c l o m e t r i c f u n c t i o n [ 1 ] ︶ は ︵ 定 義 域 を 適 切 に 制 限 し た ︶ 三 角 関 数 の 逆 関 数 で あ る 。 具 体 的 に は 、 そ れ ら は 正 弦 ( s i n e ) 、 余 弦 ( c o s i n e ) 、 正 接 ( t a n g e n t ) 、 余 接 ( c o t a n g e n t ) 、 正 割 ( s e c a n t ) 、 余 割 ( c o s e c a n t ) 関 数 の 逆 関 数 で あ る 。 こ れ ら は 三 角 関 数 値 か ら 角 度 を 得 る た め に 使 わ れ る 。 逆 三 角 関 数 は 工 学 、 航 法 、 物 理 学 、 幾 何 学 に お い て 広 く 使 わ れ る 。
逆 三 角 関 数 の 表 記 は た く さ ん あ る 。 し ば し ば s i n − 1 ( x ) , c o s − 1 ( x ) , t a n − 1 ( x ) な ど の 表 記 が 使 わ れ る が 、 こ の 慣 習 は よ く 使 わ れ る s i n 2 ( x ) と い っ た 、 写 像 の 合 成 で は な く 冪 乗 を 意 味 す る 表 記 と 混 同 し 、 そ れ ゆ え 合 成 的 逆 と 乗 法 逆 元 と の 混 乱 を 起 こ す 可 能 性 が あ る 。 三 角 関 数 に は 各 逆 数 に 名 称 が 付 さ れ て お り 、 ( c o s x ) − 1 = s e c x と い っ た 事 実 に よ り 混 乱 は 幾 分 改 善 さ れ る 。 著 者 に よ っ て は 別 の 慣 習 表 記 も あ り [ 2 ] 、 S i n − 1 ( x ) , C o s − 1 ( x ) な ど の よ う に 、 大 文 字 の ︵ 英 語 版 ︶ 最 初 の 文 字 を − 1 の 右 上 添 え 字 と と も に 用 い る と い う 表 記 が あ る 。 こ れ は s i n − 1 ( x ) , c o s − 1 ( x ) な ど に よ っ て 表 現 さ れ る べ き 乗 法 逆 元 と の 混 乱 を 避 け る 。 一 方 、 語 頭 の 大 文 字 を 主 値 を 取 る こ と を 意 味 す る た め に 使 う 著 者 も い る [ 3 ] 。 ま た 別 の 慣 習 は 接 頭 辞 に a r c - を 用 い る こ と で あ り 、 右 上 の − 1 の 添 え 字 の 混 乱 は 完 全 に 解 消 さ れ る 。 そ の 際 の 表 記 は a r c s i n ( x ) , a r c c o s ( x ) , a r c t a n ( x ) , a r c c o t ( x ) , a r c s e c ( x ) , a r c c s c ( x ) と な る 。 本 記 事 で は 全 体 的 に こ の 慣 習 を 表 記 に 用 い る 。 コ ン ピ ュ ー タ 言 語 で は 、 逆 三 角 関 数 の 表 記 は 通 常 a s i n , a c o s , a t a n が 使 わ れ て い る 。
6 つ の 三 角 関 数 は い ず れ も 単 射 で な い か ら 、 多 価 関 数 で あ る 。 逆 関 数 を 考 え る に は 、 変 域 を 制 限 す る 。 そ れ ゆ え 逆 関 数 の 値 域 は も と の 関 数 の 定 義 域 の 真 の 部 分 集 合 で あ る 。
例 え ば 、 平 方 根 関 数 y = √ x は y 2 = x か ら 定 義 で き る の と 同 様 に 、 関 数 y = a r c s i n ( x ) は s i n ( y ) = x で あ る よ う に 定 義 さ れ る 。 s i n y = x と な る 数 y は 無 数 に あ る ‥ 例 え ば 0 = s i n 0 = s i n π = s i n 2 π = … と な っ て い る 。 返 す 値 を 1 つ だ け に す る た め に 、 関 数 は そ の 主 枝 ︵ 英 語 版 ︶ に 制 限 す る 。 こ の 制 限 の 上 で 、 定 義 域 内 の 各 x に 対 し て 表 現 a r c s i n ( x ) は そ の 主 値 と 呼 ば れ る た だ 1 つ の 値 だ け を 返 す 。 こ れ ら の 性 質 は す べ て の 逆 三 角 関 数 に つ い て 同 様 に 当 て は ま る 。
主 逆 関 数 は 以 下 の 表 に リ ス ト さ れ る 。
名前
通常の表記
定義
実数を与える x の定義域
通常の主値の終域ラジアン ）
通常の主値の終域度 ）
逆正弦 y = arcsin x x = sin y −1 ≤ x ≤ 1 −π / 2 y ≤ π / 2 −90° ≤ y ≤ 90°
逆余弦 y = arccos x x = cos y −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π 0° ≤ y ≤ 180°
逆正接 y = arctan x x = tan y すべての実数
−π / 2 y < π / 2 −90° < y < 90°
逆余接 y = arccot x x = cot y すべての実数
0 < y < π 0° < y < 180°
逆正割 y = arcsec x x = sec y x ≤ −1 or 1 ≤ x 0 ≤ y < π / 2 π / 2 y ≤ π 0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180°
逆余割 y = arccsc x x = csc y x ≤ −1 or 1 ≤ x −π / 2 y < 0 or 0 < y ≤ π / 2 −90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90°
︵ 注 意 ‥ 逆 正 割 関 数 の 終 域 を ( 0 ≤ y < π / 2 o r π ≤ y < 3 / 2 π ) と 定 義 す る 著 者 も い る 、 な ぜ な ら ば 正 接 関 数 が こ の 定 義 域 上 非 負 だ か ら で あ る 。 こ れ に よ っ て い く つ か の 計 算 が よ り 首 尾 一 貫 し た も の に な る 。 例 え ば 、 こ の 終 域 を 用 い て 、 t a n ( a r c s e c ( x ) ) = √ x 2 − 1 と 表 せ る 。 一 方 で 終 域 ( 0 ≤ y < π / 2 or π / 2 < y ≤ π ) を 用 い る 場 合 、 t a n ( a r c s e c ( x ) ) = ± √ x 2 − 1 と 書 か ね ば な ら な い 、 な ぜ な ら ば 正 接 関 数 は 0 ≤ y < π / 2 上 は 負 で な い が π / 2 < y ≤ π 上 は 正 で な い か ら で あ る 。 類 似 の 理 由 の た め 、 同 じ 著 者 は 逆 余 割 関 数 の 終 域 を ( − π < y ≤ − π / 2 o r 0 < y ≤ π / 2 ) と 定 義 す る 。 ︶
x が 複 素 数 で あ る こ と を 許 す 場 合 、 y の 終 域 は そ の 実 部 に の み 適 用 す る 。
逆 三 角 関 数 の 三 角 関 数 を 以 下 の 表 に 示 す 。 表 に あ る 関 係 を 導 く に は 、 単 純 に は 幾 何 学 的 な 考 察 か ら 、 直 角 三 角 形 の 一 辺 の 長 さ を 1 と し 、 他 方 の 辺 の 長 さ を 0 ≤ x ≤ 1 に と っ て ピ タ ゴ ラ ス の 定 理 と 三 角 比 の 定 義 を 適 用 す れ ば よ い ︵ 表 中 の 図 を 参 照 ︶ 。 こ の よ う な 幾 何 学 的 な 手 段 を 用 い な い 、 純 代 数 学 的 導 出 は よ り 長 い も の と な る 。
θ
{\displaystyle \theta }
sin
θ
{\displaystyle \sin \theta }
cos
θ
{\displaystyle \cos \theta }
tan
θ
{\displaystyle \tan \theta }
図
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin x}
sin
arcsin
x
=
x
{\displaystyle \sin \arcsin x=x}
cos
arcsin
x
=
1
−
x
2
{\displaystyle \cos \arcsin x={\sqrt {1-x^{2}}}}
tan
arcsin
x
=
x
1
−
x
2
{\displaystyle \tan \arcsin x={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arccos
x
{\displaystyle \arccos x}
sin
arccos
x
=
1
−
x
2
{\displaystyle \sin \arccos x={\sqrt {1-x^{2}}}}
cos
arccos
x
=
x
{\displaystyle \cos \arccos x=x}
tan
arccos
x
=
1
−
x
2
x
{\displaystyle \tan \arccos x={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}
arctan
x
{\displaystyle \arctan x}
sin
arctan
x
=
x
1
+
x
2
{\displaystyle \sin \arctan x={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
cos
arctan
x
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle \cos \arctan x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
tan
arctan
x
=
x
{\displaystyle \tan \arctan x=x}
arccot
x
{\displaystyle \operatorname {arccot} x}
sin
arccot
x
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle \sin \operatorname {arccot} x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
cos
arccot
x
=
x
1
+
x
2
{\displaystyle \cos \operatorname {arccot} x={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
tan
arccot
x
=
1
x
{\displaystyle \tan \operatorname {arccot} x={\frac {1}{x}}}
arcsec
x
{\displaystyle \operatorname {arcsec} x}
sin
arcsec
x
=
x
2
−
1
x
{\displaystyle \sin \operatorname {arcsec} x={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}
cos
arcsec
x
=
1
x
{\displaystyle \cos \operatorname {arcsec} x={\frac {1}{x}}}
tan
arcsec
x
=
x
2
−
1
{\displaystyle \tan \operatorname {arcsec} x={\sqrt {x^{2}-1}}}
arccsc
x
{\displaystyle \operatorname {arccsc} x}
sin
arccsc
x
=
1
x
{\displaystyle \sin \operatorname {arccsc} x={\frac {1}{x}}}
cos
arccsc
x
=
x
2
−
1
x
{\displaystyle \cos \operatorname {arccsc} x={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}
tan
arccsc
x
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle \tan \operatorname {arccsc} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
平 面 上 の 直 交 座 標 系 で 図 示 さ れ た a r c s i n ( x ) ︵ 赤 ︶ と a r c c o s ( x ) ︵ 青 ︶ の 通 常 の 定 義 に お け る 主 値 。
平 面 上 の 直 交 座 標 系 で 図 示 さ れ た a r c t a n ( x ) ︵ 赤 ︶ と a r c c o t ( x ) ︵ 青 ︶ の 通 常 の 定 義 に お け る 主 値 。
平 面 上 の 直 交 座 標 系 で 図 示 さ れ た a r c s e c ( x ) ︵ 赤 ︶ と a r c c s c ( x ) ︵ 青 ︶ の 主 値 。
余 角 ‥
arccos
x
=
π
2
−
arcsin
x
arccot
x
=
π
2
−
arctan
x
arccsc
x
=
π
2
−
arcsec
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\\operatorname {arccot} x&={\frac {\pi }{2}}-\arctan x\\\operatorname {arccsc} x&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x\end{aligned}}}
負 角 ‥
arcsin
(
−
x )
=
−
arcsin
x
arccos
(
−
x )
=
π
−
arccos
x
arctan
(
−
x )
=
−
arctan
x
arccot
(
−
x )
=
π
−
arccot
x
arcsec
(
−
x )
=
π
−
arcsec
x
arccsc
(
−
x )
=
−
arccsc
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin x\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos x\\\arctan(-x)&=-\arctan x\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot} x\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec} x\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc} x\end{aligned}}}
逆 数 ‥
arccos
1 x
=
arcsec
x
arcsin
1 x
=
arccsc
x
arctan
1 x
=
π
2
−
arctan
x =
arccot
x ,
if
x >
0
arctan
1 x
=
−
π
2
−
arctan
x =
−
π
+
arccot
x ,
if
x <
0
arccot
1 x
=
π
2
−
arccot
x =
arctan
x ,
if
x >
0
arccot
1 x
=
3 2
π
−
arccot
x =
π
+
arctan
x ,
if
x <
0
arcsec
1 x
=
arccos
x
arccsc
1 x
=
arcsin
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos {\frac {1}{x}}&=\operatorname {arcsec} x\\\arcsin {\frac {1}{x}}&=\operatorname {arccsc} x\\\arctan {\frac {1}{x}}&={\frac {\pi }{2}}-\arctan x=\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x>0\\\arctan {\frac {1}{x}}&=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan x=-\pi +\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x<0\\\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\arctan x,{\text{ if }}x>0\\\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}&={\frac {3}{2}}\pi -\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,{\text{ if }}x<0\\\operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}&=\arccos x\\\operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}&=\arcsin x\end{aligned}}}
表 か ら s i n の 項 目 を 参 照 す れ ば ‥
arccos
x
=
arcsin
1 −
x
2
,
if
0
≤
x ≤
1
arctan
x
=
arcsin
x
1 +
x
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arctan x&=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\end{aligned}}}
こ こ で は 複 素 数 の 平 方 根 を 、 正 の 実 部 ︵ あ る い は 平 方 が 負 の 実 数 で あ れ ば 正 の 虚 部 ︶ を 持 つ よ う に 選 ぶ 。
半 角 公 式 ︵ 英 語 版 ︶
tan
θ
2
=
sin
θ
1 +
cos
θ
{\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}}
か ら 、 次 を 得 る ‥
arcsin
x
=
2 arctan
x
1 +
1 −
x
2
arccos
x
=
2 arctan
1 −
x
2
1 +
x
,
if
−
1 <
x ≤
+
1
arctan
x
=
2 arctan
x
1 +
1 +
x
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\\[1ex]\arccos x&=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}},{\text{ if }}-1<x\leq +1\\[1ex]\arctan x&=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\end{aligned}}}
arctan
u
+
arctan
v
=
arctan
u
+
v
1
−
u
v
(
mod
π
)
,
u
v
≠
1
.
{\displaystyle \arctan u+\arctan v=\arctan {\frac {u+v}{1-uv}}{\pmod {\pi }},\qquad uv\neq 1\,.}
これは正接の加法定理
tan
(
α
+
β
)
=
tan
α
+
tan
β
1
−
tan
α
tan
β
{\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}}
から
α
=
arctan
u
,
β
=
arctan
v
{\displaystyle \alpha =\arctan u\,,\quad \beta =\arctan v}
とすることで導かれる。
z の複素数値の導関数 は次の通りである：
d
d
z
arcsin
z
=
1
1
−
z
2
;
z
≠
±
1
d
d
z
arccos
z
=
−
1
1
−
z
2
;
z
≠
±
1
d
d
z
arctan
z
=
1
1
+
z
2
;
z
≠
±
i
d
d
z
arccot
z
=
−
1
1
+
z
2
;
z
≠
±
i
d
d
z
arcsec
z
=
1
z
2
1
−
z
−
2
;
z
≠
0
,
±
1
d
d
z
arccsc
z
=
−
1
z
2
1
−
z
−
2
;
z
≠
0
,
±
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}\arcsin z&={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}};\quad z\neq \pm 1\\{\frac {d}{dz}}\arccos z&={\frac {-1}{\sqrt {1-z^{2}}}};\quad z\neq \pm 1\\{\frac {d}{dz}}\arctan z&={\frac {1}{1+z^{2}}};\quad z\neq \pm i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccot} z&={\frac {-1}{1+z^{2}}};\quad z\neq \pm i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arcsec} z&={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-z^{-2}}}}};\quad z\neq 0,\pm 1\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccsc} z&={\frac {-1}{z^{2}{\sqrt {1-z^{-2}}}}};\quad z\neq 0,\pm 1\end{aligned}}}
x が実数である場合のみ、以下の関係が成り立つ：
d
d
x
arcsec
x
=
1
|
x
|
x
2
−
1
;
|
x
|
>
1
d
d
x
arccsc
x
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
;
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&={\frac {1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&={\frac {-1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\end{aligned}}}
導出例：θ = arcsin x
d
arcsin
x
d
x
=
d
θ
d
sin
θ
=
d
θ
cos
θ
d
θ
=
1
cos
θ
=
1
1
−
sin
2
θ
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d\arcsin x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {d\theta }{\cos \theta \,d\theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
導 関 数 を 積 分 し 一 点 で 値 を 固 定 す る と 逆 三 角 関 数 の 定 積 分 と し て の 表 現 が 得 ら れ る ‥
arcsin
x
=
∫
0
x
d z
1 −
z
2
,
|
x
|
≤
1
arccos
x
=
∫
x
1
d z
1 −
z
2
,
|
x
|
≤
1
arctan
x
=
∫
0
x
d z
z
2
+
1
,
arccot
x
=
∫
x
∞
d z
z
2
+
1
,
arcsec
x
=
∫
1
x
d z
z
z
2
−
1
,
x ≥
1
arcsec
x
=
π
+
∫
x
−
1
d z
z
z
2
−
1
,
x ≤
−
1
arccsc
x
=
∫
x
∞
d z
z
z
2
−
1
,
x ≥
1
arccsc
x
=
∫
−
∞
x
d z
z
z
2
−
1
,
x ≤
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&=\int _{0}^{x}{\frac {dz}{\sqrt {1-z^{2}}}},\qquad |x|\leq 1\\\arccos x&=\int _{x}^{1}{\frac {dz}{\sqrt {1-z^{2}}}},\qquad |x|\leq 1\\\arctan x&=\int _{0}^{x}{\frac {dz}{z^{2}+1}},\\\operatorname {arccot} x&=\int _{x}^{\infty }{\frac {dz}{z^{2}+1}},\\\operatorname {arcsec} x&=\int _{1}^{x}{\frac {dz}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}},\qquad x\geq 1\\\operatorname {arcsec} x&=\pi +\int _{x}^{-1}{\frac {dz}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}},\qquad x\leq -1\\\operatorname {arccsc} x&=\int _{x}^{\infty }{\frac {dz}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}},\qquad x\geq 1\\\operatorname {arccsc} x&=\int _{-\infty }^{x}{\frac {dz}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}},\qquad x\leq -1\end{aligned}}}
x = 1 で は 被 積 分 関 数 値 は 定 義 で き な い が 、 定 積 分 と し て は 広 義 積 分 と し て き ち ん と 定 義 さ れ て い る 。
正 弦 ・ 余 弦 関 数 の よ う に 、 逆 三 角 関 数 は 次 の よ う に 級 数 を 用 い て 計 算 で き る ‥
arcsin
z
=
∑
n =
0
∞
(
2 n
n
)
4
n
(
2 n +
1 )
z
2 n +
1
=
∑
n =
0
∞
(
2 n −
1 )
! !
(
2 n )
! !
z
2 n +
1
2 n +
1
=
z +
(
1 2
)
z
3
3
+
(
1 ⋅
3
2 ⋅
4
)
z
5
5
+
(
1 ⋅
3 ⋅
5
2 ⋅
4 ⋅
6
)
z
7
7
+
⋯
;
|
z
|
≤
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\binom {2n}{n}}{4^{n}(2n+1)}}z^{2n+1}\\&=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\dfrac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\&=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\dotsb ;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}
arccos
z
=
π
2
−
arcsin
z
=
π
2
−
∑
n =
0
∞
(
2 n
n
)
4
n
(
2 n +
1 )
z
2 n +
1
=
π
2
−
(
z +
(
1 2
)
z
3
3
+
(
1 ⋅
3
2 ⋅
4
)
z
5
5
+
⋯
)
;
|
z
|
≤
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos z&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&={\frac {\pi }{2}}-\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\binom {2n}{n}}{4^{n}(2n+1)}}z^{2n+1}\\&={\frac {\pi }{2}}-\left(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\dotsb \right);\quad |z|\leq 1\end{aligned}}}
arctan
z
=
∑
n =
0
∞
(
−
1
)
n
2 n +
1
z
2 n +
1
=
z −
z
3
3
+
z
5
5
−
z
7
7
+
⋯
;
|
z
|
≤
1 ,
z ≠
±
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\arctan z&=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}\\&=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\dotsb ;\quad |z|\leq 1,z\neq \pm i\end{aligned}}}
arccot
z
=
π
2
−
arctan
z
=
π
2
−
∑
n =
0
∞
(
−
1
)
n
2 n +
1
z
2 n +
1
=
π
2
−
(
z −
z
3
3
+
z
5
5
−
z
7
7
+
⋯
)
;
|
z
|
≤
1 ,
z ≠
±
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccot} z&={\dfrac {\pi }{2}}-\arctan z\\&={\frac {\pi }{2}}-\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}\\&={\frac {\pi }{2}}-\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\dotsb \right);\quad |z|\leq 1,z\neq \pm i\end{aligned}}}
arcsec
z
=
arccos
1 z
=
π
2
−
∑
n =
0
∞
(
2 n
n
)
4
n
(
2 n +
1 )
z
−
(
2 n +
1 )
=
π
2
−
(
z
−
1
+
(
1 2
)
z
−
3
3
+
(
1 ⋅
3
2 ⋅
4
)
z
−
5
5
+
⋯
)
;
|
z
|
≥
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&=\arccos {\frac {1}{z}}\\&={\frac {\pi }{2}}-\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\binom {2n}{n}}{4^{n}(2n+1)}}z^{-(2n+1)}\\&={\frac {\pi }{2}}-\left(z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\dotsb \right);\quad |z|\geq 1\end{aligned}}}
arccsc
z
=
arcsin
1 z
=
∑
n =
0
∞
(
2 n
n
)
4
n
(
2 n +
1 )
z
−
(
2 n +
1 )
=
z
−
1
+
(
1 2
)
z
−
3
3
+
(
1 ⋅
3
2 ⋅
4
)
z
−
5
5
+
⋯
;
|
z
|
≥
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccsc} z&=\arcsin {\frac {1}{z}}\\&=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\binom {2n}{n}}{4^{n}(2n+1)}}z^{-(2n+1)}\\&=z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\dotsb ;\quad |z|\geq 1\end{aligned}}}
レ オ ン ハ ル ト ・ オ イ ラ ー ( L e o n h a r d E u l e r ) は 逆 正 接 関 数 の よ り 効 率 的 な 級 数 を 見 つ け た ‥
arctan
z =
z
1 +
z
2
∑
n =
0
∞
∏
k =
1
n
2 k
z
2
(
2 k +
1 )
(
1 +
z
2
)
.
{\displaystyle \arctan z={\frac {z}{1+z^{2}}}\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }\prod \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.}
︵ n = 0 に 対 す る 和 の 項 は 1 で あ る 0 項 の 積 で あ る こ と に 注 意 す る 。 ︶
代 わ り に こ れ は 次 の よ う に も 書 け る [ 6 ] ‥
arctan
z =
∑
n =
0
∞
2
2 n
(
n !
)
2
(
2 n +
1 )
!
z
2 n +
1
(
1 +
z
2
)
n +
1
{\displaystyle \arctan z=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}\;{\dfrac {z^{\,2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}}
こ こ か ら 次 の 級 数 も 得 ら れ る ‥
(
arcsin
z
)
2
=
∑
n
=
0
∞
2
2
n
+
1
(
n
!
)
2
(
2
n
+
2
)
!
z
2
n
+
2
{\displaystyle (\arcsin z)^{2}=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {2^{2n+1}(n!)^{2}}{(2n+2)!}}\;z^{\,2n+2}}
逆 正 接 関 数 の 冪 級 数 の 2 つ の 代 わ り は こ れ ら の 一 般 化 連 分 数 ︵ 英 語 版 ︶ で あ る ‥
arctan
z
=
z
1 +
(
1 z
)
2
3 −
1
z
2
+
(
3 z
)
2
5 −
3
z
2
+
(
5 z
)
2
7 −
5
z
2
+
(
7 z
)
2
9 −
7
z
2
+
⋱
=
z
1 +
(
1 z
)
2
3 +
(
2 z
)
2
5 +
(
3 z
)
2
7 +
(
4 z
)
2
9 +
⋱
{\displaystyle {\begin{aligned}\arctan z&={\cfrac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}\\&={\cfrac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots \,}}}}}}}}}}\end{aligned}}}
こ れ ら の 2 番 目 は c u t 複 素 平 面 に お い て 有 効 で あ る 。 − i か ら 虚 軸 を 下 が っ て 無 限 の 点 ま で と i か ら 虚 軸 を 上 が っ て 無 限 の 点 ま で の 2 つ の c u t が あ る 。 そ れ は − 1 か ら 1 ま で 走 る 実 数 に 対 し て 最 も よ く 働 く 。 部 分 分 母 は 奇 数 で あ り 部 分 分 子 は ︵ 最 初 の 後 ︶ 単 に ( nz ) 2 で あ り 各 完 全 平 方 が 一 度 現 れ る 。 1 つ 目 は レ オ ン ハ ル ト ・ オ イ ラ ー に よ っ て 開 発 さ れ た 。 2 つ 目 は ガ ウ ス の 超 幾 何 級 数 ︵ 英 語 版 ︶ を 利 用 し て カ ー ル ・ フ リ ー ド リ ヒ ・ ガ ウ ス ( C a r l F r i e d r i c h G a u s s ) に よ っ て 開 発 さ れ た 。
実および複素値 x に対して：
∫
arcsin
x
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
∫
arccos
x
d
x
=
x
arccos
x
−
1
−
x
2
+
C
∫
arctan
x
d
x
=
x
arctan
x
−
1
2
log
(
1
+
x
2
)
+
C
∫
arccot
x
d
x
=
x
arccot
x
+
1
2
log
(
1
+
x
2
)
+
C
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
log
[
x
(
1
+
x
2
−
1
x
2
)
]
+
C
∫
arccsc
x
d
x
=
x
arccsc
x
+
log
[
x
(
1
+
x
2
−
1
x
2
)
]
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arccos x\,dx&=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arctan x\,dx&=x\arctan x-{\frac {1}{2}}\log \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot} x\,dx&=x\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\log \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&=x\operatorname {arcsec} x-\log \left[x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&=x\operatorname {arccsc} x+\log \left[x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right)\right]+C\end{aligned}}}
実数 x ≥ 1
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
log
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
∫
arccsc
x
d
x
=
x
arccsc
x
+
log
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&=x\operatorname {arcsec} x-\log \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&=x\operatorname {arccsc} x+\log \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}}
これらはすべて部分積分 と上で示された単純な導関数の形 を用いて導出できる。
∫
u
d
v =
u v −
∫
v
d
u
{\displaystyle \int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u}
を 用 い て 、
u
=
arcsin
x
d
v =
d
x
d
u
=
d
x
1 −
x
2
v =
x
{\displaystyle {\begin{aligned}u&=&\arcsin x&\quad \quad \mathrm {d} v=\mathrm {d} x\\\mathrm {d} u&=&{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}&\quad \quad v=x\end{aligned}}}
と お く 。 す る と
∫
arcsin
x
d
x =
x arcsin
x −
∫
x
1 −
x
2
d
x
{\displaystyle \int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x}
k =
1 −
x
2
{\displaystyle k=1-x^{2}}
と 置 換 す る 。 す る と
d
k =
−
2 x
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} k=-2x\,\mathrm {d} x}
そ し て
∫
x
1 −
x
2
d
x =
−
1 2
∫
d
k
k
=
−
k
{\displaystyle \int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} k}{\sqrt {k}}}=-{\sqrt {k}}}
x に 逆 置 換 す る と
∫
arcsin
x
d
x =
x arcsin
x +
1 −
x
2
+
C
{\displaystyle \int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}
が 出 る 。
各 三 角 関 数 は 引 数 の 実 部 に お い て 周 期 的 で あ り 、 2 π の 各 区 間 に お い て 2 度 す べ て の そ の 値 を 取 る 。 正 弦 と 余 弦 は ︵ k を 整 数 と し て ︶ 周 期 を 2 π k − π / 2 で 始 め 2 π k + π / 2 で 終 わ り 、 2 π k + π / 2 か ら 2 π k + 3 / 2 π ま で は 逆 に す る 。 コ サ イ ン と セ カ ン ト は 周 期 を 2 π k で 始 め 2 π k + π で 終 わ ら せ そ れ か ら 2 π k + π か ら 2 π k + 2 π ま で 逆 に す る 。 タ ン ジ ェ ン ト は 周 期 を 2 π k − π / 2 か ら 始 め 2 π k + π / 2 で 終 わ ら せ そ れ か ら 2 π k + π / 2 か ら 2 π k + 3 / 2 π ま で ︵ 前 へ ︶ 繰 り 返 す 。 コ タ ン ジ ェ ン ト は 周 期 を 2 π k で 始 め 2 π k + π で 終 わ ら せ そ れ か ら 2 π k + π か ら 2 π k + 2 π ま で ︵ 前 へ ︶ 繰 り 返 す 。
こ の 周 期 性 は k を 何 か 整 数 と し て 一 般 の 逆 に お い て 反 映 さ れ る ‥
sin
y
=
x
⇔
y
=
arcsin
x
+
2
k
π
or
y
=
π
−
arcsin
x
+
2
k
π
{\displaystyle \sin y=x\ \Leftrightarrow \ y=\arcsin x+2k\pi {\text{ or }}y=\pi -\arcsin x+2k\pi }
1つの方程式に書けば：
sin
y
=
x
⇔
y
=
(
−
1
)
k
arcsin
x
+
k
π
{\displaystyle \sin y=x\ \Leftrightarrow \ y=(-1)^{k}\arcsin x+k\pi }
cos
y
=
x
⇔
y
=
arccos
x
+
2
k
π
or
y
=
2
π
−
arccos
x
+
2
k
π
{\displaystyle \cos y=x\ \Leftrightarrow \ y=\arccos x+2k\pi {\text{ or }}y=2\pi -\arccos x+2k\pi }
1つの方程式に書けば：
cos
y
=
x
⇔
y
=
±
arccos
x
+
2
k
π
{\displaystyle \cos y=x\ \Leftrightarrow \ y=\pm \arccos x+2k\pi }
tan
y
=
x
⇔
y
=
arctan
x
+
k
π
{\displaystyle \tan y=x\ \Leftrightarrow \ y=\arctan x+k\pi }
cot
y
=
x
⇔
y
=
arccot
x
+
k
π
{\displaystyle \cot y=x\ \Leftrightarrow \ y=\operatorname {arccot} x+k\pi }
sec
y
=
x
⇔
y
=
arcsec
x
+
2
k
π
or
y
=
2
π
−
arcsec
x
+
2
k
π
{\displaystyle \sec y=x\ \Leftrightarrow \ y=\operatorname {arcsec} x+2k\pi {\text{ or }}y=2\pi -\operatorname {arcsec} x+2k\pi }
csc
y
=
x
⇔
y
=
arccsc
x
+
2
k
π
or
y
=
π
−
arccsc
x
+
2
k
π
{\displaystyle \csc y=x\ \Leftrightarrow \ y=\operatorname {arccsc} x+2k\pi {\text{ or }}y=\pi -\operatorname {arccsc} x+2k\pi }
直角三角形
逆 三 角 関 数 は 、 直 角 三 角 形 に お い て 、 辺 の 長 さ か ら 鋭 角 を 求 め る と き に 有 用 で あ る 。 例 え ば s i n の 直 角 三 角 形 に よ る 定 義 を 思 い 出 す と
θ
=
arcsin
opposite
hypotenuse
{\displaystyle \theta =\arcsin {\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}}
が 従 う 。 し ば し ば 、 斜 辺 ( h y p o t e n u s e ) は 未 知 で あ り a r c s i n や a r c c o s を 使 う 前 に 、 ピ タ ゴ ラ ス の 定 理 ‥ a 2 + b 2 = h 2 ︵ h は 斜 辺 の 長 さ ︶ を 使 っ て 計 算 さ れ る 必 要 が あ る 。 逆 正 接 関 数 は こ の 状 況 で 重 宝 す る 、 な ぜ な ら 斜 辺 の 長 さ は 必 要 な い か ら だ 。
θ
=
arctan
opposite
adjacent
.
{\displaystyle \theta =\arctan {\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}.}
例 え ば 、 7 メ ー ト ル 行 く と 3 メ ー ト ル 下 が る 屋 根 を 考 え よ う 。 こ の 屋 根 は 水 平 線 と 角 度 θ を な す 。 こ の と き θ は 次 の よ う に 計 算 で き る ‥
θ
=
arctan
opposite
adjacent
=
arctan
rise
run
=
arctan
3
7
≈
23.2
∘
.
{\displaystyle \theta =\arctan {\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}=\arctan {\frac {\text{rise}}{\text{run}}}=\arctan {\frac {3}{7}}\approx 23.2^{\circ }.}
a t a n 2 関 数 は 2 つ の 引 数 を 取 り 、 与 え ら れ た y , x に 対 し て y / x の 逆 正 接 関 数 値 を 計 算 す る 関 数 だ が 、 そ の 返 り 値 は ( − π , π ] の 範 囲 に 定 め る 。 言 い 換 え る と 、 a t a n 2 ( y , x ) は 座 標 平 面 の x 軸 の 正 の 部 分 と 点 ( x , y ) の 間 の 角 度 に 反 時 計 回 り の 角 度 ︵ 上 半 平 面 、 y > 0 ︶ に 正 の 符 号 、 時 計 回 り の 角 度 ︵ 下 半 平 面 、 y < 0 ︶ に 負 の 符 号 を 付 け た も の で あ る 。 a t a n 2 関 数 は 最 初 多 く の コ ン ピ ュ ー タ 言 語 に 導 入 さ れ た が 、 今 日 で は 他 の 科 学 や 工 学 の 分 野 に お い て も 一 般 的 に 用 い ら れ て い る 。 な お 、 マ イ ク ロ フ ト の E x c e l で は 引 数 の 順 番 が 逆 に な っ て い る 。
a t a n 2 は 標 準 的 な a r c t a n 、 す な わ ち 終 域 を ( − π / 2 , π / 2 ) に 持 つ 、 を 用 い て 次 の よ う に 表 現 で き る ‥
atan2
(
y ,
x )
=
{
arctan
y x
x >
0
arctan
y x
+
π
y ≥
0
,
x <
0
arctan
y x
−
π
y <
0
,
x <
0
π
2
y >
0
,
x =
0
−
π
2
y <
0
,
x =
0
u n d e f i n e d
y =
0
,
x =
0
{\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan {\dfrac {y}{x}}&\qquad x>0\\\arctan {\dfrac {y}{x}}+\pi &\qquad y\geq 0,x<0\\\arctan {\dfrac {y}{x}}-\pi &\qquad y<0,x<0\\{\dfrac {\pi }{2}}&\qquad y>0,x=0\\-{\dfrac {\pi }{2}}&\qquad y<0,x=0\\\mathrm {undefined} &\qquad y=0,x=0\end{cases}}}
そ れ は ま た 複 素 数 x + iy の 偏 角 の 主 値 に も 等 し い 。
こ の 関 数 は タ ン ジ ェ ン ト 半 角 公 式 ︵ 英 語 版 ︶ を 用 い て 次 の よ う に も 定 義 で き る ‥ x > 0 あ る い は y ≠ 0 な ら ば
atan2
(
y ,
x )
=
2 arctan
y
x
2
+
y
2
+
x
{\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)=2\arctan {\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}}
し か し な が ら こ れ は x ≤ 0 か つ y = 0 が 与 え ら れ る と 成 り 立 た な い の で 、 計 算 機 で 用 い る 定 義 と し て は 適 切 で は な い 。
上 の 引 数 の 順 序 ( y , x ) は 最 も 一 般 的 の よ う で あ り 、 特 に C 言 語 の よ う な I S O 規 格 に お い て 用 い ら れ る が 、 少 数 の 著 者 は 逆 の 慣 習 ( x , y ) を 用 い て い る た め 、 注 意 が 必 要 で あ る 。 こ れ ら の バ リ エ ー シ ョ ン は a t a n 2 に 詳 し い 。
x , y 共 に 0 の 場 合 、 イ ン テ ル の C P U の F P A T A N 命 令 、 J a v a プ ラ ッ ト フ ォ ー ム 、 . N E T F r a m e w o r k な ど は 下 記 ル ー ル に 従 っ て い る 。
atan2(+0, +0) = +0
atan2(+0, −0) = +π
atan2(−0, +0) = −0
atan2(−0, −0) = −π
多 く の 応 用 に お い て [ ど れ ? ] 方 程 式 x = t a n y の 解 y は 与 え ら れ た 値 − ∞ < η < ∞ に で き る だ け 近 い 値 を 取 る べ き で あ る 。 適 切 な 解 は パ ラ メ ー タ 修 正 逆 正 接 関 数
y =
arctan
η
x :=
arctan
x +
π
⋅
rni
η
−
arctan
x
π
{\displaystyle y=\arctan _{\eta }x:=\arctan x+\pi \cdot \operatorname {rni} {\frac {\eta -\arctan x}{\pi }}}
に よ っ て 得 ら れ る 。 丸 め 関 数
rni
{\displaystyle \operatorname {rni} }
は 引 数 に 最 も 近 い 整 数 を 与 え る ( r o u n d t o t h e n e a r e s t i n t e g e r ) 。
0 と π の 近 く の 角 度 に 対 し て 、 逆 余 弦 は 条 件 数 で あ り 、 計 算 機 に お い て 角 度 計 算 の 実 装 に 用 い る と 精 度 が 落 ち て し ま う ︵ 桁 数 の 制 限 の た め ︶ 。 同 様 に 、 逆 正 弦 は ± π / 2 の 近 く で 精 度 が 低 い 。 す べ て の 角 度 に 対 し て 十 分 な 精 度 を 達 成 す る に は 、 実 装 で は 逆 余 弦 あ る い は a t a n 2 を 使 う べ き で あ る 。
arctan はコーシー分布 の、arcsinは逆正弦分布 （英語版 ） 累積分布関数 である。
^ 例えば Dörrie, Heinrich (1965). Triumph der Mathematik . Trans. David Antin. Dover. p. 69. ISBN 0-486-61348-8
^ Prof. Sanaullah Bhatti; Ch. Nawab-ud-Din; Ch. Bashir Ahmed; Dr. S. M. Yousuf; Dr. Allah Bukhsh Taheem (1999). “Differentiation of Tigonometric, Logarithmic and Exponential Functions”. In Prof. Mohammad Maqbool Ellahi, Dr. Karamat Hussain Dar, Faheem Hussain (Pakistani English). Calculus and Analytic Geometry (First ed.). Lahore : Punjab Textbook Board. p. 140 ^ “逆三角関数―その多価関数性と主値 ”. 岡本良治. 2022年4月1日 閲覧。 ^ "Inverse trigonometric functions" in The Americana: a universal reference library , Vol.21, Ed. Frederick Converse Beach, George Edwin Rines, (1912).
^ 一松信 『教室に電卓を！ 3』海鳴社 、1986年11月。^ Chien-Lih, Hwang (2005). “89.67 An Elementary Derivation of Euler's Series for the Arctangent Function” . The Mathematical Gazette 89 (516): 469-470. ISSN 0025-5572 . https://www.jstor.org/stable/3621947 .
負角‥
逆数‥
表から sin の項目を参照すれば‥
ここでは複素数の平方根を、正の実部︵あるいは平方が負の実数であれば正の虚部︶を持つように選ぶ。
半角公式 
から、次を得る‥
![{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\\[1ex]\arccos x&=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}},{\text{ if }}-1<x\leq +1\\[1ex]\arctan x&=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3301b6cf4f7004e89a5b9eb543769cbf800456e6)
︵n = 0 に対する和の項は 1である 0 項の積であることに注意する。︶
これらの2番目は cut 複素平面において有効である。−i から虚軸を下がって無限の点までと iから虚軸を上がって無限の点までの2つの cut がある。それは −1 から 1まで走る実数に対して最もよく働く。部分分母は奇数であり部分分子は︵最初の後︶単に (nz)2 であり各完全平方が一度現れる。1つ目はレオンハルト・オイラーによって開発された。2つ目はガウスの超幾何級数を利用してカール・フリードリヒ・ガウス (Carl Friedrich Gauss) によって開発された。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arccos x\,dx&=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arctan x\,dx&=x\arctan x-{\frac {1}{2}}\log \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot} x\,dx&=x\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\log \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&=x\operatorname {arcsec} x-\log \left[x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&=x\operatorname {arccsc} x+\log \left[x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right)\right]+C\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b191070cce0f888e1974de90f44d5f7f35c09368)
ただし −i と +i の真の間にない虚軸の部分は主シートと他のシートの間の cut である‥
ただし︵平方根関数は負の実軸に沿って cut を持ち︶−1 と +1 の真の間にない実軸の部分は arcsin の主シートと他のシートの間の cut である‥
これは arcsin と同じ cut を持つ‥
これは arctan と同じ cut を持つ‥
ただし −1 と +1 の両端を含む間の実軸の部分は arcsec の主シートと他のシートの間の cut である‥
これは arcsec と同じ cut を持つ。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&=-i\log(ix+{\sqrt {1-x^{2}}})&=\operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}\\[10pt]\arccos x&=-i\log(x-i{\sqrt {1-x^{2}}})={\frac {\pi }{2}}+i\log(ix+{\sqrt {1-x^{2}}})={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x&=\operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}\\[10pt]\arctan x&={\frac {1}{2}}i\{\log(1-ix)-\log(1+ix)\}&=\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}\\[10pt]\operatorname {arccot} x&={\frac {1}{2}}i\left\{\log \left(1-{\frac {i}{x}}\right)-\log \left(1+{\frac {i}{x}}\right)\right\}&=\arctan {\frac {1}{x}}\\[10pt]\operatorname {arcsec} x&=-i\log \left(i{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {1}{x}}\right)=i\log \left({\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {i}{x}}\right)+{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc} x&=\arccos {\frac {1}{x}}\\[10pt]\operatorname {arccsc} x&=-i\log \left({\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {i}{x}}\right)&=\arcsin {\frac {1}{x}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc68ac41d98d258aa0b0adf4d28f9b32bfb4a4a)
ここで注意しておきたいことは、複素対数関数における主値は、複素数の偏角部分 arg の主値の取り方に依存して決まることである。それ故に、ここで示した対数表現における主値は、複素対数関数の主値を基準にすると、逆三角関数の主値で述べた通常の主値と一致しない場合があることに注意する必要がある。一致させたい場合は、対数部の位相をずらすことで対応できる。もし文献により異なる対数表現が与えられているような場合には、主値の範囲を異なる範囲で取る場合であると考えられるので、目的に応じて対数部の位相をずらす必要がある。
が従う。しばしば、斜辺 (hypotenuse) は未知であり arcsin や arccos を使う前に、ピタゴラスの定理‥a2 + b2= h2︵h は斜辺の長さ︶を使って計算される必要がある。逆正接関数はこの状況で重宝する、なぜなら斜辺の長さは必要ないからだ。
例えば、7メートル行くと3メートル下がる屋根を考えよう。この屋根は水平線と角度 θ をなす。このとき θ は次のように計算できる‥
それはまた複素数 x+ iyの偏角の主値にも等しい。
この関数はタンジェント半角公式を用いて次のようにも定義できる‥x > 0 あるいは y≠ 0 ならば
しかしながらこれは x≤ 0 かつ y= 0 が与えられると成り立たないので、計算機で用いる定義としては適切ではない。
上の引数の順序 (y, x) は最も一般的のようであり、特にC言語のようなISO規格において用いられるが、少数の著者は逆の慣習 (x, y) を用いているため、注意が必要である。これらのバリエーションは atan2 に詳しい。
x, y 共に 0 の場合、インテルの CPU の FPATAN 命令、Javaプラットフォーム、.NET Framework などは下記ルールに従っている。
によって得られる。丸め関数 
は引数に最も近い整数を与える (round to the nearest integer)。