ラグランジュの定理 (群論)

群論において、ラグランジュの定理（英語：Lagrange's theorem）とは、次のような定理である。

ラグランジュの定理 ― G を有限群とし、H を Gの部分群とする。このとき |G| = [G : H] |H| が成り立つ。ただし、[G : H] は Gにおける Hの指数である。

[G : H] に関しては#同値類による指数を参照。

定義

部分群による同値関係

群 Gの要素 x, yに関して、群 Gの部分群 Hの要素 hを用いて、x = yhとなるとき、x ～ yと定義する。G の単位元を eとすると、H は部分群だから e∈ Hであり、x = xeとなるので、x ～ xである。h ∈ Hのとき、H は部分群だから h⁻¹ ∈ Hとなるので、x ～ yのとき、x = yh⇔ xh⁻¹ = yとなり y～ xである。x, y, z∈ Gに関して、x ～ y, y～ zならば x= yh₁, y= zh₂(h₁, h₂∈ H) だから x= (zh₂)h₁ = z(h₂h₁) となる。H は部分群なので、h₂h₁ ∈ Hとなるから x～ zである。したがって、～ は同値関係になる。

同値関係による同値類

部分群 Hに関して、同値関係 ～ による同値類 {x ∈ G | x ～ a} は {x ∈ G | x = ah(h ∈ H)} になるから、aH に等しくなる。これを aの Hによる左剰余類︵left coset︶という。同値関係 ～ による同値類 aHの集合 {aH | a ∈ G} を G/H と書く。

部分群 Hが有限群の場合は H= {h₁, h₂, h₃, …, h_m} と表すことができて、左剰余類 aHは aH= {ah₁, ah₂, ah₃, …, ah_m} となる。

同値類の間の同型写像

部分群 Hから同値類 aHへの写像 φ_a : H→ aHを φ_a(h) = ahと定義するとき、φ_a(h₁) = φ_a(h₂) とすると、ah₁ = ah₂となるから、左から a⁻¹ を掛けて h₁= h₂となるので、写像 φ_a は単射になる。写像 φ_a による部分群 Hの像が aHだから写像 φ_a は全射になり、全単射になる。したがって、写像 φ_a の逆写像 φ_a⁻¹: aH→ Hは φ_a⁻¹(x) = a⁻¹x となる。これより、同値類 aHから同値類 bHへの写像 f : aH→ bHを f (x) = (φ_b⚬φ_a⁻¹)(x) = φ_b(φ_a⁻¹(x)) = ba⁻¹x と定義すると写像 fは全単射になる。したがって、任意の二つの同値類 aHと bHは同型となり、|aH| = |bH| = |H| となる。

同値類による指数

左剰余類の集合 G/H の要素の個数︵濃度︶である |G/H| を Gにおける Hの指数︵index of a subgroup Hin a group G︶と呼び、[G : H] または |G : H| または (G : H) と書く。

G/H が有限集合の場合は、G/H = {a₁H, a₂H, a₃H, …, a_kH} と表すことができて、[G : H] = |G/H| = kとなる。

G が有限群の場合は、以下のように書ける‥

${\begin{aligned}H&=\{h_{1},h_{2},h_{3},\dotsc ,h_{m}\},\\a_{1}H&=\{a_{1}h_{1},a_{1}h_{2},a_{1}h_{3},\dotsc ,a_{1}h_{m}\},\\a_{2}H&=\{a_{2}h_{1},a_{2}h_{2},a_{2}h_{3},\dotsc ,a_{2}h_{m}\},\\a_{3}H&=\{a_{3}h_{1},a_{3}h_{2},a_{3}h_{3},\dotsc ,a_{3}h_{m}\},\\\cdots \\a_{k}H&=\{a_{k}h_{1},a_{k}h_{2},a_{k}h_{3},\dotsc ,a_{k}h_{m}\},\\G/H&=\{a_{1}H,a_{2}H,a_{3}H,\dotsc ,a_{k}H\},\\G&=a_{1}H\cup a_{2}H\cup a_{3}H\cup \cdots \cup a_{k}H\ \ (i\neq j\Rightarrow a_{i}H\cap a_{j}H=\emptyset ).\end{aligned}}$

証明

有限群 Gの部分群 Hを {h₁, h₂, …, h_m} とすると、

$H=\{h_{1},h_{2},h_{3},\dotsc ,h_{m}\}.$ 

左剰余類 aHは {ah₁, ah₂, ah₃, …, ah_m} に等しくなるので、

$aH=\{ah_{1},ah_{2},ah_{3},\dotsc ,ah_{m}\}.$ 

このとき、H の要素 hに ahを対応させる写像を f‥H → aHとすると、f(h_i) = f(h_j) ⇔ ah_i= ah_jのとき、左から a⁻¹ を掛けて、h_i = h_jとなるので、写像 fは単射になる。

写像 fは Hを aHに写すから fは全射となるので、全単射になる。したがって、 Hと aHとは同じ個数の要素を待つから、|H| = |aH| = mとなる。

したがって、G の Hによる類別を考えると、以下のようになる。

${\begin{aligned}a_{1}H&=\{a_{1}h_{1},a_{1}h_{2},a_{1}h_{3},\dotsc ,a_{1}h_{m}\},\\a_{2}H&=\{a_{2}h_{1},a_{2}h_{2},a_{2}h_{3},\dotsc ,a_{2}h_{m}\},\\a_{3}H&=\{a_{3}h_{1},a_{3}h_{2},a_{3}h_{3},\dotsc ,a_{3}h_{m}\},\\\cdots \\a_{k}H&=\{a_{k}h_{1},a_{k}h_{2},a_{k}h_{3},\dotsc ,a_{k}h_{m}\},\\G/H&=\{a_{1}H,a_{2}H,a_{3}H,\dotsc ,a_{k}H\},\\G&=a_{1}H\cup a_{2}H\cup a_{3}H\cup \cdots \cup a_{k}H\ \ (i\neq j\Rightarrow a_{i}H\cap a_{j}H=\emptyset ).\end{aligned}}$ 

このとき、|H| = |a₁H| = |a₂H| = |a₃H| = … = |a_kH| = mとなるので、|G| = kmとなる。k = |G/H| = [G : H], m= |H| となるので、

$|G|=[G:H]\cdot |H|.$ 

Q.E.D.

拡張

ラグランジュの定理は群 Gにおける3つの部分群の指数の間に成り立つ等式に拡張できる。 以下では、H が群 Gの部分群であるとき、H ≤ Gまたは G≥ Hと表し、H が群 Gの部分群であり、かつ Kが群 Hの部分群であるとき、K ≤ H≤ Gまたは G≥ H≥ Kと表す。

ラグランジュの定理の拡張 ― $G\geq H\geq K\Longrightarrow [G:K]=[G:H]\,[H:K].$

証明 —  有限群 Gが部分群 Hによって以下のように類別されているとする‥

$G=a_{1}H\cup a_{2}H\cup a_{3}H\cup \cdots \cup a_{m}H.$ 

このとき、部分群 Hの Gにおける指数は $[G:H]=m$  になる。

有限群 Hが部分群 Kによって以下のように類別されているとする‥

$H=b_{1}K\cup b_{2}K\cup b_{3}K\cup \cdots \cup b_{n}K.$ 

このとき、部分群 Kの Hにおける指数は $[H:K]=n$  になる。

よって、H を Gに代入すると以下のように Gが部分群 Kによって類別される‥

${\begin{aligned}G=&a_{1}b_{1}K\cup a_{1}b_{2}K\cup a_{1}b_{3}K\cup \cdots \cup a_{1}b_{n}K\cup {}\\&a_{2}b_{1}K\cup a_{2}b_{2}K\cup a_{2}b_{3}K\cup \cdots \cup a_{2}b_{n}K\cup {}\\&a_{3}b_{1}K\cup a_{3}b_{2}K\cup a_{3}b_{3}K\cup \cdots \cup a_{3}b_{n}K\cup {}\\&\cdots \\&a_{m}b_{1}K\cup a_{m}b_{2}K\cup a_{m}b_{3}K\cup \cdots \cup a_{m}b_{n}K.\end{aligned}}$ 

したがって、部分群 Kの Gにおける指数は $[G:K]=mn$  になる。 よって、

$[G:K]=[G:H][H:K].$ 

Q.E.D.

G ≥ H≥ Kのとき K= {e} ︵e は群 Gの単位元︶とおくと [G : {e}] = |G| および [H : {e}] = |H| が成り立つ。したがって、元々の等式 |G| = [G : H] |H| を得る。

応用

系(1)

ラグランジュの定理には、次のような系がある。

ラグランジュの定理の系(1) ― G を有限群とし、H を Gの部分群とする。このとき部分群 Hの位数 |H| は群 Gの位数 |G| を割り切る。

$|H|\,{\bigg |}\,|G|$.

証明

G が有限群の場合は、指数 [G : H]（G における H の左剰余類の個数）が正の整数になるので、ラグランジュの定理から系が従う。

系(2)

ラグランジュの定理の系(2) ― 有限群 Gの任意の元 gの位数は群 Gの位数 |G| を割り切る。

$|\langle g\rangle |\,{\bigg |}\,|G|\Longleftrightarrow g^{|G|}=e$ .

証明

群 Gの任意の元 gで生成される巡回群 ⟨g⟩を考えればよい。巡回群 ⟨g⟩は Gの部分群になるので、その位数 |⟨g⟩| は群 Gの位数 |G| を割り切ることになる。

素数位数の有限群

素数位数の有限群 ― 有限群 G の位数が素数 p ならば、群 G は巡回群である。

証明

p ≧ 2 より、群 Gの単位元 e以外の元を xとすると、x が生成する巡回群 ⟨x⟩ は群 Gの部分群になるから、その位数 |⟨x⟩| は素数 pの約数になる。したがって、|⟨x⟩| = 1 または |⟨x⟩| = pになる。|⟨x⟩| = 1 の場合は、x = eとなり不適。|⟨x⟩| = pの場合は群 Gの位数と等しくなるので、G = ⟨x⟩ となり題意は示された。

フェルマーの小定理

フェルマーの小定理 ― p を素数とするとき、整数 x ∈ ℤ が p と互いに素ならば、x ^{p − 1} ≡ 1 (mod p) となる。

証明

位数 pの巡回群 (ℤ/pℤ) の乗法群 (ℤ/pℤ)^× = {1, 2, 3, … , p− 1} は位数 p− 1 の有限群になるから、(ℤ/pℤ)^× の任意の元を aとすると、ラグランジュの定理の系(2) より、a ^p − 1 = 1が成り立つ。したがって、a ∈ {1, 2, 3, …, p− 1} のとき a ^p − 1 − 1 が素数 pで割り切れるから、a ^p − 1 ≡ 1 (mod p) となる。よって、x ≡ a(mod p) のとき、x ^p − 1 ≡ a ^p − 1 (mod p) が成り立つので、x ^p − 1 ≡ 1 (mod p) を得る。

より一般に、合成数 nについても乗法群 (ℤ/nℤ)^× を考えれば、オイラーの定理を導くこともできる。

逆

ラグランジュの定理の逆が成立するか問うことができる。つまり、位数 nの有限群 Gと nを割り切る自然数 dが与えられたとき﹁位数が dである Gの部分群が存在するか﹂という問いである。よく知られているように、これは一般には存在しない。位数12である4次の交代群 G= A₄が位数6である部分群をもたないので、︵群 Gの位数が最小の︶反例を与えるからである。 一方、特別な状況では逆が成立することが知られている。その最たる例はシローの定理である。つまり位数 nを割り切る素数 pのべきで最大のもの d= n_pを考えると、位数 n_pの部分群︵シロー部分群︶が存在する。もうすこし一般に dが n_pを割り切るならば、位数 dの部分群が存在することもわかる。︵コーシーの定理も参照のこと。︶

歴史

ラグランジュは代数方程式の解法に関連して、多項式上の置換の理論でこの定理を証明しているが、これは現在の言い方でいう対称群の場合にあたる。当時はまだ群の概念が整備されていなかったので、ラグランジュ自身が群一般で考えていたわけではない。ただその性質は容易に抽象群へと拡張されるもので、現在でもそのままラグランジュの定理と呼ばれている。群論の定理としては、歴史上最初に出現したものである。

脚注

参考文献

●赤堀庸子﹁いわゆる﹁ラグランジュの定理﹂について﹂︵PDF︶﹃津田塾大学数学・計算機科学研究所報 第12回数学史シンポジウム(2001.10.20〜21)﹄第23号、津田塾大学数学・計算機科学研究所、2002年、133-143頁。 

●国吉秀夫﹃群論入門﹄高橋豊文 改訂︵新訂版︶、サイエンス社︿サイエンスライブラリ理工系の数学8﹀、2001年5月10日。ISBN 978-4-7819-0978-3。 

●星明考﹃群論序説﹄日本評論社、2016年3月25日。ISBN 978-4-535-78809-1。 

●雪江明彦﹃代数学　1　群論入門﹄日本評論社、2010年11月25日。ISBN 978-4-535-78659-2。 

●Gallian, Joseph A. (1993), “On the converse of Lagrange's theorem”, Math. Mag. 66(1): 23, doi:10.2307/2690467, MR1572926, Zbl 0796.20019, http://www.jstor.org/stable/2690467 

●Isaacs, I. Martin (2008), Finite Group Theory, Graduate Studies in Mathematics, 92, AMS, doi:10.1090/gsm/092, ISBN 978-0-8218-4344-4, MR2426855, Zbl 1169.20001, https://books.google.co.jp/books?id=pCLhYaMUg8IC 

関連項目

• コーシーの定理 (群論)
• ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ
• シローの定理

外部リンク

• ラグランジェの定理 - 物理のかぎしっぽ
• 2013 年度前期 離散数学 講義資料(9): 群 (PDF)
• Bray, Nicolas. "Lagrange's Group Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).

動画

• 【全8回】第6回「ラグランジュの定理」～部分群と位数の関係～【フェルマーの小定理と群論】 - YouTube - AKITOの特異点
• ラグランジュの定理［具体例で学ぶ代数学《群論》No.14］ - YouTube
• 群論06 剰余類〜ラグランジュの定理・フェルマーの小定理〜【ゼロから始める群論2020】 - YouTube