数 学 に お け る リ ー マ ン ゼ ー タ 関 数 ︵ リ ー マ ン ゼ ー タ か ん す う 、 英 : R i e m a n n z e t a f u n c t i o n 、 独 : R i e m a n n s c h e z e t a f u n k t i o n 、 中 : 黎 曼 泽 塔 函 数 ︶ は 、 18 世 紀 に バ ー ゼ ル 問 題 を 解 決 し た レ オ ン ハ ル ト ・ オ イ ラ ー に よ る ︵ 現 在 リ ー マ ン ゼ ー タ 関 数 と 呼 ば れ る ︶ 関 数 の 特 殊 値 に 関 す る 重 要 な 発 見 か ら 始 ま り 、 後 世 に よ り 重 要 な 貢 献 を し た ベ ル ン ハ ル ト ・ リ ー マ ン が 用 い た ζ に よ る 表 記 に ち な み 、 リ ー マ ン ゼ ー タ 関 数 ま た は リ ー マ ン の ゼ ー タ 関 数 と も 呼 ば れ る 。 リ ー マ ン ゼ ー タ 関 数 は 、 数 学 の 分 野 の ひ と つ で あ る 解 析 的 整 数 論 に お い て 素 数 分 布 の 研 究 を は じ め と し た 重 要 な 研 究 対 象 で あ り 、 数 論 や 力 学 系 の 研 究 を は じ め 数 学 や 物 理 学 な ど の 様 々 な 分 野 で 用 い ら れ て い る ゼ ー タ 関 数 と 呼 ば れ る 一 連 の 関 数 の 中 で も 、 最 も 歴 史 的 に 古 い も の で あ る 。
複 素 数 平 面 上 の リ ー マ ン ゼ ー タ 関 数 。 点 s に お け る 色 が ζ ( s ) の 値 を 表 し て お り 、 濃 い ほ ど 0 に 近 い 。 色 調 は そ の 値 の 偏 角 を 表 し て お り 、 例 え ば 正 の 実 数 は 赤 で あ る 。 s = 1 に お け る 白 い 点 は 極 で あ り 、 実 軸 の 負 の 部 分 お よ び 臨 界 線 Re s = 1 / 2 上 の 黒 い 点 は 零 点 で あ る 。
19 世 紀 を 代 表 す る 数 学 者 、 ベ ル ン ハ ル ト ・ リ ー マ ン 。
リ ー マ ン ゼ ー タ 関 数 は 、 s を 複 素 数 、 n を 自 然 数 と す る と き 、
ζ
(
s
)
:=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
=
1
+
1
2
s
+
1
3
s
+
1
4
s
+
⋯
{\displaystyle \zeta (s ):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }
で 定 義 さ れ る 関 数 ζ の こ と を い う 。 上 記 の 級 数 は s の 実 部 が 1 よ り 真 に 大 き い 複 素 数 の と き , す な わ ち Re s > 1 の と き に 収 束 す る ︵ な お s = 1 の と き 調 和 級 数 と な り 発 散 す る ︶ が 、 解 析 接 続 に よ っ て s = 1 を 一 位 の 極 と し 、 そ れ 以 外 の す べ て の 複 素 数 に お い て 正 則 な 有 理 型 関 数 と な る 。
整 数 論 に 対 す る リ ー マ ン の 仮 定 と そ の 応 用 の 重 要 性 が 際 立 っ て い る た め 、 リ ー マ ン ゼ ー タ 関 数 に 関 連 す る ト ピ ッ ク は 依 然 と し て 数 学 研 究 の 中 心 分 野 と し て 残 っ て い る 。 特 に 、 エ ル ン ス ト ・ リ ン デ レ ー フ ︵ 英 語 版 ︶ 、 ジ ャ ッ ク ・ ア ダ マ ー ル 、 チ ャ ー リ ー ・ ジ ャ ン ︵ 英 語 版 ︶ 、 ゴ ッ ト フ レ イ ・ ハ ー デ ィ 、 ジ ョ ン ・ リ ト ル ウ ッ ド 、 ア ト ル ・ セ ル バ ー グ 、 セ ル ゲ イ ・ ヴ ォ ロ ニ ン ︵ ド イ ツ 語 版 ︶ 、 ブ ラ イ ア ン ・ コ ー レ イ ︵ 英 語 版 ︶ な ど の 数 学 者 に よ り 、 リ ー マ ン ゼ ー タ 関 数 は 決 定 的 な 進 歩 を 遂 げ た 。
この節の
加筆 が望まれています。
(2023年1月 )
ゼ ー タ 関 数 の 重 要 な 特 徴 は 素 数 と の 関 わ り が 深 い こ と で あ り 、 こ の 関 係 を 最 初 に 発 見 し た オ イ ラ ー に ち な ん で オ イ ラ ー 積 と 名 付 け ら れ た 。 任 意 の 自 然 数 は 、 一 意 の 素 因 数 分 解 を も つ 。 こ の た め s > 1 と し 、
∏
p
:prime
∑
n
p
=
0
∞
1
p
s
⋅
n
p
=
(
1
+
1
2
s
+
1
2
2
s
+
⋯
)
(
1
+
1
3
s
+
1
3
2
s
+
⋯
)
(
1
+
1
5
s
+
1
5
2
s
+
⋯
)
⋯
{\displaystyle \prod _{p{\text{:prime}}}\sum _{n_{p}=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{s\cdot n_{p}}}}={\biggl (}1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{2^{2s}}}+\cdots {\biggr )}\!{\biggl (}1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{3^{2s}}}+\cdots {\biggr )}\!{\biggl (}1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{5^{2s}}}+\cdots {\biggr )}\cdots }
を 考 え 、 右 辺 の 括 弧 を 展 開 す れ ば 、 右 辺 に は ど の よ う な 自 然 数 n に つ い て も n − s が 一 度 だ け 現 れ る 。 こ の た め 次 が 成 り 立 つ 。
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
=
∏
p
:prime
∑
n
p
=
0
∞
1
p
s
⋅
n
p
=
∏
p
:prime
∑
n
p
=
0
∞
p
−
s
⋅
n
p
=
∏
p
:prime
1
1
−
p
−
s
{\displaystyle \zeta (s )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{:prime}}}\sum _{n_{p}=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{s\cdot n_{p}}}}=\prod _{p{\text{:prime}}}\sum _{n_{p}=0}^{\infty }p^{-s\cdot n_{p}}=\prod _{p{\text{:prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
た だ し 、 無 限 積 は す べ て の 素 数 p に つ い て 取 る 。 こ れ が 、 リ ー マ ン ゼ ー タ 関 数 の オ イ ラ ー 積 表 示 で あ る 。 こ れ を 拡 張 し 、 デ ィ リ ク レ 級 数 は 以 下 の 式 の 左 辺 で 定 義 さ れ 、 一 方 右 辺 は そ の オ イ ラ ー 積 で 、 実 部 が 1 よ り 大 き い 複 素 数 s に 対 し て 、 関 数 f ( n ) が 乗 法 的 関 数 ︵ す な わ ち f ( mn ) = f ( m ) f ( n ) が 成 り 立 つ 関 数 ︶ で あ る の な ら ば 、
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
n
s
=
∏
p
:prime
1
1
−
f
(
p
)
p
−
s
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n )}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{:prime}}}{\frac {1}{1-f(p )\,p^{-s}}}}
と 表 示 さ れ る 。
ゼ ー タ 関 数 を 解 析 接 続 す る た め に は 、 オ イ ラ ー が 導 入 し た ガ ン マ 関 数 Γ ( s ) が 必 要 と な る 。 ガ ン マ 関 数 Γ ( s ) は 、 Re s > 0 と な る 複 素 数 の 範 囲 で 、
Γ
(
s
)
=
∫
0
∞
e
−
t
t
s
−
1
d
t
{\displaystyle \varGamma (s )=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,t^{s-1}\,{\rm {d}}t}
の よ う に 定 義 さ れ て お り 、 こ こ に お い て t = nx と 変 数 を 変 換 し 、 積 分 変 数 を x と 決 定 す れ ば 、
1
n
s
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
e
−
n
x
x
s
−
1
d
x
{\displaystyle {\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{\varGamma (s )}}\int _{0}^{\infty }e^{-nx}\,x^{s-1}\,{\rm {d}}x}
と な る 。 こ れ を ゼ ー タ 関 数 に 代 入 し た と き 、 被 積 分 関 数 は 広 義 一 様 に 絶 対 収 束 す る た め 項 別 に 積 分 す る ︵ 極 限 と 積 分 を 入 れ 替 え る ︶ こ と が で き て 、
ζ
(
s
)
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
x
s
−
1
e
x
−
1
d
x
{\displaystyle \zeta (s )={\frac {1}{\varGamma (s )}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,{\rm {d}}x}
と な る 。 こ れ に よ っ て 、 リ ー マ ン ゼ ー タ 関 数 ζ ( s ) が 積 分 に よ っ て 表 示 さ れ た 。
まず、ゼータ関数が Re s > 1 のもとで絶対収束することを以下に証明する。
前 項 で ゼ ー タ 関 数 の 積 分 表 示 を 示 し た 。 す な わ ち 、
ζ
(
s
)
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
x
s
−
1
e
x
−
1
d
x
{\displaystyle \zeta (s )={\frac {1}{\varGamma (s )}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,{\rm {d}}x}
で あ る 。 こ の 積 分 表 示 に 対 し て 、 ベ ル ヌ ー イ 数 の 指 数 型 母 関 数 を f ( x ) と お き 、 さ ら に 、
g
(
s
)
=
∫
0
1
x
s
−
1
e
x
−
1
d
x
+
∫
1
∞
x
s
−
1
e
x
−
1
d
x
{\displaystyle g(s )=\int _{0}^{1}\!{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,{\rm {d}}x+\int _{1}^{\infty }\!{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,{\rm {d}}x}
の よ う に 記 述 す れ ば 、
g
(
s
)
=
∫
0
∞
x
s
−
2
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle g(s )=\int _{0}^{\infty }x^{s-2}\,f(x )\,{\rm {d}}x}
で あ り 、 g ( s ) は Re s > 1 で 収 束 す る 。 こ れ に 部 分 積 分 を 適 用 す る と 、
g
(
s
)
=
[
x
s
−
1
s
−
1
f
(
x
)
]
0
∞
−
1
s
−
1
∫
0
∞
x
s
−
1
f
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle g(s )={\Biggl [}{\dfrac {x^{s-1}}{s-1}}\,f(x ){\Biggr ]}_{0}^{\infty }-{\frac {1}{s-1}}\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,f'(x )\,{\rm {d}}x}
が 得 ら れ る 。
リ ー マ ン ゼ ー タ 関 数 に 整 数 を 代 入 し た 際 の 値 を リ ー マ ン ゼ ー タ 値 ま た は 単 に ゼ ー タ 値 と い う 。 任 意 の 正 の 偶 数 2 n に 対 し て 、
ζ
(
2
n
)
=
(
−
1
)
n
+
1
(
2
π
)
2
n
B
2
n
2
(
2
n
)
!
{\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}\,(2\pi )^{2n}\,B_{2n}}{2\,(2n)!}}}
と 表 す こ と が で き る 。 こ こ で 、 B 2 n は 2 n 番 目 の ベ ル ヌ ー イ 数 で あ る 。
また n ≥ 1 のとき、
ζ
(
−
n
)
=
(
−
1
)
n
B
n
+
1
n
+
1
{\displaystyle \zeta (-n)={\frac {(-1)^{n}\,B_{n+1}\,}{\,n+1\,}}}
が成り立つ。
非負整数に対するリーマンゼータ値の証明
ハ ン ケ ル に よ る リ ー マ ン ゼ ー タ 関 数 の 積 分 表 示 ‥
ζ
(
s
)
=
−
Γ
(
1
−
s
)
2
π
i
∮
C
(
−
z
)
s
−
1
e
z
−
1
d
z
{\displaystyle \zeta (s )=-{\frac {\varGamma (1-s)}{2\pi i}}\oint _{C}\!{\frac {(-z)^{s-1}}{e^{z}-1}}\,{\rm {d}}z}
か ら 始 め る 。 た だ し 、 こ こ で s は 自 然 数 で は な い 複 素 数 で 、 積 分 路 C は ハ ン ケ ル の 積 分 路 ︵ 英 語 版 ︶ で あ る 。 こ こ で n を 自 然 数 と し て s = − n と す る と 、
ζ
(
−
n
)
=
i
n
!
2
π
∮
C
1
(
−
z
)
n
+
2
−
z
e
z
−
1
d
z
{\displaystyle \zeta (-n)={\frac {in!}{2\pi }}\oint _{C}\!{\frac {1}{(-z)^{n+2}}}{\frac {-z}{e^{z}-1}}\,{\rm {d}}z}
と な る 。 留 数 定 理 に 基 づ い て こ の 複 素 積 分 を 実 行 す れ ば 、
ζ
(
−
n
)
=
−
i
n
!
2
π
2
π
i
Res
(
1
(
−
z
)
n
+
2
−
z
e
z
−
1
,
0
)
{\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {in!}{2\pi }}\,2\pi i\operatorname {Res} \!{\biggl (}{\frac {1}{(-z)^{n+2}}}{\frac {-z}{e^{z}-1}},\,0{\biggr )}}
と な る の で ベ ル ヌ ー イ 数 の 定 義 か ら ,
ζ
(
−
n
)
=
n
!
(
−
1
)
n
Res
(
∑
k
=
1
∞
B
k
k
!
z
k
−
n
−
2
,
0
)
{\displaystyle \zeta (-n)=n!\,(-1)^{n}\operatorname {Res} \!{\Biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}}{k!}}\,z^{k-n-2},\,0{\Biggr )}}
こ こ で 、 右 辺 の 留 数 は 、
Res
(
∑
k
=
1
∞
B
k
k
!
z
k
−
n
−
2
,
0
)
=
B
n
+
1
(
n
+
1
)
!
{\displaystyle \operatorname {Res} \!{\Biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}}{k!}}\,z^{k-n-2},\,0{\Biggr )}={\frac {B_{n+1}}{(n+1)!}}}
で あ る か ら 、
ζ
(
−
n
)
=
(
−
1
)
n
B
n
+
1
n
+
1
{\displaystyle \zeta (-n)={\frac {(-1)^{n}\,B_{n+1}}{n+1}}}
し か る に 複 素 数 s が 負 の 偶 数 で あ れ ば ζ ( s ) = 0 で あ り 、 こ れ ら を リ ー マ ン ゼ ー タ 関 数 の 自 明 な 零 点 と 呼 ぶ 。 こ れ ら の 表 示 は オ イ ラ ー に よ る 。 具 体 的 に は 、
ζ
(
0
)
=
−
1
2
{\displaystyle \zeta (0)=-{\frac {1}{2}}}
ζ
(
2
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
2
=
π
2
6
=
1.6449
…
{\displaystyle \zeta (2 )=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{2}}}={\pi ^{2} \over 6}=1.6449\dots }
︵ → バ ー ゼ ル 問 題 ︶
ζ
(
4
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
4
=
π
4
90
=
1.0823
…
{\displaystyle \zeta (4 )=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{4}}}={\pi ^{4} \over 90}=1.0823\dots }
ζ
(
6
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
6
=
π
6
945
=
1.0173
…
{\displaystyle \zeta (6 )=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{6}}}={\pi ^{6} \over 945}=1.0173\dots }
ζ
(
8
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
8
=
π
8
9450
=
1.00407
…
{\displaystyle \zeta (8 )=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{8}}}={\frac {\pi ^{8}}{9450}}=1.00407\dots }
ζ
(
10
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
10
=
π
10
93555
=
1.000994
…
{\displaystyle \zeta (10 )=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{10}}}={\frac {\pi ^{10}}{93555}}=1.000994\dots }
ζ
(
12
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
12
=
691
π
12
638512875
=
1.000246
…
{\displaystyle \zeta (12 )=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{12}}}={\frac {691\pi ^{12}}{638512875}}=1.000246\dots }
ζ
(
14
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
14
=
2
π
14
18243225
=
1.0000612
…
{\displaystyle \zeta (14 )=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{14}}}={\frac {2\pi ^{14}}{18243225}}=1.0000612\dots }
が 成 り 立 つ 。 こ こ で 、
ζ
(
2
n
)
=
η
n
π
2
n
{\displaystyle \zeta (2n)=\eta _{n}\,\pi ^{2n}}
と お く と 、
η
1
=
1
6
{\displaystyle \eta _{1}={\frac {1}{6}}}
η
n
=
∑
ℓ
=
1
n
−
1
(
−
1
)
ℓ
−
1
η
n
−
ℓ
(
2
ℓ
+
1
)
!
+
(
−
1
)
n
+
1
n
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \eta _{n}=\sum _{\ell =1}^{n-1}(-1)^{\ell -1}\,{\frac {\eta _{n-\ell }}{(2\ell +1)!}}+(-1)^{n+1}\,{\frac {n}{(2n+1)!}}}
が 成 り 立 つ 。 こ の 漸 化 式 は ベ ル ヌ ー イ 数 の 漸 化 式 か ら 導 か れ る 。
s
{\displaystyle s}
=
2
n
+
1
,
{
n
∣
n
∈
Z
+
}
{\displaystyle =2n+1,\{\,n\mid \,n\in \mathbb {Z} ^{+}\}}
、 つ ま り 、 3 以 上 の 正 の 奇 数 の 場 合 、 積 分 表 示 を す れ ば 次 の 通 り で あ る 。 尚 、 次 の
B
2
n
+
1
(
x
)
{\displaystyle B_{2n+1}(x )}
は 、 ベ ル ヌ ー イ 多 項 式 で あ る 。
ζ
(
2
n
+
1
)
=
(
−
1
)
n
+
1
(
2
π
)
2
n
+
1
2
⋅
(
2
n
+
1
)
!
∫
0
1
B
2
n
+
1
(
x
)
tan
(
π
x
)
d
x
{\displaystyle \zeta (2n+1)={\dfrac {(-1)^{n+1}(2\pi )^{2n+1}}{2\cdot (2n+1)!}}\,\int _{0}^{1}{\dfrac {B_{2n+1}(x )}{\tan(\pi x)}}\,\mathrm {d} x}
ま た ラ マ ヌ ジ ャ ン な ど は 彼 が 産 み 出 し た 保 型 形 式 に よ り 次 の よ う な 表 示 式 を 得 て い る 。 尚 、
B
n
{\displaystyle B_{n}}
は ベ ル ヌ ー イ 数 で あ る 。
ζ
(
4
n
−
1
)
=
(
2
π
)
4
n
−
1
2
∑
k
=
0
2
n
(
−
1
)
k
+
1
B
2
k
(
2
k
)
!
B
4
n
−
2
k
(
4
n
−
2
k
)
!
−
2
∑
k
=
1
∞
k
−
4
n
+
1
e
2
π
k
−
1
{\displaystyle \zeta (4n-1)={\frac {(2\pi )^{4n-1}}{2}}\sum _{k=0}^{2n}(-1)^{k+1}\,{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\,{\frac {B_{4n-2k}}{(4n-2k)!}}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{-4n+1}}{e^{2\pi k}-1}}}
ζ
(
4
n
+
1
)
=
(
2
π
)
4
n
+
1
2
4
n
+
1
−
2
∑
k
=
0
2
n
+
1
(
−
1
)
k
+
1
2
2
k
B
2
k
(
2
k
)
!
B
4
n
+
2
−
2
k
(
4
n
+
2
−
2
k
)
!
−
2
4
n
+
1
2
4
n
−
1
∑
k
=
1
∞
k
−
4
n
−
1
e
π
k
+
(
−
1
)
k
{\displaystyle \zeta (4n+1)={\frac {(2\pi )^{4n+1}}{2^{4n+1}-2}}\sum _{k=0}^{2n+1}(-1)^{k+1}\,{\frac {2^{2k}B_{2k}}{(2k)!}}\,{\frac {B_{4n+2-2k}}{(4n+2-2k)!}}-{\frac {2^{4n+1}}{2^{4n}-1}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{-4n-1}}{e^{\pi k}+(-1)^{k}}}}
小 さ い 正 の 奇 数 に つ い て は 、
ζ
(
1
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
=
∞
{\displaystyle \zeta (1 )=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n}}=\infty }
︵ → 調 和 級 数 ︶
ζ
(
3
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
3
=
1.20205
…
{\displaystyle \zeta (3 )=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{3}}}=1.20205\dots }
︵ ア ペ リ ー の 定 数 ︶
ζ
(
5
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
5
=
1.03692
…
{\displaystyle \zeta (5 )=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{5}}}=1.03692\dots }
ζ
(
7
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
7
=
1.00834
…
{\displaystyle \zeta (7 )=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{7}}}=1.00834\dots }
ζ
(
9
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
9
=
1.002008
…
{\displaystyle \zeta (9 )=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{9}}}=1.002008\dots }
な ど が 数 値 的 に 成 り 立 っ て い る 。 こ れ ら に 関 し て 、
ζ
(
3
)
=
π
2
7
{
1
−
4
∑
k
=
1
∞
ζ
(
2
k
)
(
2
k
+
1
)
(
2
k
+
2
)
2
2
k
}
{\displaystyle \zeta (3 )={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left\{1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)\,2^{2k}}}\right\}}
ζ
(
5
)
=
1
294
π
5
−
72
35
∑
n
=
1
∞
1
n
5
(
e
2
π
n
−
1
)
−
2
35
∑
n
=
1
∞
1
n
5
(
e
2
π
n
+
1
)
{\displaystyle \zeta (5 )={\frac {1}{294}}\,\pi ^{5}-{\frac {72}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {2}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2\pi n}+1)}}}
ζ
(
5
)
=
1
270
π
5
−
32
15
∑
n
=
1
∞
1
n
5
(
e
π
n
+
(
−
1
)
n
)
{\displaystyle \zeta (5 )={\frac {1}{270}}\,\pi ^{5}-{\frac {32}{15}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,\left(e^{\pi n}+(-1)^{n}\right)}}}
ζ
(
5
)
=
12
∑
n
=
1
∞
1
n
5
sinh
π
n
−
39
20
∑
n
=
1
∞
1
n
5
(
e
2
π
n
−
1
)
−
1
20
∑
n
=
1
∞
1
n
5
(
e
2
π
n
+
1
)
{\displaystyle \zeta (5 )=12\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,\sinh \pi n}}-{\frac {39}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {1}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2\pi n}+1)}}}
ζ
(
7
)
=
19
56700
π
7
−
2
∑
n
=
1
∞
1
n
7
(
e
2
π
n
−
1
)
{\displaystyle \zeta (7 )={\frac {19}{56700}}\,\pi ^{7}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{7}\,(e^{2\pi n}-1)}}}
と い う 級 数 が 知 ら れ て い る 。 ア ペ リ ー の 定 理 に よ る と ζ ( 3 ) は 無 理 数 で あ る ︵ 1 9 7 8 年 、 ロ ジ ェ ・ ア ペ リ ︶ 。 ま た 、 ζ ( 5 ) , ζ ( 7 ) , ζ ( 9 ) , ζ ( 11 ) の う ち 少 な く と も 1 つ は 無 理 数 で あ る こ と [ 1 ] 、 ζ ( 2 n + 1 ) の う ち 無 限 個 は 無 理 数 で あ る こ と も 証 明 さ れ て い る [ 2 ] 。
ま た 負 の 奇 数 に 対 し て は 代 数 的 K 理 論 の K 群 を 用 い た 表 示 が R o g n e s - W e i b e l に よ り 得 ら れ て い る ‥ k を 1 以 上 の 整 数 と す る と
ζ
(
1
−
2
k
)
=
2
⋅
(
−
1
)
k
⋅
|
K
4
k
−
2
(
Z
)
|
|
K
4
k
−
1
(
Z
)
|
{\displaystyle \zeta (1-2k)=2\cdot (-1)^{k}\cdot {\dfrac {|K_{4k-2}(\mathbb {Z} )|}{|K_{4k-1}(\mathbb {Z} )|}}}
ゼ ー タ 関 数 と 級 数 の 関 係 の 視 覚 化 。 黄 色 線 は k = 1 . . . 5 0 に 対 す る
k
−
s
{\displaystyle k^{-s}}
を 表 し 、 こ れ ら の 連 結 は 級 数 を 表 す 。 赤 の 破 線 は
n
−
s
+
1
−
s
+
1
+
ζ
(
s
)
{\displaystyle {\frac {n^{-s+1}}{-s+1}}+\zeta (s )}
を 表 す 。 緑 線 は s の 実 数 部 を - 0 . 5 か ら 1 . 5 ま で 変 化 さ せ た と き の
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s )}
の 軌 道 を 表 す 。 オ レ ン ジ の 線 は 級 数 の 軌 道 を 表 す 。
ゼ ー タ 関 数 と 級 数 の 関 係 の 視 覚 化 。 緑 線 は s の 虚 数 部 を 0 . 0 1 か ら 10 ま で 変 化 さ せ た と き の
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s )}
の 軌 道 を 表 す 。
複 素 平 面 上 で 複 素 数 は ベ ク ト ル と し て 表 さ れ 、 和 は ベ ク ト ル の 和 で 表 さ れ る 。 こ の た め 級 数
∑
k
=
1
n
k
−
s
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{-s}}
は
k
=
1..
n
{\displaystyle k=1..n}
に 対 す る
k
−
s
{\displaystyle k^{-s}}
を 連 結 し た も の と な る 。 こ の 図 形 は
n
{\displaystyle n}
が 大 き く な る と 、
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s )}
を 中 心 と す る 螺 旋 に 漸 近 す る 。 実 際 に
n
{\displaystyle n}
が 大 き い と き 以 下 の 近 似 式 が 成 り 立 つ 。
∑
k
=
1
n
k
−
s
≈
n
−
s
+
1
−
s
+
1
+
ζ
(
s
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{-s}\approx {\frac {n^{-s+1}}{-s+1}}+\zeta (s )}
こ の こ と は
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s )}
が オ イ ラ ー ・ マ ス ケ ロ ー ニ 定 数 の 一 般 化 と み な せ る こ と を 示 し て い る 。
R
e
(
s
)
>
1
{\displaystyle \mathrm {Re} (s )>1}
の と き 、
n
{\displaystyle n}
を 変 化 さ せ た と き の
n
−
s
+
1
−
s
+
1
{\displaystyle {\frac {n^{-s+1}}{-s+1}}}
が 描 く 軌 跡 は 原 点 に 収 束 す る 螺 旋 と な り 、
R
e
(
s
)
=
1
{\displaystyle \mathrm {Re} (s )=1}
の と き 、 原 点 を 中 心 と す る 半 径
1
I
m
(
s
)
{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {Im} (s )}}}
の 円 、
R
e
(
s
)
<
1
{\displaystyle \mathrm {Re} (s )<1}
の と き 、 原 点 を 中 心 と し て 外 に 広 が る 螺 旋 と な る 。 こ の た め に 、 級 数 は
R
e
(
s
)
>
1
{\displaystyle \mathrm {Re} (s )>1}
で
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s )}
に 収 束 し 、 そ れ 以 外 の 場 合 は ﹁
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s )}
を 中 心 と し て ﹂ 発 散 す る 。
s
=
1
+
i
y
{\displaystyle s=1+iy}
と し 、
y
{\displaystyle y}
を 0 に 近 づ け る と 、
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s )}
の 実 数 部 は オ イ ラ ー ・ マ ス ケ ロ ー ニ 定 数 に 収 束 し 、 虚 数 部 は
y
{\displaystyle y}
が 正 の 方 向 か ら 近 づ く と き
−
∞
{\displaystyle -\infty }
、
y
{\displaystyle y}
が 負 の 方 向 か ら 近 づ く と き
∞
{\displaystyle \infty }
と な る 。
ゼ ー タ 関 数 と 素 数 と の 最 初 の 関 連 は オ イ ラ ー に よ っ て 示 さ れ た 。 リ ー マ ン ゼ ー タ 関 数 は 、 全 て の 素 数 p に 関 す る 無 限 積 で あ る
ζ
(
s
)
=
∏
p
:
prime
1
1
−
p
−
s
{\displaystyle \zeta (s )=\prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
と い う 形 で 表 す こ と が で き る 。 こ れ を オ イ ラ ー 積 あ る い は オ イ ラ ー 表 示 と い う 。 こ の 無 限 積 が s の 実 部 R e ( s ) > 1 の と き ゼ ー タ 関 数 に 絶 対 収 束 し て い る こ と は 、 幾 何 級 数 ︵ 等 比 級 数 ︶ の 公 式
1
1
−
p
−
s
=
∑
n
=
0
∞
(
p
−
s
)
n
=
1
+
p
−
s
+
p
−
2
s
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{1-p^{-s}}}=\sum _{n=0}^{\infty }(p^{-s})^{n}=1+p^{\!-s}+p^{\!-2s}+\cdots }
が 絶 対 収 束 す る こ と ︵ 特 に 有 限 和 の よ う に 分 配 法 則 が 成 り 立 つ こ と ︶ に 注 意 し て 、 十 分 に 大 き な 素 数 p を 固 定 し 、 そ れ 以 下 の 素 数 p を わ た る 有 限 積 を 作 り 、 そ の
p
→
∞
{\displaystyle p\to \infty }
と し た 極 限 を 考 え る こ と で 示 す こ と が で き る 。 こ の 部 分 有 限 積 の 展 開 に つ い て 、 自 然 数 n の 最 大 素 因 数 が p で あ れ ば 、 そ こ ま で の 有 限 積 の 中 に n が 含 ま れ る た め 、 上 の よ う な ゼ ー タ 関 数 の オ イ ラ ー 積 表 示 が 成 り 立 っ て い る 。 オ イ ラ ー 積 § ゼ ー タ 関 数 に 対 す る オ イ ラ ー 積 も 参 照 。
2 つ の ゼ ー タ 関 数 値 の 関 係 を 表 す 、 次 の 等 式 が あ る 。
∏
p
:
prime
p
s
+
1
p
s
−
1
=
ζ
(
s
)
2
ζ
(
2
s
)
,
{
s
∣
s
∈
R
+
}
{\displaystyle \prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}={\frac {\zeta (s )^{2}}{\zeta (2s)}},\quad \{s\mid s\in \mathbb {R^{+}} \}}
こ の 等 式 は 、 次 の 通 り オ イ ラ ー 積 に 基 づ く 単 純 な 式 変 形 に よ り 導 か れ る 。
∏
p
:
prime
p
s
+
1
p
s
−
1
=
∏
p
:
prime
p
s
+
1
p
s
−
1
p
s
−
1
p
s
−
1
=
∏
p
:
prime
1
−
p
−
2
s
(
1
−
p
−
s
)
2
=
ζ
(
s
)
2
ζ
(
2
s
)
{\displaystyle \prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}=\prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}{\frac {p^{s}-1}{p^{s}-1}}=\prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {1-p^{-2s}}{(1-p^{-s})^{2}}}={\frac {\zeta (s )^{2}}{\zeta (2s)}}}
.
こ の 等 式 の 発 見 者 に つ い て 、 オ イ ラ ー は 包 括 的 な オ イ ラ ー 積 の 生 み の 親 で あ る が 、 ラ マ ヌ ジ ャ ン は s = 2 の 場 合 を 発 見 し て い た と さ れ る 。
s = 2 の 場 合 、 等 式 は 次 の 通 り で あ る 。
∏
p
:
prime
p
2
+
1
p
2
−
1
=
ζ
(
2
)
2
ζ
(
4
)
=
(
π
2
6
)
2
/
(
π
4
90
)
=
5
2
{\displaystyle \prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}={\frac {\zeta (2 )^{2}}{\zeta (4 )}}=\left({\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)^{2}/\left({\frac {\pi ^{4}}{90}}\right)={\frac {5}{2}}}
.
s が 正 の 偶 数 の 場 合 、 ゼ ー タ 関 数 の 特 殊 値 よ り 、 こ の 等 式 の 値 は 、 ベ ル ヌ ー イ 数 と 整 数 階 乗 の み の 計 算 と な る た め 、 結 果 的 に 有 理 数 と な る 。
ゼ ー タ 関 数 は 次 の よ う な 表 示 も 持 つ ‥
ζ
(
s
)
=
exp
(
γ
+
log
π
2
s
−
log
2
)
1
s
−
1
∏
ρ
(
1
−
s
ρ
)
∏
n
=
1
∞
(
1
+
s
2
n
)
e
−
s
/
2
n
{\displaystyle \zeta (s )=\exp \!\left({\frac {\gamma +\log \pi }{2}}\,s-\log 2\right){\frac {1}{s-1}}\,\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)\,\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {s}{2n}}\right)e^{\!-{s/2n}}}
こ こ で ρ に 関 す る 積 は リ ー マ ン ・ ゼ ー タ 関 数 の 複 素 零 点 全 体 を わ た る も の と す る 。 こ の 式 か ら 、
ζ
(
s
)
−
1
s
−
1
{\displaystyle \zeta (s )-{\frac {1}{s-1}}}
は 整 関 数 で あ る こ と が 分 か る 。 実 際
ζ
(
s
)
−
1
s
−
1
=
γ
−
γ
1
(
s
−
1
)
+
γ
2
(
s
−
1
)
2
−
…
{\displaystyle \zeta (s )-{\frac {1}{s-1}}=\gamma -\gamma _{1}(s-1)+\gamma _{2}(s-1)^{2}-\dots }
こ こ で γ は オ イ ラ ー の 定 数 、 γ i は ス テ ィ ル チ ェ ス 定 数 と 呼 ば れ て い る も の で あ る 。 オ イ ラ ー は 1 7 4 9 年 に
ζ
(
s
)
(
1
−
2
1
−
s
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
s
{\displaystyle \zeta (s )(1-{2^{\,1-s}})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}}
と い う 式 を 推 測 し て い る 。
ま た ゼ ー タ 関 数 は 、 リ ー マ ン の 1 8 5 9 年 の 論 文 ﹃ 与 え ら れ た 数 よ り 小 さ い 素 数 の 個 数 に つ い て ﹄ の 中 で
ζ
(
s
)
=
2
s
π
s
−
1
sin
(
π
s
2
)
Γ
(
1
−
s
)
ζ
(
1
−
s
)
{\displaystyle \zeta (s )=2^{s}\,\pi ^{s-1}\,\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\,\Gamma (1-s)\,\zeta (1-s)}
と い う 関 数 等 式 を 持 つ こ と が 示 さ れ た 。 こ こ で Γ は ガ ン マ 関 数 で あ る 。 こ れ は 複 素 解 析 的 関 数 の 解 析 接 続 が 初 め て 明 示 的 に 行 わ れ た 例 で あ る 。
s = − 2 n ︵ n は 正 の 整 数 ︶ を 代 入 す る と
ζ
(
−
2
n
)
=
2
−
2
n
π
−
2
n
−
1
sin
(
−
n
π
)
Γ
(
1
+
2
n
)
ζ
(
1
+
2
n
)
{\displaystyle \zeta (-2n)=2^{-2n}\,\pi ^{\!-2n-1}\sin(-n\pi )\,\Gamma \!(1+2n)\zeta (1+2n)}
s i n ( − n π ) = 0 で あ り 他 の 因 子 は 有 限 値 な の で ζ ( − 2 n ) = 0 で あ る 。 し た が っ て − 2 n は ゼ ー タ 関 数 の 零 点 で あ る 。
次 の よ う に 修 正 さ れ た ゼ ー タ 関 数 ︵ こ れ は 実 質 的 に リ ー マ ン に よ っ て 導 入 さ れ 、 完 備 化 さ れ た ゼ ー タ 関 数 と 呼 ば れ る ︶
ξ
(
s
)
=
π
−
s
/
2
Γ
(
s
2
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \xi (s )=\pi ^{\!-s/2}\,\,\Gamma \!\left({\frac {s}{2}}\right)\,\zeta (s )}
は s と 1 − s に 関 す る 以 下 の よ う な 対 称 的 な 関 数 等 式 を 持 つ ‥
ξ
(
s
)
=
ξ
(
1
−
s
)
{\displaystyle \xi (s )=\xi (1-s)}
︵ リ ー マ ン の ク シ ー 関 数 も 参 照 。 ︶
ま た 、 次 の よ う な 重 積 分 で も 表 記 で き る 。
ζ
(
n
)
=
∫
0
1
∫
0
1
∫
0
1
⋯
∫
0
1
1
1
−
x
1
x
2
x
3
⋯
x
n
d
x
1
d
x
2
d
x
3
⋯
d
x
n
{\displaystyle \zeta (n )=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}{\frac {1}{1-x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{n}}}dx_{1}dx_{2}dx_{3}\cdots dx_{n}}
ζ
(
n
)
=
1
1
−
2
1
−
n
∫
0
1
∫
0
1
∫
0
1
⋯
∫
0
1
1
1
+
x
1
x
2
x
3
⋯
x
n
d
x
1
d
x
2
d
x
3
⋯
d
x
n
{\displaystyle \zeta (n )={\frac {1}{1-2^{1-n}}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{n}}}dx_{1}dx_{2}dx_{3}\cdots dx_{n}}
h t t p s : / / a m e b l o . j p / t i t c h m a r s h / e n t r y - 1 2 7 9 6 9 5 6 4 5 0 . h t m l 参 照
関 数 等 式 は 以 下 の よ う に し て 求 ま る 。 ガ ン マ 関 数 の 定 義 と 変 数 の 置 き 換 え に よ り
∫
0
∞
x
s
2
e
−
n
2
π
x
d
x
x
=
Γ
(
s
2
)
n
s
π
s
2
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s \over 2}e^{-n^{2}\pi x}\,{\frac {dx}{x}}={\Gamma \left({s \over 2}\right) \over {n^{s}\pi ^{s \over 2}}}.}
R
e
(
s
)
>
1
{\displaystyle \mathrm {Re} (s )>1}
で あ る な ら ば 、 以 下 の 式 の 和 と 積 分 を 入 れ 替 え る こ と が で き る 。
Γ
(
s
2
)
ζ
(
s
)
π
s
/
2
=
∑
n
=
1
∞
∫
0
∞
x
s
2
e
−
n
2
π
x
d
x
x
=
∫
0
∞
x
s
2
∑
n
=
1
∞
e
−
n
2
π
x
d
x
x
.
{\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s )}{\pi ^{s/2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{0}^{\infty }x^{s \over 2}e^{-n^{2}\pi x}\,{\frac {dx}{x}}=\int _{0}^{\infty }x^{s \over 2}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}\,{\frac {dx}{x}}.}
こ こ で
ψ
(
x
)
:=
∑
n
=
1
∞
e
−
n
2
π
x
{\displaystyle \psi (x ):=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}}
と お く と
ζ
(
s
)
=
π
s
2
Γ
(
s
2
)
∫
0
∞
x
s
2
ψ
(
x
)
d
x
x
{\displaystyle \zeta (s )={\pi ^{s \over 2} \over \Gamma ({s \over 2})}\int \limits _{0}^{\infty }x^{\frac {s}{2}}\psi (x )\,{\frac {dx}{x}}}
と な る 。 こ こ で
f
(
x
)
=
e
−
π
x
2
{\displaystyle f(x )=e^{-\pi x^{2}}}
と お く と 、
f
(
x
)
{\displaystyle f(x )}
は フ ー リ エ 変 換 に 対 し 不 変 で あ る 。
f
^
(
y
)
=
e
−
π
y
2
{\displaystyle {\hat {f}}(y )=e^{-\pi y^{2}}}
ま た 、 フ ー リ エ 変 換 の 定 数 倍 の 公 式 よ り 、
g
(
x
)
=
f
(
a
x
)
{\displaystyle g(x )=f(ax )}
の フ ー リ エ 変 換 は
g
^
(
x
)
=
1
|
a
|
f
(
x
a
)
{\displaystyle {\hat {g}}(x )={\frac {1}{|a|}}f\left({\frac {x}{a}}\right)}
で あ る 。
よ っ て ポ ア ソ ン 和 公 式 か ら 以 下 が 成 り 立 つ 。
∑
n
=
−
∞
∞
e
−
n
2
π
x
=
1
x
∑
n
=
−
∞
∞
e
−
n
2
π
x
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi x}}={1 \over {\sqrt {x}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi \over x}}}
よ っ て
2
ψ
(
x
)
+
1
=
1
x
{
2
ψ
(
1
x
)
+
1
}
{\displaystyle 2\psi (x )+1={1 \over {\sqrt {x}}}\left\{2\psi \left({1 \over x}\right)+1\right\}}
で あ る 。 よ っ て
π
−
s
2
Γ
(
s
2
)
ζ
(
s
)
=
∫
0
1
x
s
2
ψ
(
x
)
d
x
x
+
∫
1
∞
x
s
2
ψ
(
x
)
d
x
x
{\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s )=\int _{0}^{1}x^{s \over 2}\psi (x )\,{\frac {dx}{x}}+\int _{1}^{\infty }x^{s \over 2}\psi (x )\,{\frac {dx}{x}}}
は 以 下 の 式 と 等 し い 。
∫
0
1
x
s
2
{
1
x
ψ
(
1
x
)
+
1
2
x
−
1
2
}
d
x
x
+
∫
1
∞
x
s
2
ψ
(
x
)
d
x
x
{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}x^{s \over 2}\left\{{1 \over {\sqrt {x}}}\psi \left({1 \over x}\right)+{1 \over 2{\sqrt {x}}}-{1 \over 2}\right\}\,{\frac {dx}{x}}+\int \limits _{1}^{\infty }x^{s \over 2}\psi (x )\,{\frac {dx}{x}}}
つ ま り
1
s
−
1
−
1
s
+
∫
0
1
x
s
−
1
2
ψ
(
1
x
)
d
x
x
+
∫
1
∞
x
s
2
ψ
(
x
)
d
x
x
{\displaystyle {1 \over {s-1}}-{1 \over s}+\int \limits _{0}^{1}x^{{s-1} \over 2}\psi \left({1 \over x}\right)\,{\frac {dx}{x}}+\int \limits _{1}^{\infty }x^{{s} \over 2}\psi (x )\,{\frac {dx}{x}}}
よ っ て
π
−
s
2
Γ
(
s
2
)
ζ
(
s
)
=
−
1
s
(
1
−
s
)
+
∫
1
∞
(
x
1
−
s
2
+
x
s
2
)
ψ
(
x
)
d
x
x
{\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s )=-{1 \over {s({1-s})}}+\int \limits _{1}^{\infty }\left({x^{{1-s} \over 2}+x^{{s} \over 2}}\right)\psi (x )\,{\frac {dx}{x}}}
こ の 式 は す べ て の
s
{\displaystyle s}
に つ い て 収 束 す る 。 ま た 、 右 辺 は
s
{\displaystyle s}
を
1
−
s
{\displaystyle 1-s}
に 変 え て も 変 化 し な い こ と か ら 以 下 の 等 式 が 成 り 立 つ 。
π
−
s
2
Γ
(
s
2
)
ζ
(
s
)
=
π
−
1
−
s
2
Γ
(
1
−
s
2
)
ζ
(
1
−
s
)
{\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s )=\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)}
ガ ン マ 関 数 の 乗 法 公 式 お よ び 相 反 公 式 よ り
Γ
(
1
−
s
2
)
Γ
(
s
2
)
=
Γ
(
1
−
s
2
)
Γ
(
1
−
s
2
)
Γ
(
s
2
)
Γ
(
1
−
s
2
)
=
2
s
π
1
2
Γ
(
1
−
s
)
⋅
sin
(
π
s
2
)
π
=
2
s
π
−
1
2
sin
(
π
s
2
)
Γ
(
1
−
s
)
{\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}}={\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {s}{2}}\right)}}=2^{s}\pi ^{\frac {1}{2}}\Gamma (1-s)\cdot {\frac {\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)}{\pi }}=2^{s}\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)}
よ っ て
ζ
(
s
)
=
2
s
π
s
−
1
sin
(
π
s
2
)
Γ
(
1
−
s
)
ζ
(
1
−
s
)
{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\,\pi ^{s-1}\,\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\,\Gamma (1-s)\,\zeta (1-s)}
ゼ ー タ 関 数 を 適 当 に 組 み 合 わ せ る こ と に よ り 、 様 々 な 数 論 的 関 数 を 係 数 と す る デ ィ リ ク レ 級 数 の 母 関 数 を 得 る こ と が で き る 。
た と え ば 、 ゼ ー タ 関 数 の 逆 数 は メ ビ ウ ス 関 数 μ ( n ) を 用 い て
1
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s )}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n )}{n^{s}}}}
と 表 せ る 。 こ の 式 と ζ ( 2 ) の 値 か ら 、 分 布 が 一 様 で あ る と い う 仮 定 の 下 、 任 意 に 取 り 出 し た 2 つ の 整 数 が 互 い に 素 で あ る 確 率 は
6
π
2
{\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}}
で あ る こ と が 証 明 で き る 。
自 然 数 n の ︵ 正 の ︶ 約 数 の 個 数 と 全 て の 約 数 の 和 は 、 ど ち ら も 約 数 関 数 と し て 定 義 さ れ 、 そ れ ぞ れ 、 d ( n ) 、 σ ( n ) で 表 す こ と が で き る 。 こ の と き 、
ζ
(
s
)
2
=
∑
n
=
1
∞
d
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\zeta (s )}^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n )}{n^{s}}}}
ζ
(
s
)
ζ
(
s
−
1
)
=
∑
n
=
1
∞
σ
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\zeta (s )}\,{\zeta (s-1)}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n )}{n^{s}}}}
が 成 り 立 ち 、 ま た 、 n と 互 い に 素 な n 以 下 の 自 然 数 の 個 数 を
オ イ ラ ー の φ 関 数 φ ( n ) で 表 す と き 、
ζ
(
s
−
1
)
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
φ
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s )}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n )}{n^{s}}}}
な ど も 成 り 立 つ 。
以 下 に 素 数 分 布 、 す な わ ち 素 数 計 数 関 数 π ( x ) と ゼ ー タ 関 数 と の 関 係 を 述 べ る 。
ま ず ゼ ー タ 関 数 の オ イ ラ ー 積 表 示 の 両 辺 に お い て 対 数 を と り 、 テ イ ラ ー 展 開 で 和 の 中 の 対 数 を 展 開 す る ‥
log
ζ
(
s
)
=
log
∏
p
1
1
−
p
−
s
=
∑
p
log
1
1
−
p
−
s
=
∑
p
∑
n
=
1
∞
1
n
p
n
s
=
∑
n
=
1
∞
1
n
∑
p
1
p
n
s
{\displaystyle \log \zeta (s )=\log \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{\!-s}}}=\sum _{p}\log {\frac {1}{1-p^{-s}}}=\sum _{p}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{np^{\,ns}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{p}{\frac {1}{p^{\,ns}}}}
こ こ で 各 n ≥ 1 に つ い て
1
p
n
s
=
s
∫
p
n
∞
x
−
s
−
1
d
x
{\displaystyle {\frac {1}{p^{\,ns}}}=s\!\int _{p^{n}}^{\infty }\!\!x^{\!-s-1}\,dx}
と 変 形 し て 、 先 の 式 に 代 入 す る と
log
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
∑
p
1
p
n
s
=
s
∑
n
=
1
∞
1
n
∑
p
∫
p
n
∞
x
−
s
−
1
d
x
=
s
∑
n
=
1
∞
1
n
∫
1
∞
π
(
x
1
/
n
)
x
−
s
−
1
d
x
{\displaystyle \log \zeta (s )=\sum _{n=1}^{\infty }\!{\frac {1}{n}}\,\sum _{p}{\frac {1}{p^{\,ns}}}=s\!\sum _{n=1}^{\infty }\!{\frac {1}{n}}\,\sum _{p}\!\int _{p^{n}}^{\infty }\!\!x^{\!-s-1}\,dx=s\!\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,\int _{1}^{\infty }\!\!\pi (x^{1/n})\,x^{\!-s-1}\,\mathrm {d} x}
通 常
Π
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
π
(
x
1
/
n
)
{\displaystyle \Pi (x )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,\pi (x^{1/n})}
と 置 い て 、 最 終 的 に 上 式 は 次 の よ う に 書 か れ る 。
log
ζ
(
s
)
s
=
∫
1
∞
Π
(
x
)
x
−
s
−
1
d
x
{\displaystyle {\frac {\log \zeta (s )}{s}}=\int _{1}^{\infty }\!\!\Pi (x )\,x^{\!-s-1}\,\mathrm {d} x}
こ の 公 式 に 、 メ リ ン 変 換 な ど と 呼 ば れ る 積 分 の 反 転 公 式 を 使 う と 、 π ( x ) を 表 示 す る 公 式 を 求 め る こ と が で き る 。 こ の 公 式 は 、 リ ー マ ン の 素 数 公 式 、 あ る い は 明 示 公 式 ( e x p l i c i t f o r m u l a ) な ど と 呼 ば れ て い る 。 な お メ ビ ウ ス の 反 転 公 式 に よ っ て π ( x ) は
π
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
n
Π
(
x
1
/
n
)
{\displaystyle \pi (x )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n )}{n}}\,\Pi (x^{1/n})}
と 書 け る こ と を 注 意 し て お こ う 。
ゼ ー タ 関 数 の 零 点 の 分 布 に 関 す る 未 解 決 問 題 で あ る リ ー マ ン 予 想 は 、 素 数 公 式 の 近 似 精 度 に 関 連 し て い る 。 こ の 予 想 は 純 粋 数 学 に お け る 最 も 重 要 な 未 解 決 問 題 で あ る と 考 え る 数 学 者 は 多 い 。
● 本 橋 洋 一 ﹃ 解 析 的 整 数 論 ﹄ 1 ( 素 数 分 布 論 ) 、 朝 倉 書 店 ︿ 朝 倉 数 学 大 系 ; 1 ﹀ 、 2 0 0 9 年 。 I S B N 9 7 8 - 4 - 2 5 4 - 1 1 8 2 1 - 6 。 国 立 国 会 図 書 館 書 誌 ID : 0 0 0 0 1 0 6 1 1 0 2 9 。https://ndlsearch.ndl.go.jp/books/R100000002-I000010611029 。
● M o t o h a s h i , Y o i c h i , " S p e c t r a l T h e o r y o f t h e R i e m a n n Z e t a - F u n c t i o n " . C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 7 . I S B N 9 7 8 0 5 2 1 4 4 5 2 0 7
● H a r o l d M . E d w a r d s , R i e m a n n ' s Z e t a F u n c t i o n , D o v e r P u b l i c a t i o n s , 2 0 0 1 . I S B N 0 4 8 6 4 1 7 4 0 9
● E . C . T i t c h m a r s h , T h e T h e o r y o f t h e R i e m a n n Z e t a - F u n c t i o n , O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s : U S A , 2 n d e d . ( r e v . b y D . R . H e a t h - B r o w n ) , 1 9 8 7 . I S B N 0 1 9 8 5 3 3 6 9 1
● 日 本 数 学 会 ﹃ 岩 波 数 学 辞 典 ︵ 第 3 版 ︶ ﹄ 岩 波 書 店 、 1 9 8 5 年 。 I S B N 4 0 0 0 8 0 0 1 6 7
● 松 本 耕 二 ﹃ リ ー マ ン の ゼ ー タ 関 数 ﹄ 朝 倉 書 店 、 2 0 0 5 年 。 I S B N 4 2 5 4 1 1 7 3 1 0
● 小 山 信 也 ﹃ 素 数 と ゼ ー タ 関 数 ﹄ 共 立 出 版 、 2 0 1 5 年 。 I S B N 9 7 8 4 3 2 0 1 1 2 0 0 1